2022?2023學年河北省邢臺市高一（下）期末數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

2,若一組數據為1,3,4,6,7,10,13,則這組數據的第70百分位數為（）

A.4B.5C.6D.7

3.在三棱雉A-BCD中，Z?4BC,ABCD均為等邊三角形，BC=2,?ACD=90o,M為ZD的

中點，則異面直線AB與CM所成角的余弦值為（）

A.0B.苧C.?D.1

4.4隊共有甲、乙兩名隊員回答某道題，有1人答出則此題回答正確，甲答出的概率為之，乙

答出的概率為士則此題4隊回答正確的概率是（）

O

A.?B.?C.~D.?

l?O?L

5,某校高一、高二、高三年級的學生人數分別為1200,1000,800,按年級進行分層，用

分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為30的樣本，調查全校學生的睡眠時間.高一年級抽取的學

生的平均睡眠時間為8.5小時，高二年級抽取的學生的平均睡眠時間為7.8小時，三個年級抽

取的學生的總平均睡眠時間為8小時，則高三年級抽取的學生的平均睡眠時間為（）

A.7.2小時B.7.3小時C.7.5小時D.7.6小時

6.在平行四邊形ZBCD中，乙4=60o,AB=I,AD=2,將△力BD沿BD折起，使得平面4BD1

平面BCO,則B到平面ACo的距離為（）

A.=B.?C.WD.?

3232

7.已知AABC的外接圓為圓。，圓。的直徑4B=IO,且荏.而=64,則方?方=（）

A.80B.64C.48D.32

。這個電器元件出故障的概率分別為去按下圖的兩種連接方式，

8.A,B,C,4?p1,p2,

圖一連通的概率為胃，圖二連通的概率為會，其中電路是否連通只與電器元件是否出故障有

關，則P1+P2=()

r÷3)-1

-----?

圖二

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9,若復數z=m'-2m-3+√7n+li（τn∈R）,則下列說法正確的是（）

A.若Z為實數，則m=-lB.若Z為純虛數，則m=3或一1

C.z在復平面內對應的點不可能在第二象限D?z在復平面內對應的點不可能在第三象

限

10.甲投籃5次，事件4="恰命中2次"，事件B="第3次未命中”，則與事件力UB互斥

的事件是（）

A.僅第3次命中B.第3次命中且總命中次數為2

C.第1，3,5次命中D.第2,4,5次命中

11.若以-4%+5=0（xt）為復數），則下列各選項正確的是（）

rOR

A.X0=2±iB.X0=4C.就+密=8D.xg-24x0=-55

12.在正方體ABCD-AIBICIZ）I中，AB=2,E,F,G分別為CMI,CCi，BC的中點，則（）

A.A1E,BF為異面直線

B.平面EFG截正方體所得截面的面積為

C.EG〃平面4ClB

D.A1FLDE

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知I菊=1,∣G∣=2,α?K=∣,則（五一石）.（五+23）=.

14.若一組10個數據%,f?,???,ɑ∕的平均值為3,方差為11,則研+譴+…+α%=.

15.在平行四邊形ABCO中，Co的中點為E,4E交BD于F,CP=xCβ+yCE,則x+y=

16.已知某圓臺的體積為（18+6，2）兀，其上底面和下底面的面積分別為3兀，6π,且該圓

臺兩個底面的圓周都在球。的球面上，則球。的表面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知復數Z滿足IZ+2i∣=5,z=α+(3-ɑ)i(ɑ>0).

(1)求a；

(2)若復數Zl滿足Zl(Zl+2)=α+23求Zr

18.(本小題12.0分)

甲袋中有3個球，2個紅球1個白球，乙袋中有3個球，1個紅球2個白球，從甲、乙兩袋中隨機

各取1個球.

(1)求這2個球為1個紅球1個白球的概率；

(2)從甲、乙兩袋中取出的2個球都放入甲袋，再從甲袋中隨機取1個球，求該球為紅球的概率.

19.(本小題12.0分)

某商品50天日銷量(單位：件)的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求7∏;

(2)估計該商品50天日銷量的中位數(結果保留一位小數)；

(3)估計該商品50天日銷量的平均數(同一組中的數據用該組區間的中點值作為代表).

20.(本小題12.0分)

己知A(4,0),F(l,τn)(m>0),|同∣=5?

⑴求?n；

(2)若點C,M滿足或=(-1,-I),麗=XM+(2-x)瓦f(O為坐標原點)，求I而I的最小

值.

