2012年重慶市高考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2012?重慶）命題“若p則q”的逆命題是（）A．若q則pB．若￢p則￢qC．若￢q則￢pD．若p則￢q2．（5分）（2012?重慶）不等式＜0的解集為（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）3．（5分）（2012?重慶）設A，B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點，則|AB|=（）A．1B．C．D．24．（5分）（2012?重慶）（1﹣3x）5的展開式中x3的系數為（）A．﹣270B．﹣90C．90D．2705．（5分）（2012?重慶）=（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）（2012?重慶）設x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，則|+|=（）A．B．C．2D．107．（5分）（2012?重慶）已知a=log23+log2，b=，c=log32則a，b，c的大小關系是（）A．a=b＜cB．a=b＞cC．a＜b＜cD．a＞b＞c8．（5分）（2012?重慶）設函數f（x）在R上可導，其導函數為f′（x），且函數f（x）在x=﹣2處取得極小值，則函數y=xf′（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）（2012?重慶）設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）10．（5分）（2012?重慶）設函數f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，則M∩N為（）A．（1，﹢∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11．（5分）（2012?重慶）首項為1，公比為2的等比數列的前4項和S4=．12．（5分）（2012?重慶）若f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數，則實數a=．13．（5分）（2012?重慶）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，則sinB=．14．（5分）（2012?重慶）設P為直線y=x與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交點，F1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e=．15．（5分）（2012?重慶）某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其它三門藝術課各1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間至少間隔1節藝術課的概率為（用數字作答）三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（13分）（2012?重慶）已知{an}為等差數列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{an}的通項公式（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk+2成等比數列，求正整數k的值．17．（13分）（2012?重慶）已知函數f（x）=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有極大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．18．（13分）（2012?重慶）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球三次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．（Ⅰ）求乙獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結束時乙只投了2個球的概率．19．（12分）（2012?重慶）設函數f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數g（x）=的值域．20．（12分）（2012?重慶）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點．（Ⅰ）求異面直線CC1和AB的距離；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．21．（12分）（2012?重慶）如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過B1作直線交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面積．2012年重慶市高考數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2012?重慶）命題“若p則q”的逆命題是（）A．若q則pB．若￢p則￢qC．若￢q則￢pD．若p則￢q考點：四種命題．專題：簡易邏輯．分析：將原命題的條件與結論互換，可得逆命題，從而可得解答：解：將原命題的條件與結論互換，可得逆命題，則命題“若p則q”的逆命題是若q則p．故選A．點評：本題考查了命題與逆命題的相互關系的應用，屬于基礎題．2．（5分）（2012?重慶）不等式＜0的解集為（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）考點：其他不等式的解法．專題：計算題．分析：直接轉化分式不等式為二次不等式求解即可．解答：解：不等式＜0等價于（x﹣1）（x+2）＜0，所以表達式的解集為：{x|﹣2＜x＜1}．故選C．點評：本題考查分式不等式的求法，考查轉化思想計算能力．3．（5分）（2012?重慶）設A，B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點，則|AB|=（）A．1B．C．D．2考點：直線與圓相交的性質．專題：計算題．分析：由圓的方程找出圓心坐標和半徑r，根據圓心在直線y=x上，得到AB為圓的直徑，根據直徑等于半徑的2倍，可得出|AB|的長．