2023?2024學年安徽縣中聯盟高二12月聯考

數學試題

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答

題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命題范圍仄齷A￡4擇:性)禰親二晨良/性蘇在培二冊窠百羊第7之節。

一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.過點(2,—1)且與直線2工―3y+9=O平行的直線的方程是

A.27-3y—7=0B.2x+3y—1=0

C.3x+2^—4=0D.2z—3y+7=0

2.已知等軸雙曲線C的對稱軸為坐標軸，且經過點A(4伍,2),則雙曲線C的標準方程為

A甕—尤=]Ry_0二—武=]D武—式=]

,3636363628282828

3.若曲線三十生=1表示橢圓，則實數t的取值范圍是

t—Z4—t

A.(2,4)B.(2,3)U(3,4)

C.(—oo,2,)U(4,+oo)D.(4,+oo)

4.已知拋物線C：?2=2ar(D>0),過點P(3,0)且垂直于z軸的直線I交拋物線C于A,B兩

點,。為坐標原點，若△OAB的面積為9,則p=

A.-g-B.20，D.3

5.已知等差數列儲”｝是遞增數列，其前n項和為S”,且滿足?6=2?3,當&〉0時，實數發的最

小值為

A.10B.11C.20D.21

6.已知點P是雙曲線C：卷一￡=1上一點，則點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為

AMlR36旦nDA

A.13B.13C.]3-13

7.已知正四棱錐P-ABCD的各棱長均相等，點E是PA的中點，點F是PC的中點，則異面直

線DE和BF所成角的余弦值是

A.：B.C./D.-y

8.已知橢圓C：》今=1(。>6>0)的左、右焦點分別為居，Fz,點P在橢圓C上,PB的延長

線交橢圓C于點Q,且|PFJ=|PQ|APFE的面積為",記△PF】B與△QBB的面積

分別為S,Sz,則募=

A.72B.^+1C.72+1D.2

二、多項選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知。=(1,—1,—1),b=(—2,2,0)9c=(2,1,—3),則

A.|a-f-b|B.(Q+8)<(a+c)=-6

C.(a+2b)_LcD.a//(2c—b)

2222

10.已知。G：(j;+2)+3/=ri,0C2：(J;-2)+j=r2,r1〉0,廠2〉0,則下列說法正確的是

A.若分別是。G與。C2上的點，則I的最大值是n+r2+4

B.當一尸2,廠2=3時,。G與。。2相交弦所在的直線方程為1=得

C.當r2=2時,若。C2上有且只有3個點到直線kx-y-2k+72=0的距離為1,則k=l

D.若。G與。C?有3條公切線，則nr2的最大值為4

11.已知傾斜角為冷的直線/經過拋物線C：y=2ar(力>0)的焦點F,且與拋物線C交于A,B

兩點(點A在第一象限)，與拋物線C的準線相交于點D,則

A.以AF為直徑的圓與y軸相切B.準線m上存在唯一點Q,使得瓦?QB=0

「\BD\n\AF\_

'\BF\~■\BF\~

12.“斐波那契螺旋線”是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，也稱為“黃金螺旋曲線”，圖中小

正方形的邊長從小到大分別為斐波那契數列{F0},其中居=1,B=1,契=2,居=3,…，小

正方形的面積從小到大記為數列{a,,},小正方形所對應扇形的面積從小到大記為數列

{6,3則

AF2021+F2025_0

F2023

B.FI+F2H----HF2023=尸2025—1

C.41+。2+…+42023=F2023F2024

D.6]+62+??,+62023=F0223尸2024

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數列｛“〃｝是等差數列,“3+。7+Q11=—，則恁+。8=.

14.已知過原點。作圓C：(x—4)2+(、-3)2=9的兩條切線，切點分別是A,b則cosZAOB

15.已知點PCc。,、。)是拋物線N2=6'上的一個動點，則，1^。+玩段+|3耿+2)。+10|的

最小值是.