21.(本小題12.0分)

已知四棱錐P-ABCD的體積為1,底面力BCD為平行四邊形，E,F分別是PB,PC上的點，PE=

EB,PF=2FC,平面AEF交CO于點G.

(1)求等;

OL

(2)求多面體4BCGFE的體積.

22.(本小題12.0分)

o

如圖，在三棱臺4BC-AIBICl中，BB11平面4BC,乙ABC=90,AB=BC=4,A1B1=2,

BB1=2√1.

(1)證明：BClIAiC；

(2)求AlB與平面4CCv4ι所成角的正弦值.

B

答案和解析

1.【答案】B

(l+2i)(l+3i)1,1.

【解析】解：普+l

1—?l10-22?

故選：B.

根據復數四則運算法則計算即可.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解:因為7X70%=4.9,

所以這組數據的第70百分位數是第5個數據，為7.

故選：D.

將數據數量值乘以百分比即可得出答案.

本題考查百分位數，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析1解：如圖，取BD的中點N,連接CN,MN,則MN〃/1B,

異面直線力B與CM所成角即為異面直線AB與CM所成角，

而異面直線力B與CM所成角的余弦值為ICOSZNMCI,

因為A4BC,ABCD均為等邊三角形，BC=2,

所以AB=AC=BC=BD=CD=2,

在ANMC中，MN=^AB=1,CN=√BC2-BN2=√3,

因為NACO=90。，所以AD=√AC2+CD2=2尸,所以AM=2AD=

CM=K所以CENMC=?^=???=0?

故選：A.

取BD的中點N,連接MN,CN,由題意可知異面直線AB與CM所成角的余弦值為ICOSNNMC求

出NM,MC,NC,由余弦定理求解即可.

本題考查異面直線所成的角，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：根據題意，A隊中，甲答出的概率為:，乙答出的概率為:，

?O

則甲、乙答不出的概率分別為士

?O

故A隊答出的概率為l-gx*="

?O?

故選：C.

根據題意，求出甲、乙不能回答問題的概率，由對立事件的概率性質分析可得答案.

本題考查概率的應用，涉及互斥事件、相互獨立事件的概率計算，屬于基礎題.

5.【答案】C

1

【解析】解：由題意得抽樣比為1200+需。+8。。Ioo

則高一、高二、高三年級抽取的學生人數分別為1200X擊=12,1000X擊=Io,80OX擊=8,

設高三年級抽取的學生的平均睡眠時間為久小時，由8x+10×7.8+12X8.5=30×8,得X=7.5

小時.

故選：C.

先求出抽樣比，根據抽樣比求出高三年級抽取的學生的平均睡眠時間，再根據三個年級抽取的學

生的總平均睡眠時間為8小時列式可求出結果.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：由乙4=60。，AB=1,AD=2,得BD?=AB2+

AD2-2AB-AD-cos600=l+4-2xlx2xg=3,BD=

/3.

則AB2+B∑)2=4。2,ABlBD,又四邊形ZBCC為平行四邊

形，???BDICD,

???平面4B。1平面BeD,平面4BDn平面BCO=BD,CDU平

面BCD,

.??CD_L平面4BD,又???CCu平面"C,.?.平面4CD1平面ABZ),

在平面48。內，作8HJ.4。于點H,?；平面ACOI平面AB0,平面ACon平面48。=4。,

BH_L平面ACD,則BH即為所求點B到平面HCC的距離，

在直角三角形ABD中，AB1BD,又BHJ.4D,

ABBD_￡3

MAD?BH=：ABBD=BH

8到平面4C。的距離為?.

故選：D.

計算可得BDJ.CD,結合平面4BD_L平面BeD,得CD，平面4BD,平面ACn_L平面4BD,在平面4BD

內，作BH，4。于點H,貝IjBH即為所求點B到平面ACC的距離，計算可得結果.

本題主要考查點到平面距離的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：圓。的直徑AB=10,二4CJ.BC,/

二通?衣=照+函加=E=64，/\/\\

得∣H∣=8.取AC的中點M,則OMIac,Oy

.?.C0CA=(CM+M0)-CA=CM-CA=∣CM∣?∣CΛ|=32.\/

故選：D.--------/

由題意知AC_LBC,從而可得而.而=旅2=64，g∣J∣^C∣=8,取4C的中點M,可得方?g?=

(CM+≡)?G4,由數量積的定義求解即可.