解答：解：由圓x2+y2=1，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=1，∵圓心（0，0）在直線y=x上，∴弦AB為圓O的直徑，則|AB|=2r=2．故選D點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及圓的標準方程，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．4．（5分）（2012?重慶）（1﹣3x）5的展開式中x3的系數為（）A．﹣270B．﹣90C．90D．270考點：二項式系數的性質．專題：計算題．分析：由（1﹣3x）5的展開式的通項公式Tr+1=?（﹣3x）r，令r=3即可求得x3的系數．解答：解：設（1﹣3x）5的展開式的通項公式為Tr+1，則Tr+1=?（﹣3x）r，令r=3，得x3的系數為：（﹣3）3?=﹣27×10=﹣270．故選A．點評：本題考查二項式系數的性質，著重考查二項式（1﹣3x）5的展開式的通項公式的應用，屬于中檔題．5．（5分）（2012?重慶）=（）A．﹣B．﹣C．D．考點：兩角和與差的正弦函數．專題：計算題．分析：將原式分子第一項中的度數47°=17°+30°，然后利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，合并約分后，再利用特殊角的三角函數值即可求出值．解答：解：===sin30°=．故選C點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．6．（5分）（2012?重慶）設x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，則|+|=（）A．B．C．2D．10考點：平面向量數量積的坐標表示、模、夾角．專題：計算題．分析：通過向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：因為x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故選B．點評：本題考查向量的基本運算，模的求法，考查計算能力．7．（5分）（2012?重慶）已知a=log23+log2，b=，c=log32則a，b，c的大小關系是（）A．a=b＜cB．a=b＞cC．a＜b＜cD．a＞b＞c考點：不等式比較大小．專題：計算題．分析：利用對數的運算性質可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，從而可得答案．解答：解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故選：B．點評：本題考查不等式比較大小，掌握對數的運算性質既對數函數的性質是解決問題之關鍵，屬于基礎題．8．（5分）（2012?重慶）設函數f（x）在R上可導，其導函數為f′（x），且函數f（x）在x=﹣2處取得極小值，則函數y=xf′（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．考點：利用導數研究函數的單調性．專題：證明題．分析：利用函數極小值的意義，可知函數f（x）在x=﹣2左側附近為減函數，在x=﹣2右側附近為增函數，從而可判斷當x＜0時，函數y=xf′（x）的函數值的正負，從而做出正確選擇．解答：解：∵函數f（x）在x=﹣2處取得極小值，∴f′（﹣2）=0，且函數f（x）在x=﹣2左側附近為減函數，在x=﹣2右側附近為增函數，即當x＜﹣2時，f′（x）＜0，當x＞﹣2時，f′（x）＞0，從而當x＜﹣2時，y=xf′（x）＞0，當﹣2＜x＜0時，y=xf′（x）＜0，對照選項可知只有C符合題意．故選：C．點評：本題主要考查了導函數與原函數圖象間的關系，函數極值的意義及其與導數的關系，篩選法解圖象選擇題，屬基礎題．9．（5分）（2012?重慶）設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）考點：異面直線的判定；棱錐的結構特征．專題：計算題；壓軸題．分析：先在三角形BCD中求出a的范圍，再在三角形AED中求出a的范圍，二者相結合即可得到答案．解答：解：設四面體的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，頂點為A，AD=在三角形BCD中，因為兩邊之和大于第三邊可得：0＜a＜2（1）取BC中點E，∵E是中點，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=∵兩邊之和大于第三邊∴＜2得0＜a＜（負值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．故選：A．點評：本題主要考察三角形三邊關系以及異面直線的位置．解決本題的關鍵在于利用三角形兩邊之和大于第三邊這一結論．10．（5分）（2012?重慶）設函數f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，則M∩N為（）A．（1，﹢∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）考點：指、對數不等式的解法；交集及其運算；一元二次不等式的解法．專題：計算題；壓軸題．分析：利用已知求出集合M中g（x）的范圍，結合集合N，求出g（x）的范圍，然后求解即可．解答：解：因為集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））2﹣4g（x）+3＞0，解得g（x）＞3，或g（x）＜1．因為N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}．即3x﹣2＜1，解得x＜1．所以M∩N={x|x＜1}．故選：D．點評：本題考查集合的求法，交集的運算，考查指、對數不等式的解法，交集及其運算，一元二次不等式的解法，考查計算能力．二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11．（5分）（2012?重慶）首項為1，公比為2的等比數列的前4項和S4=15．考點：等比數列的前n項和．專題：計算題．分析：把已知的條件直接代入等比數列的前n項和公式，運算求得結果．解答：解：首項為1，公比為2的等比數列的前4項和S4==15，故答案為15．點評：本題主要考查等比數列的前n項和公式的應用，屬于基礎題．12．（5分）（2012?重慶）若f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數，則實數a=4．