16.已知雙曲線E：胃一￡=1(a>0,6>0)的左、右焦點分別為B，Fz，直線/：?=

廣7+"TF)與雙曲線E的左、右兩支分別交于P,Q兩點，且|PQ|=|QB|,若雙曲

線E的離心率為e,則e2-5=.

四、解答題:本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本小題滿分10分)

已知等差數列的前n項和為S",a4=7,Su=121.

(1)求數列｛。"的通項公式；

(2)令6“=",求數列出“｝的前”項和T,,.

18.(本小題滿分12分)

已知圓*+y+2x=0的圓心F是拋物線C的焦點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線I交拋物線C于A,B兩點，點P(—2,—1)是AB的中點，求直線I的方程.

19.(本小題滿分12分)

在菱形ABCD中,NBAD=等,AB=2,將菱形ABCD沿著BD翻折，得到三棱錐A-BCD

如圖所示，此時AC=^6.

(1)求證:平面ABD,平面BCD；

(2)若點E是CD的中點，求直線BE與平面ABC所成角的正弦值.

C

B

20.（本小題滿分12分）

已知橢圓C,+g=l（a〉6>0）的左、右焦點分別是居，Fz,左、右頂點分別是A,Az，上、

下頂點分別是耳，民，四邊形A13A2昆的面積為24,四邊形居BiBBz的面積為6斤.

（1）求橢圓C的方程；

⑵直線/：?=左"十根與圓O：/+J=4相切,與橢圓C交于M,N兩點,若△MON的面積

為呼,求由點M,N,5，&四點圍成的四邊形的面積.

21.（本小題滿分12分）

已知數列｛溫的前九項和為S“，a尸合,S尸審a"，》=tan3）tan（a+）.

（1）求數列｛。"的通項公式；

（2）求數列｛6.｝的前2024項和「024.

22.（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系zOy中，已知動點M（2"?,〃?），N（2",一〃），點G是線段MN的中點，且

點（》?,〃）在反比例函數的圖象上,記動點G的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若曲線E與z軸交于A,B兩點，點S是直線①=1上的動點，直線AS,BS分別與曲線

E交于點P,Q（異于A,B）.求證:直線PQ過定點.

2023?2024學年安徽縣中聯盟高二12月聯考?數學試題

參考答案、提示及評分細則

題號123456789101112

選項ACBACBDCACADABCBC

一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分，共40分.

1.A【解析】設與直線2z—3y+9=O平行的直線的方程為2z—3）+a=0,將點（2,—1）代入得2X2—3X

（—1）+入=0,解得入=—7,所以所求直線的方程為2z—3了一7=0.故選A.

2.C【解析】設等軸雙曲線C的方程為二一式=1,將點A（4畬,2）代入得盟一應=L解得"z=28.所以雙曲

mmmm

線C的標準方程為嬴一向=1.故選C.

卜一2〉0,

3.B【解析】若曲線3+若=1表示橢圓，則｛4—%>0,解得2<xV4且1N3,所以實數t的取值范圍是

[￡一2N4一力，

（2,3）U（3,4）.故選B.

4.A【解析】將z=3代入/=2",得了=土支,所以點A（3,/J）,B（3,一同），所以|AB|=2回,

\OP\=3,因為5血=3|人引|OP|=母義2夜><3=9,解得力=停.故選八.

5.C【解析】因為是遞增數列，所以。〉0.因為46=2勾3,所以。i3+3d=2a13,所以。i3=3d,所以a1o+3d

=3d,aio=0,所以S”—19tzio=0,S20=Si9+&o=。20=aio+10d=10d>0,所以當&〉0時，人的最小值為

20.故選C.