本題考查平面向量的線性運算和數量積，屬于基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：由圖一得(ITX勺(I-PlP2)=祟

?S-?(l-p2)(l-i×∣×p1)=g,

解得F=：，故P1+P2=2

IDo=-

故選：C.

根據獨立事件的概率乘法公式，建立方程，可得答案.

本題考查了獨立事件的概率乘法公式，是基礎題.

9.【答案】AD

［解析］解：z=m2—2m—3+√m+lt(m∈R),

對于4若Z為實數，

則√m+1=O=Wi=-I,故A正確；

對于8,若Z為純虛數，

則匕匕二普一：=°,解得m=3,故8錯誤；

Wm+1≠0

對于C,因為√τn+1≥0,

所以Z在復平面內對應的點不可能在第三象限，C錯誤，D正確.

故選：AD.

根據已知條件，結合實數、純虛數的定義，以及復數的幾何意義，即可求解.

本題主要考查實數、純虛數的定義，以及復數的幾何意義，屬于基礎題.

10.【答案】AC

【解析】解：4UB的對立事件為In后，

與AU8互斥的事件應為］n后的子事件，

即“總命中次數不是2次且第3次命中”，

故只有AC符合.

故選：AC.

根據互斥事件的定義逐一分析即可.

本題考查了互斥事件的定義，是基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解：因為就-4xo+5=O,所以X。一2=±i,所以XO=2±i,故A正確；

因為就—4%0+5=0,且XO=2±i≠z0,所以Xo+'=4,故B正確；

?o

因為X。+1=4,所以(%o+*=16,所以其+套+10=16,所以由+緇=6,故C錯誤;

2

因為就—4x0+5=0,所以說=4x0—5,則端—24x0=(4x0—5)—24x0=16xθ-64x0+25

=16(xg-4x0)+25=16×(-5)+25=-55,。正確.

故選：ABD.

根據已知，利用復數概念、性質計算求解.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

12.【答案】BCD

【解析】解：如圖所示,

易得EF〃A$,即&E,BF在同一平面，A錯誤；

平面EFG截正方體所得的截面是邊長為。的正六邊形，

該正六邊形的面積為3/3，B正確；

易證EF//平面AiBCi,尸G//平面A】Be1，XfFCiFG=F,

則平面EGF〃平面

因為EGU平面EFG,

所以EG〃平面C正確；

易證DlFIDE,又DEIAlD1，A1D1HD1F=D1,

則OE_L平面4。#,

則。E14ιF,。正確.

故選：BCD.

根據圖形易得EF〃&B,即4E,B/在同一平面，A錯誤；平面EFG截正方體所得的截面是邊長

為々的正六邊形，8正確；平面EGF〃平面C正確；DEL平面AlDlF,。正確.

本題主要考查直線與平面平行，平面的基本性質及推論，異面直線的判定，屬中檔題.

13.【答案】-?

【解析】解：因為I五∣=1,∣b∣=2,a-b=-f

222

所以f=?a?=I1K=∣b∣=4>

所以①一辦0+2垃=α2+α?h-262=l+∣-8=-y.

故答案為：一孩■.

利用數量積的運算法則將(日一方>(五+2W展開，結合方2=吊|2=I,/=|司2=4求解即可.

本題考查向量的數量積，解題關鍵是熟練掌握數量積公式，屬于中檔題.

14.【答案】200

【解析】解：若一組10個數據%,。2，…，臼。的平均值為3,

ccrιal+α2+???+α10?

所以----R-------=3,

即Q[+。2+.??+。10=30,

不妨設這組數據的方差為S?,

22-2

此時IOS2=(ɑ?-3)+(a2-3)+,?,+(ɑ?o3);

BPlO×11=(ɑ?+諼+…+a彳0)—e(ɑ?+Q，2+…+ɑ??)+90,

則a；+aj+…+研O=110+6×30-90=200.

故答案為：200.

由題意，根據平均數和方差的計算公式，進行求解即可.

本題考查平均數和方差，考查了邏輯推理和運算能力.

15.【答案】I

【解析】解：連接CF,因為ZBCD是平行四邊形，所以。C〃4B,

所以ADEF7BAF,所以*=有=3，

rbAbL

4

得而=CB-I-SF=CB-F∣β^=CB+I(CD-CS)=∣CB+3-CT

所以％=/y=,，得％+y=g?

故答案為:|.

根據平行四邊形的性質，結合相似三角形的判定、平面向量基本定理進行求解即可.

本題考查平面向量的線性運算，屬于基礎題.

16.【答案】?

