數(shù)與式㈠

居藤雨風(fēng)匐。膽。飽明個(gè)鬧嬲念

相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互稱為相反數(shù).特別地，0的相反數(shù)是0.

相反數(shù)的性質(zhì)：

⑴代數(shù)意義

⑵幾何意義：一對(duì)相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點(diǎn)兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等.

這兩點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

（3）求任意一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上“一〃號(hào)即可.

一般地，數(shù)。的相反數(shù)是-“；這里以，，表示任意一個(gè)數(shù)，可以為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，也可以

是任意一個(gè)代數(shù)式.注意不一定是負(fù)數(shù).

當(dāng)。>0時(shí)，-a<0；當(dāng)。=0時(shí)，-a=0；當(dāng)。<0時(shí)，-a>0.

⑷互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零，即假設(shè)“與b互為相反數(shù)，那么。+。=0,

反之，假設(shè)。+6=0,那么。與。互為相反數(shù).

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)”的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)“的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù)〃的絕對(duì)值

記作網(wǎng).

絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕

對(duì)值是0.

a{a>0)

求字母a的絕對(duì)值：\a\=-0(4=0)

-a(a<0)

【例1】有理數(shù)一2的相反數(shù)是（）

A.2B.-2C.-D.-l

22

【例2】-丄的倒數(shù)是（

)

3

A.3B.-3C.-D.l

23

【例3】的倒數(shù)的絕對(duì)值為（）

3

A.2B.-C.3D.2

32

居臨三於盥堂於覇品尬窯繳演等

科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成“X10”的形式〔其中14a<10,〃是整數(shù)〕，此種記

法叫做科學(xué)記數(shù)法.

例如：200000=2x105就是科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的形式.

10200000=1.02x107也是科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的形式.

有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有

效數(shù)字.

如：0.00027有兩個(gè)有效數(shù)字：2,7；1.2027有5個(gè)有效數(shù)字11,2,0,2,7.

注意：萬=1。4,億=

【例4】2021年初甲型H1N1流感在墨西哥爆發(fā)并在全球蔓延，研究說明，甲型H1N1流

感球形病毒細(xì)胞的直徑約為0.00000156m,用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)（保存兩位

有效數(shù)字）是（）

A.0.16xl0-5mB.0.156x10m

C.1.6x10-<>mD.1.56x106m

【例5】2021年上海世博會(huì)開園第一個(gè)月共售出門票664萬張,664萬用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為

（）

A.664xl04B.66.4xl05C.6.64xl0fiD.0.664xl07

【例6】在電子顯微鏡下測(cè)得一個(gè)圓球體細(xì)胞的直徑是5xl0-scm,2x103個(gè)這樣的細(xì)胞排

成的細(xì)胞鏈的長(zhǎng)是（）

A.10-2cmB.lO-icmC.10-3cmD.10-4cm

居嶺垓窗週覇倒我心眼圓

①

代數(shù)法：正數(shù)大于非正數(shù)，零大于負(fù)數(shù)，對(duì)于兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.

②

數(shù)軸法：數(shù)軸右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大.

③

作差法：a-b>0<^>a>b,a-b=0<^>a=b,a-b<0oa<b.

④

作商法：假設(shè)a>0,b>0,->1<=>a>/?,—=1<^>a=b,<1<=>a<b.

bbb

⑤取倒法：分子一樣，通過比擬分母從而判定兩數(shù)的大小.

【例7】有理數(shù)〃與人在數(shù)軸上的位置如下圖，那么a,b,-a,的大小順序?yàn)?/p>

—1-----1---1---->>

h0a

【鞏固】在數(shù)軸上表示以下各數(shù)，再按大小順序用〃〈〃號(hào)連接起來.

-4,0,-4.5,—1丄，2,3.5,1,2丄

22

2

【例8】0<x<l,那么X2,X,丄的大小順序?yàn)?/p>

X

考點(diǎn)四：絕對(duì)值的化簡(jiǎn)

【例9】假設(shè)化簡(jiǎn)一1)2一1()

A.ci—2B.2—aC.aD.—Q,

【例10】假設(shè)化簡(jiǎn)絕對(duì)值|2。-6|的結(jié)果為6-2〃，那么。的取值范圍是1)

A.a>3B.tz>3C.。<3D.a<3

【例11】假設(shè)|)-2|+工-2=0,那么x的取值范圍是

【例12】如果有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖，^\a+b\-\b-\\-\a-c\-\\-c\(Kj

值為.