6.B【解析】由雙曲線C的方程知漸近線方程為3%士2y=0,設P（z0,y。），由題意，得普一苧=1,即4%一9曷

=36,點P到漸近線3z+2）=0的距離由=乜臺普*L,點p到漸近線31—2、=0的距離d2=

732+22

|3工012yoIcep,,,—I9忌一4必1_36卅*R

,32+（-2）2'所以44—9+4—]3.故選

7.D【解析】設AC,BD相交于點O,根據題意，以OA,OB,OP所在直線分

別為z軸，'軸,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示,不妨設AB=4,則

QA=OB=2慮',OP=2廢■，貝ljA（2A/2,0,0）,B（0,2#,0）,C（-2y2,0,

0）,ZX0.—2北;0）,P（0,0,2廢'），因為點E是PA的中點，點F是PC的

中點，所以后（廢',0,廢'），尸（一加',0,&'）,所以證=（72,272,72）,5?"=

2區中，則3〈癥徐〉二信普"袤案=

一母,所以異面直線DE和BF所成角的余弦值是停.故選D.

8.C【解析】不妨設\PF1|="z,|PF?|，焦距|=2c,由△PRFz的面積為加，得4加〃?

22

sin/FiPF2=〃，由余弦定理，得|居￡|\PFl\+\PF2\-2|PFj||PF21cos/BPFz,則4浸=余

+n2—2mncos/F\PF?=(m+22)2—2mn(1+cos/FiPF?)=4a2—2mn(1+cos/FiPF?),所以

22

m??(1+cos^/FiPF2)=2a—2c=2〃,即(1+cos/FiPF2)=mnsin/FiPF2，所以l+cos/FiPB=

sin/BPFz,所以庶'sin(/KPB—￡)=1,易得/FiPFz=},|PF"=|PQ|=根，所以田Q|=#?,

所以|PBI=2a-m,IQF,|=2a—2m,所以|PQ|=|PF?|十|QB|=4a—(笈+1)加=，〃，所以m=4a

—242a,所以|PF,|=(272"—2)a,IQFz|=(6—4廢')a,所以魯=|)27^1|+1.

5132|(6—4/2)。

故選C.

二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.

9.AC【解析】a+b=(―—,所以|a+'=乃,A正確；a+c=(3,0,—4),所以(a+b)?(a+c)=

—3+。+4=1,B錯誤;a+2b=(—3,3,—1),(a+2b)?c=-6+3+3=0,所以(a+2b)J_c,C正確；2c—b

=(6,0,—6),不存在實數Q使得a=K2c—b)，故a與2c—b不平行,D錯誤.故選AC.

10.AD【解析】由題意可知G(—2,0)(2(2,0),所以|GQ|=4,又A,B分別是0G與。C2上的點，所以

|AB|的最大值是ri+rz+4,A正確；當n=2,2=3時，。G：(Z+2?+/=4,OC?：(%-2y+/=%

兩圓相交,兩圓方程相減得相交弦所在的直線方程為z=一^,B錯誤;當2=2時，若?Cz上有且只有3

個點到直線為z—y-2為+伍=0的距離為1,則點C2到直線4工一24+笈=0的距離為1,所以

」-22—匯28+@1=1,解得&=±i,c錯誤;若與?Q有3條公切線，則?Ci與?G外切，即n+r2

Vk^+1

=4,所以r1U/)一=4,當且僅當ri=rz=2時等號成立.D正確.故選AD.

11.ABC【解析】設4(工1，2),35,北)，4,0)2尸的中點為(當+號,1)，由拋物

線的定義，得IAF|=g十號,AF的中點到y軸的距離為得+^-=~^-|AF|,故以

AF為直徑的圓與,軸相切,A正確；|AB||AF|+|BF|=辦+&+力,AB的中點

到準線的距離為巧也十號=，AB|，因此以AB為直徑的圓與準線相切,故準線

機上存在唯一點Q,使得9?速=0,B正確；如圖所示.過點A,B作準線機的垂線，

垂足分別為點E,M,由傾斜角為冷，可得/MDB=￡■，設|BF\=s,則|BM\=“因為sin/MDB=相繆

J0IDLyI

=sin/,所以|BD|=2s,j|哥=2,C正確;設|AF|一，貝l」|AE|=力，因為sinNMDB=~^~=」+s，2s

=sin*,所以z=3s,所以|AF\=3s,所以R^j~=3,D錯誤.故選ABC.