【解析】解：設該圓臺的高為/1,則（18+6。）兀=,九（3兀+73τrx6兀+6τr）,解得九=6.

設圓臺上、下底面半徑為萬，所以萬斤=3兀，πr∕=6π,解得：0=√^6rι=?f?

當圓臺的上、下底面在球心的兩側時，

設球心。到下底面的距離為3球。的半徑為R,

則t2+債=（6一t>+*=R2,所以d+6=（6—￡）2+3,解得t=*,

則R2=（?）2+6=芟L+6=蕓，故球。的表面積為4兀/?2=等.

v416164

當圓臺的上、下底面在球心的同側時，

設球心。到下底面的距離為X,球。的半徑為R,

則/+修=（6+吟2+號=/?2,所以/+6=（6+X）2+3,解得：x=-?不符合題意.

4

故答案為：等.

由圓臺的體積公式求出圓臺的高八,再由圓的面積公式求出圓臺上、下底面半徑,討論當圓臺的上、

下底面在球心的同側時不滿足題意，當圓臺的上、下底面在球心的兩側時，設球心。到下底面的

距離為t,球。的半徑為R,由t2+6=（6-t>+3,解方程求出3即可求出R,再由球的表面積

公式求解即可.

本題考查圓臺與球的結構特征及其體積，表面積，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由題意得z=α+(α-3)i,

z+2i=Q+(Q—l)i,

所以Q2+(α-1)2=25=Q=4或Q=-3(舍去),

故Q=4；

(2)設Zl=%+yi[x,y∈R),

22

則Zlil=X2+y2,x+y+2(x+yj)=4+2i

所以層[I+?”=',解得Cw或I；：二,

所以Zl=1+i或—3+i.

【解析】(1)根據復數的模長公式即可求解.

(2)根據復數相等的充要條件，即可列方程組求解.

本題主要考查復數的四則運算，考查轉化能力，屬于基礎題.

18.【答案】解:⑴記事件&=甲袋取紅球且乙袋取白球，則P(4ι)=∣x∣=%

事件&=甲袋取白球且乙袋取紅球，則P(4)=X2/

所以這2個球是1個紅球1個白球的概率為P(4ι)+P(∕I2)=

(2)該事件等同于“從乙袋中任取1個球放進甲袋，再從甲袋中取1個球，且該球為紅球”，

所以所求事件的概率為￡x,+,x;=5?

343212

【解析】(1)由題意可知2個球為1個紅球1個白球可以是：甲袋取紅球且乙袋取白球或甲袋取白球

且乙袋取紅球，分別求出其概率即可；

(2)該事件等同于“從乙袋中任取1個球放進甲袋，再從甲袋中取1個球，且該球為紅球”，進而可

以求出結果.

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題.

19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知，(0.026+0.020+0.016+2m+0.010)×10=1,

解得Tn=0.014；

(2)設該商品50天日銷量的中位數為X件，

因為第一組和第二組數據的頻率之和為(0?014+0.020)X10=0.34<0.5

第一組、第二組和第三組數據的頻率之和為0.34+0.026X10=0.6>0.5,

所以x∈[4Q50),

則0.34+(X-40)X0.026=0.5,

解得X≈46.2；

(3)該商品50天日銷量的平均數的估計值為(25X0.014+35X0.020+45X0.026+55X

0.016+65×0.014+75×0.010)×10=47.6.

【解析】(1)根據頻率之和為1即可求解；

(2)根據中位數的計算公式結合條件即得；

(3)根據平均數的計算公式即可求解.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了平均數和中位數的計算，屬于基礎題.

20.【答案】解：(1)由I荏I=5，可得32+T∏2=25,又τn>0,.?.m=4.

(2)由B(l,4),BCr=(-1,-1),可得點C坐標為(0,3),

所以麗=xO^+(2-x)O?=x(4,0)+(2-x)(0,3)=(4x,6-3%).

222

.?.?OM?=716X+9(2-X)=√25x-36x+36=J25(x-撒2+簽,

???χ∈R,.??當X=票時，I而I取最小值，最小值為「整=言

【解析】(1)由向量模長得到關于Tn的方程，求解即得；

(2)首先求出點C坐標，進而得到宿的坐標，表示出模長，配方求得最小值.

本題考查平面向量的坐標運算，屬基礎題.

21.【答案】解：（1）如圖，延長EF,BC交于點H,取PC的中點Q,連接EQ,貝IJEQ〃BH,

由圖可知，AEQIHCF,嘲喑=等=字T

?CH=2EQ=BC,

連接AH,則G