考點：函數奇偶性的性質．專題：計算題．分析：由題意可得，f（﹣x）=f（x）對于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0對于任意的x都成立，從而可求a解答：解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數∴f（﹣x）=f（x）對于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案為：4．點評：本題主要考查了偶函數的定義的應用，屬于基礎試題13．（5分）（2012?重慶）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，則sinB=．考點：余弦定理；同角三角函數間的基本關系．專題：計算題．分析：由C為三角形的內角，及cosC的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，再由a與b的值，利用余弦定理列出關于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C為三角形的內角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案為：點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及基本關系是解本題的關鍵．14．（5分）（2012?重慶）設P為直線y=x與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交點，F1是左焦點，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e=．考點：直線與圓錐曲線的關系；雙曲線的簡單性質．專題：計算題；壓軸題．分析：設F1（﹣c，0），利用F1是左焦點，PF1垂直于x軸，P為直線y=x上的點，可得（﹣c，）在雙曲線﹣=1上，由此可求雙曲線的離心率．解答：解：設F1（﹣c，0），則∵F1是左焦點，PF1垂直于x軸，P為直線y=x上的點∴（﹣c，）在雙曲線﹣=1上∴∴∴=故答案為：點評：本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質，考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．15．（5分）（2012?重慶）某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其它三門藝術課各1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間至少間隔1節藝術課的概率為（用數字作答）考點：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統計．分析：語文、數學、外語三門文化課兩兩不相鄰的排法可分為兩步，先把其它三門藝術課排列有種排法，第二步把語文、數學、外語三門文化課插入由那三個隔開的四個空中，有種排法，由此可求得在課表上的相鄰兩節文化課之間至少間隔1節藝術課的概率．解答：解：語文、數學、外語三門文化課兩兩不相鄰的排法可分為兩步，先把其它三門藝術課排列有種排法，第二步把語文、數學、外語三門文化課插入由那三個隔開的四個空中，有種排法，故所有的排法種數為．∴在課表上的相鄰兩節文化課之間至少間隔1節藝術課的概率為．故答案為：．點評：本題考查概率的求法，解題的關鍵是根據具體情況選用插空法，屬于基礎題．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（13分）（2012?重慶）已知{an}為等差數列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{an}的通項公式（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk+2成等比數列，求正整數k的值．考點：等比數列的性質；等差數列的通項公式．專題：計算題．分析：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=2，d=2，從而得到{an}的通項公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項和為Sn==n（n+1），再由=a1Sk+2，求得正整數k的值．解答：解：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=2，d=2．∴{an}的通項公式an=2+（n﹣1）2=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項和為Sn==n（n+1）．∵若a1，ak，Sk+2成等比數列，∴=a1Sk+2，∴4k2=2（k+2）（k+3），k=6或k=﹣1（舍去），故k=6．點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等差數列的通項公式，屬于中檔題．17．（13分）（2012?重慶）已知函數f（x）=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有極大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．考點：利用導數求閉區間上函數的最值；函數在某點取得極值的條件．專題：綜合題；探究型；方程思想；轉化思想．分析：（Ⅰ）由題設f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函數在點x=2處取得極值c﹣16，可得解此方程組即可得出a，b的值；（II）結合（I）判斷出f（x）有極大值，利用f（x）有極大值28建立方程求出參數c的值，進而可求出函數f（x）在[﹣3，3]上的極小值與兩個端點的函數值，比較這此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可．