0InrI

12.BC【解析】因為Fn+2=Fn+1+Fn=2Fn+E—,F1=E—,所以Fn+2+Fn-2=(2E+F1)+

2

(Fn-Fn-i)—3F?，令〃=2023,得B021+F2025=3F?023,所以一2一2'=3,A錯誤；B+F?+…+

023

023=(F—F)+(F—F3)+???+(F2025024)=6025025-LBQ”==

F2324—F2-F2=F2正確；

F<Fi—F?-i)=FF+!-F?-iF?，所以見+a2H------\~a023=瑤+CF2F3—)+(FF—F2F3〉H—

nn+nn2FIF234

+(尸2023尸2024—B022尸2023)=尸202392024,C正確；A=亍F?=g&,所以仇+仇+…+仇023=

(Q1+。2+…+。2023)=今尸2023B024，D錯誤.故選BC.

三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】—2乃

【解析】根據等差數列的性質，得恁+。7+。11=3田=—3^/2，所以。7=—4^，所以。6+〃8=—2氏.

14.【答案】，

【解析】由題意知，圓C的圓心坐標為(4,3),半徑廠=3,所以|OC|=/?^=5,而/48=璃)=得,所以

|CX.|o

Q7

cos/AOB=cos2^/AQC=1—2sin2^AOC=1—2X-^7=巧.

Zb25

15.【答案】13

【解析】過點P作直線PQ與直線3支+2'+10=0垂直,垂足為Q,點F(0,~1)為拋物線/=6?的焦點，則

\PF\=2+得，|PQ|=13"。+絲+101,過點F作直線FFi與3“+2?+10=0垂直,垂足為F一則

\PF\+\PQ\>\FQ\^\FF1|」=*,當且僅當F,P.F三點共線時等號成立，即/。+等+

v13乙

|3例十竺+10］〉713.所以北十&卒+|3^o+2^+10|)13.即y°十之算+

V13乙乙

I3?zo+2j/o+lO|的最小值是13.

16.【答案】2悟

【解析】直線，”=毋(葉/?^廬)過尸1且與雙曲線E的一條漸近線：、=一,？垂直，設垂足為T,易得

\F,T\=仇因為|OB|=c，所以|OT|=/?^=4,所以cos/TFjO=：,因為|PQ|=|QF?|.由雙

曲線的定義得IQFi|-|QF2|=|FQ|+IFFiI-QF2\=\PFi\=2a,\PF2\~\PF}=2a,

II_在APrrrh/Tr門一IPBI,+IB￡2I2一|PF2|2即b(2d)2+(2c)2—(4<i)2

1PJ7A

P￡I—4a,在中，cos/TBO-------2|PFt||\------，即丁=------2?2a?2c------

=/等=先注，所以“―2仍一2/=0,所以(?)2—2X?—2=0,所以9=1+乃(?=1一偌

舍去)，所以次一5=、-5="歲—5=!一4=(1+乃y-4=2片.

aaa

四、解答題:本大題共6小題，共70分.

17.(本小題滿分10分)

解：(1)因為5口=山釁32=11施=121,所以a6=ll.........................................2分

設｛%｝的公差為/所以。4+2/=11,即7+2/=n,所以d=2.4分

所以數列｛&｝的通項公式為an=a^+（〃-4）d=2〃-1..........5分

（2）由（1）,得S“二ll+（2,一1）」="..................................................6分

所以4=2=〃，圖H—4=1，所以數列伉｝是首項為1,公差為1的等差數列....................8分

n

所以數列｛"｝的前n項和T“=（I,”=9十號........................................1。分

18.（本小題滿分12分）

解：（1）圓72+y2+2x=。的方程可化為（i+l）2+y2=],故圓心的坐標為尸（一1,0）........................1分

設拋物線C的方程為V=-2%：（2>0）,所以—1■=一].,所以夕=2,...................................................3分