考點(diǎn)五：翦境囤漁廩

代數(shù)式的定義：用根本的運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方等)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成

的式子叫做

代數(shù)式.

單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式.

單項(xiàng)式：像-2a,M-L2y，一欣，堊絲，……這些代數(shù)式中，都是數(shù)字與字

37

母的積，這樣的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式.也就是說單項(xiàng)式中不存在數(shù)字與字母或

字母與字母的加、減、除關(guān)系，特別的單項(xiàng)式的分母中不含未知數(shù).單獨(dú)的

一個(gè)字母或數(shù)也叫做單項(xiàng)式，例：。、-3.

單項(xiàng)式的次數(shù)：是指單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和.例如：?jiǎn)雾?xiàng)式-丄浦2C,它的指數(shù)為

2

1+2+1=4,是四次單項(xiàng)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)(零除外),它們的次數(shù)規(guī)定為零，

叫做零次單項(xiàng)式.

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)數(shù)的系數(shù).例如：我們把士叫做單項(xiàng)式竺軍的

77

系數(shù).

同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).

多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式例如：-3x+1是多項(xiàng)式.

9

多項(xiàng)式的項(xiàng)：其中每個(gè)單項(xiàng)式都是該多項(xiàng)式的一個(gè)項(xiàng).多項(xiàng)式中的各項(xiàng)包括它前面的符號(hào).

多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

多項(xiàng)數(shù)的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

3

合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng).

合并同類項(xiàng)時(shí)，只需把系數(shù)相加，所含字母和字母指數(shù)不變.

整式乘除：⑴同底數(shù)幕相乘.

同底數(shù)的幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.用式子表示為：

a"<'a"=a'"+i>（m,n都是正整數(shù)〕.

⑵幕的乘方.

幕的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.用式子表示為：

"）=即，〔機(jī)，〃都是正整數(shù)〕.

⑶積的乘方.

積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘用

式子表示為：

D二〃而〔〃是正整數(shù)〕.

（4）同底數(shù)幕相除.

同底數(shù)的黑相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.用式子表示為：

〔aWO,tn）〃都是正整數(shù)〕

⑸規(guī)定〃o=l（4WO）;a-P=—〔QWO,P是正整數(shù)〕.

ap

【例1】以下各對(duì)單項(xiàng)式中不是同類項(xiàng)的是（）

A.一y2與（-4犬2），）B.28尢4y3與-15戶工4

4

C.15a2匕與0.02ab2D.一34與-43

【例2】單項(xiàng)式一;與3X2），是同類項(xiàng)，求。一6的值.

【例3】填空：假設(shè)單項(xiàng)式（〃-2）心丿?是關(guān)于的三次單項(xiàng)式，那么〃=

【例4】當(dāng)“取什么值時(shí)，（根+2?加_|戸-3肛3是五次二項(xiàng)式？

【例5】以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是（）

A.2x2-3x2=6x4B.2x2-3x2--1

2

C.242+3x2=—尢2D.2x2+3x2=5犬4

3

【例6】假設(shè)實(shí)數(shù)a滿足。2-2a-4=0,那么2。2—4。+5=<

4

【例7】假設(shè)=xy=j2,那么代數(shù)式。-隻），+1）的值等于（)

A.2嫗+2B.272-2C.2/D.2

［例8］X2-4x-3=0,求20_1)2_(x+l)Cx-l)-4的值.

皚鹹2照亮空就

【例9】如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）,將余下局

部拼成一個(gè)梯形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影局部面積的關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于a、b的

恒等式為(

A.=。2-2ab+b2B，(a+/?>=a2+2ab+b?