解答：解：（Ⅰ）由題f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函數在點x=2處取得極值c﹣16∴，即，化簡得解得a=1，b=﹣12（II）由（I）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2當x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上為增函數；當x∈（﹣2，2）時，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上為減函數；當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數；由此可知f（x）在x1=﹣2處取得極大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2處取得極小值f（2）=c﹣16，由題設條件知16+c=28得，c=12此時f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值及利用導數求函數的極值，解第一小題的關鍵是理解“函數在點x=2處取得極值c﹣16”，將其轉化為x=2處的導數為0與函數值為c﹣16兩個等量關系，第二小時解題的關鍵是根據極大值為28建立方程求出參數c的值．本題考查了轉化的思想及方程的思想，計算量大，有一定難度，易因為不能正確轉化導致無法下手求解及計算錯誤導致解題失敗，做題時要嚴謹認真，嚴防出現在失誤．此類題是高考的常考題，平時學習時要足夠重視．18．（13分）（2012?重慶）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球三次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．（Ⅰ）求乙獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結束時乙只投了2個球的概率．考點：相互獨立事件的概率乘法公式；概率的基本性質．專題：計算題．分析：（Ⅰ）分別求出乙第一次投球獲勝的概率、乙第二次投球獲勝的概率、乙第三次投球獲勝的概率，相加即得所求．（Ⅱ）由于投籃結束時乙只投了2個球，說明第一次投球甲乙都沒有投中，第二次投球甲沒有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把這兩種情況的概率相加，即得所求．解答：解：（Ⅰ）∵乙第一次投球獲勝的概率等于=，乙第二次投球獲勝的概率等于??=，乙第三次投球獲勝的概率等于=，故乙獲勝的概率等于++=．（Ⅱ）由于投籃結束時乙只投了2個球，說明第一次投球甲乙都沒有投中，第二次投球甲沒有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了．故投籃結束時乙只投了2個球的概率等于+×=．點評：本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．19．（12分）（2012?重慶）設函數f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數g（x）=的值域．考點：三角函數中的恒等變換應用；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題：三角函數的圖像與性質．分析：（Ⅰ）通過函數的周期求出ω，求出A，利用函數經過的特殊點求出φ，推出f（x）的解析式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函數g（x）=的表達式，通過cos2x∈[0，1]，且，求出g（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由題意可知f（x）的周期為T=π，即=π，解得ω=2．因此f（x）在x=處取得最大值2，所以A=2，從而sin（）=1，所以，又﹣π＜φ≤π，得φ=，故f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）函數g（x）=======因為cos2x∈[0，1]，且，故g（x）的值域為．點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查計算能力．20．（12分）（2012?重慶）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點．（Ⅰ）求異面直線CC1和AB的距離；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．考點：用空間向量求平面間的夾角；點、線、面間的距離計算；二面角的平面角及求法．專題：計算題；證明題；壓軸題．分析：（Ⅰ）先根據條件得到CD⊥AB以及CC1⊥CD，進而求出C的長即可；（Ⅱ）解法一；先根據條件得到∠A1DB1為所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角，再根據三角形相似求出棱柱的高，進而在三角形A1DB1中求出結論即可；解法二：過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量的坐標，最后代入向量的夾角計算公式即可求出結論．解答：解：（Ⅰ）解：因為AC=BC，D為AB的中點，故CD⊥AB，又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以異面直線CC1和AB的距離為：CD==．（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥平面A1ABB1，從而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1為所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角．因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂線定理的逆定理得AB1⊥A1D，從而∠A1AB1，∠A1DA都與∠B1AB互余，因此∠A1AB1=∠∠A1DA，所以RT△A1AD∽RT△B1A1A，因此=，得=AD?A1B1=8，從而A1D==2，B1D=A1D=2．所以在三角形A1DB1中，cos∠A1DB1==．解法二：過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由第一問知：DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD1分別為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標系D﹣XYZ．．設直三棱柱的高為h，則A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h）．B1（2，0，h）．C（0，，0）從而=（4，0，h），=（2，，﹣h）．由AB1⊥A1C得?=0，即8﹣