所以拋物線。的方程為/=—4辦.......................................................5分

（乂=-4久1,

（2）設4（?,了1）,_6（竟2,丁2）,則《兩式相減，得乂一出=一4（6一12），................7分

〔必=—4支2,

即（“+北）（〃一了2）=—4（?—），所以直線I的斜率氏=：：==+1...................................8分

因為點P（—2,—1）是AB的中點，所以？1+了2=—2,所以上=不、^=2............................................10分

所以直線Z的方程為;y+1=2（力+2）,即21一y+3=0........................................................................12分

19.（本小題滿分12分）汽，

（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形,/BAD=^，所以ABAD與^BCD卜

$I

均為正三角形，\\\

取BD的中點O,連結OA,OC,則OA，BD,.......................................2分

因為AB=2,所以OA=OC=偌，/,，‘二I二一

因為。42+002=6=4。，所以OA，OC,...........................................4分產?

又BE）nOC=O,BD,OCU平面BCD,所以OA_L平面BCD...........5分,

因為OAU平面ABD,所以平面ABD_L平面BCD...................................................................................6分

（2）解：由（1）可知,OA,OB,OC兩兩垂直，以。為坐標原點,OB,OC,QA所在直線分別為工軸,y軸,z軸建

立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0,0,①）,B（l,0,0）,C（0,西,0）,D（-1,0,0）,

因為E是CD的中點，所以E（一言，亨,0），所以蔭=（-1,0,73）,BC=（―0,0）,懿=

（—等,鄉,0），...............................................................................................................................................7分

[BA,m=-x-\-/3z=0,

設機=Cr,皿2）為平面ABC的一個法向量，則《一

IBC-m=-X-\-43y=Q）,

令j/=l,得乃，2=1,所以m=（痣，1,1）..................................................................................................9分

cos<BE,m>11分

設直線BE與平面ABC所成角為。，則sin9=cos<BE,m）|=§，所以直線BE與平面ABC所成角的正

弦值為...........................................................................12分

20.（本小題滿分12分）

yX2aX26=24,

解:⑴設橢圓C的焦距為2c,根據題意，得々x2cX2Q6",...............................2分

.a2=b2+c2,

解得a=4,6=3,c=〃，.................................................................4分

所以橢圓C的方程是=.......................................................5分

(2)設M(xi),N(%2，了2),

因為直線/與圓。:%2+y=4相切，所以I初I=2,所以利2=4(￡2+1).6分

V^+l

（9/+i6y2=i44,

聯立（得（9+16%2）22+32日加1+16〃-144=0.

\y=kx-\-m,

因為圓O在橢圓c的內部，所以A〉0恒成立.

所以…一群需_16m2—144

“I"，—9+16層.7分

所以MN=，1+必|g—工2I=J1+彥｛(zi+zz4須&；=/1+好J()―4義15髭16；)4

=24/i+F^JI..................................................................9分

△MON的面積S=4X2X24=華，即4函+9/=0,解得k=0,此時直線/_Ly軸，所

乙yI1o

以MN，Bis,.......................................................................11分

所以四邊形AffiiNB,的面積為［■><|MN|X|8出|=母義竽X6=8相.................12分

21.（本小題滿分12分）

解：⑴因為S〃=生產心，所以當時,S〃—i=今④-1......................................1.分

所以S〃-Si="41右—，即/尸〃4口—1，所以“1,...............3分

所以片著.所以數列｛,是常數列,...................................................4分

所叫尚甘，所以卬=母〃,

即數列｛小｝的通項公式為◎=管".5分

tan(呼H-"5-)—tan%

'55，5

(2)tan—7C=t，an須4_工

55十5l+tan(y+y)tany

bn=tan)tan(an+i)=tan(詈H)tan