C.〃2-Z?2=(a-\-b)(a-b)D.〃2+ab=a(a+b)

【例10】假設(shè)m2-鹿2=6,且相一〃二3,那么團(tuán)+〃=

【例11】假設(shè)4元2-奴+9是完全平方式，那么女的值為（）

A.6B.±6C.12D.±12

【例12】代數(shù)式X2-2X-1的最小值是（)

A.1B.-1C.2D.-2

【例13】用配方法把代數(shù)式元2-4戈+5變形,所得結(jié)果是（）

A.(x—2)2+1B.(x—2”—9C.(X+2)2-1

D.(x+2)2—5

【例14］無+y=2,那么孫()

A.有最大值1B.有最小值1C.有最大值丄D.有最小值丄

22

皚能8圈就麓

因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也可稱

為將這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

因式分解與整式乘法互為逆變形：

5

z,,.、整式的乘積1,

m（a+。+c）ma+mb4-me

因式分解

式中〃?可以修單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，它是多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的因式,

稱為公因式

因式分解的常用方法：

提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法.

分解因式的一般步驟：

如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提公因式；如果各項(xiàng)沒有公因式，再看能否直

接運(yùn)用公式

十字相乘法分解，如還不能，就試用分組分解法或其它方法.

【例15】把代數(shù)式7HT2-6〃a+9團(tuán)分解因式，以下結(jié)果中正確的選項(xiàng)是（）

A.機(jī)（X+3）2B.加（工+3）（尤一3）C./n（x-4）2D.w（x-3）2

練習(xí)：分解因式：1.8R4y3Z2-6冗5尸2.-2/M3+6/加一18團(tuán)

3.X2y2—X2Z2—y2Z24-Z44.一26孫3Z2+13盯2Z2+52x5^224

【例16】因式分解：1-X24-4xy-4）＞2=

【例17】因式分解：4型-16y2=

6

JLJULAJUL____

?數(shù)與式一?過關(guān)檢測(cè)題

色弱區(qū)泡鎚

一、選擇題

【例13］」的倒數(shù)是（）

3

A.一3B.3C.1D.-2

33

【例14】以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是（）

A.3<）=0B.-|-3|=-3C.3-1=-3D.>/9=±3

【例15】以下各數(shù)：0、帀、0.23、cos60。、絲、0.3030030003.......、1-"中無

27

理數(shù)個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【例16］據(jù)報(bào)道，5月28日參觀2021上海世博會(huì)的人數(shù)到達(dá)35.6萬，用科學(xué)記數(shù)法表示

數(shù)35.6萬是（）

A.3.56x101B.3.56x104C.3.56x105D.35.6x104

【例17】以下式子運(yùn)算正確的選項(xiàng)是（）

A.品-短=1B.''8=4V2C.-L=>/3

vV3

【例18】以下運(yùn)算正確的選項(xiàng)是（）

-A.X2+X2=2X4B.3x2-i-x=2xC.X4?X2=X6

D.（X2）3=%5

【例19】以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）

C.47是有理數(shù)D.當(dāng)是分

A.J語的平方根是±2B.橢是無理數(shù)

數(shù)

7

【例20】數(shù)軸上的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是6,那么點(diǎn)A表示的數(shù)為()

A.6或一6B.6C.-6D,3或-3

【例21】a-2h=-2,那么4-2。+劭的值是()

A.OB.2C.4D.8

【例22】以下命題中，正確的選項(xiàng)是()

A.假設(shè)ah>0,那么a>0,b>0B.假設(shè)a-b

<0,那么“<0,b<0

C.假設(shè)4力=0,那么。=0,且6=0D.假設(shè)a-b

=0,那么a=0或i>=0

【例23］如圖，假設(shè)A是實(shí)數(shù)“在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn),那么關(guān)于a,-a,1的大小關(guān)系表示

正確的選項(xiàng)是()

A01

A.a<l<-aB.a<<1C.\<-a<aD.-a<a<\

【例24】假設(shè)2a"&B+3”與g—bs的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，那么機(jī)、"的值分別是()

A.1、2B.2、1C.l>ID.1、3

【例251斤，+|2>+耳=0,那么x—y的值為()

A.-5B.-1C.1D.5

【例26】一次課堂練習(xí)，小敏同學(xué)做了如下4道因式分解題，你認(rèn)為小敏做的不夠完整的

一道題是()

A.X3-x=X(X2-1)B.X2-2孫+產(chǎn)=(x-y)2

C.X2y-xy2=xy(x-y)D.X2-yi=(x—y)(x+y)

【例27】因式分解：ab-a"結(jié)果正確的選項(xiàng)是()

A._磯匕2—a2)B.a(b-a)2c.a(b+a)(b-c