衡水萬卷作業（十五）離散型隨機變量及其分布列考試時間：45分鐘姓名：__________班級：__________考號：__________、解答題（本大題共6小題，前2題16分，后4題17分，共100分）LISTNUMOutlineDefault\l3（2015陜西高考真題）設某校新、老校區之間開車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關，對其容量為的樣本進行統計，結果如下：（分鐘）25303540頻數（次）20304010（I）求的分布列與數學期望；（II）劉教授駕車從老校區出發，前往新校區做一個50分鐘的講座，結束后立即返回老校區，求劉教授從離開老校區到返回老校區共用時間不超過120分鐘的概率．LISTNUMOutlineDefault\l3（2015福建高考真題）某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(Ⅰ)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(Ⅱ)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為X，求X的分布列和數學期望．LISTNUMOutlineDefault\l3某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：A地區：6273819295857464537678869566977888827689B地區：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，得出結論即可）；（Ⅱ）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記時間C：“A地區用戶的滿意度等級高于B地區用戶的滿意度等級”。假設兩地區用戶的評價結果相互獨立。根據所給數據，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，求C的概率。LISTNUMOutlineDefault\l3某校為了提高學生身體素質，決定組建學校足球隊，學校為了解報名學生的身體素質，對他們的體重進行了測量，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右3個小組的頻率之比為1:2:3，其中第2小組的頻數為12.（1)求該校報名學生的總人數；(2)若從報名的學生中任選3人，設x表示體重超過60kg的學生人數，求x的數學期望與方差LISTNUMOutlineDefault\l3某站針對2014年中國好聲音歌手三人進行上投票，結果如下觀眾年齡支持支持支持20歲以下20040080020歲以上（含20歲）100100400（1）在所有參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.（2）若在參加活動的20歲以下的人中，用分層抽樣的方法抽取7人作為一個總體，從7人中任意抽取3人，用隨機變量表示抽取出3人中支持的人數，寫出的分布列并計算.LISTNUMOutlineDefault\l3為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求①顧客所獲的獎勵額為60元的概率②顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望;（2）商場對獎勵總額的預算是60000元，并規定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0衡水萬卷作業（十五）答案解析、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】（I）分布列見解析，；（II）．【解析】試題分析：（I）先算出的頻率分布，進而可得的分布列，再利用數學期望公式可得數學期望；（II）先設事件表示“劉教授從離開老校區到返回老校區共用時間不超過分鐘”，再算出的概率．試題解析：（I）由統計結果可得T的頻率分步為（分鐘）25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計概率得T的分布列為253035400.20.30.40.1從而（分鐘）(II)設分別表示往、返所需時間，的取值相互獨立，且與T的分布列相同.設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應于“劉教授在途中的時間不超過70分鐘”.解法一：.解法二：故.考點：1、離散型隨機變量的分布列與數學期望；2、獨立事件的概率.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列見解析，期望為．【解析】試題分析：(Ⅰ)首先記事件“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為．則銀行卡被鎖死相當于三次嘗試密碼都錯，基本事件總數為，事件包含的基本事件數為，代入古典概型的概率計算公式求解；(Ⅱ)列出隨機變量的所有可能取值，分別求取相應值的概率，寫出分布列求期望即可．試題解析：（Ⅰ）設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則（Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3又所以X的分布列為所以．考點：1、古典概型；2、離散型隨機變量的分布列和期望．LISTNUMOutlineDefault\l3（Ⅰ）解兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A地區用戶滿意度評分的平均值高于B地區用戶滿意度評分的平均值；A地區用戶滿意度評分比較集中，B地區用戶滿意度評分比較分散。（Ⅱ）記表示事件：“A地區用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”;表示事件：“A地區用戶的滿意度等級為非常滿意”;表示事件：“B地區用戶的滿意度等級為不滿意”;表示事件：“B地區用戶的滿意度等級為滿意”;則與獨立，與獨立，與互斥，C=。=.由所給數據得，，，發生的頻率分別為，故p()=,p()=,p()=,p()=,p(C)=.LISTNUMOutlineDefault\l3LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】（1）40（2）（1）∵利用層抽樣的方法抽取n個人時，從“支持A方案”的人中抽取了6人，

∴=，解得n=40，

（2）X=0，1，2X012P274717∴E（X）=1×+2×=，D（X）=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2=．【思路點撥】（1）根據分層抽樣時，各層的抽樣比相等，結合已知構造關于n的方程，解方程可得n值．

（2）X=0，1，2，求出相應的概率，可得X的分布列并計算E（X），D（X）．LISTNUMOutlineDefault\l3本小題主要考查古典概型、離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、應用意識，考查必然與或然思想、分類與整合思想。滿分13分。解：(1)設顧客所獲的獎勵為X.①依題意,得.即顧客所獲得的獎勵額為60元的概率為.②依題意,得X的所有可能取值為20,60..即X的分布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲得的獎勵額的期望為（元）.(2)根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵為60元.所以先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以數學期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對