2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章：立體幾何

一、單項(xiàng)選擇題

1.如圖，用斜二測(cè)畫法作水平放置的正三角形4&G的直觀圖，則正確的圖形是（）

c,

A

答案A

解析以EG所在直線為x軸，以3G邊上的高為y軸建立坐標(biāo)系，畫對(duì)應(yīng)的『軸，

使夾角為45。，畫直觀圖時(shí)與x軸平行的線段長(zhǎng)度保持不變，與夕軸平行的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵?/p>

來(lái)的一半，然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖，如圖.

A

B---、c

2.下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱

B.對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體

C.有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

D.長(zhǎng)方體一定是直四棱柱

答案D

解析對(duì)于A,底面是菱形的直平行六面體，滿足條件但不是正棱柱；對(duì)于B,底面是等腰

梯形的直棱柱，滿足條件但不是長(zhǎng)方體；C顯然錯(cuò)誤；長(zhǎng)方體一定是直四棱柱，D正確.

3.從平面外一點(diǎn)尸引與平面相交的直線，使尸點(diǎn)與交點(diǎn)的距離等于1,則滿足條件的直線可

能有（）

A.0條或1條B.0條或無(wú)數(shù)條

C.1條或2條D.0條或1條或無(wú)數(shù)條

答案D

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解析當(dāng)點(diǎn)尸到平面的距離大于1時(shí)，沒(méi)有滿足條件的直線；當(dāng)點(diǎn)尸到平面的距離等于1時(shí)，

滿足條件的直線只有1條；當(dāng)點(diǎn)尸到平面的距離小于1時(shí)，滿足條件的直線有無(wú)數(shù)條.

4.已知加，〃表示兩條不同的直線，扇僅表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若加〃a,〃_L￡,m//n>則

B.若〃?_!_〃，m_La,n〃貝!la〃夕

C.若a_L￡,〃?_La,〃?_!_〃，則〃〃尸

D.若a_L"aG夕=加，則nA-p

答案A

解析對(duì)于A,由加〃a,m//n,得到：

若〃〃a,過(guò)〃的平面yGQ=/,貝"〃〃/,

又n邛,則/_!_￡,又口,則a_L￡,

若又〃J_夕，貝l|a_LA綜上，a邛,故A正確；

對(duì)于B,若〃?_L〃，m±a,〃〃人則la與￡相交或平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a邛,mLa,m±nf則〃與夕相交、平行或〃u夕，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若aG4=加，nA.m,則〃與夕相交或〃up,故D錯(cuò)誤.

5.已知直線a,b,/和平面a,aQU。，bup,aCB=l,且。_1_及對(duì)于以下命題，判斷正確

的是（）

①若a,b異面,則a,b至少有一個(gè)與/相交；

②若a,b垂直，貝lj〃，6至少有一個(gè)與/垂直.

A.①是真命題，②是假命題

B.①是假命題，②是真命題

C.①是假命題，②是假命題

D.①是真命題，②是真命題

答案D

解析對(duì)于①，若〃，b都不與/相交，

則只有一種可能，即。，b均平行于/,則。〃b,

，若q,6異面，則a,b至少有一個(gè)與/相交，故①正確；

對(duì)于②，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得：

若a,b垂直，則aJ_人或b_La,故a,8至少有一個(gè)與/垂直，故②正確.

6.（2023?徐州模擬）圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個(gè)玻璃球（球的半徑與

圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)了玻璃球，則玻璃球的半徑為（）

A.—cmB.15cmC.10^3cmD.20cm

3

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答案B

解析根據(jù)題意，玻璃球的體積等于放入玻璃球后水柱的體積減去原來(lái)水柱的體積；

設(shè)玻璃球的半徑為廠，即圓柱形玻璃杯的底面半徑為廠；

則玻璃球的體積為圓柱的底面面積為nr2,

3

放入一個(gè)玻璃球后，水恰好淹沒(méi)玻璃球，

此時(shí)水面的高度為2廠，所以￡尹=兀戶（2L一10）,解得廠=15（cm）.

7.蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的

球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球.2006年5月20日，

蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠的

表面上有五個(gè)點(diǎn)P,A,B,C,。恰好構(gòu)成一正四棱錐尸一N8CQ,若該棱錐的高為8,底面

邊長(zhǎng)為4/，則該鞠的表面積為（）

A.647rB.IOOTTC.1327tD.1447r

答案B

解析正四棱錐尸一/BCD的底面是正方形，底面邊長(zhǎng)為43，高為8,如圖所示，

所以正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為43乂S=8,

設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R則辟=（8—/?）2+42,解得R=5,

所以球的表面積為S=4TVR2=4兀X25=100TI,即該鞠的表面積為100K.

8.某同學(xué)畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫

做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個(gè)橢圓（如圖所示）.若該同學(xué)所畫的橢圓的

離心率為5則“切面”所在平面與底面所成的角為（）

A.—B,-C.-D.-

12643

答案B

解析設(shè)橢圓與圓柱的軸截面如圖所示，作。8c交8C于點(diǎn)E,則NCDE為“切面”所

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在平面與底面所成的角，設(shè)為0.

設(shè)底面圓的直徑為2廠，則CD為橢圓的長(zhǎng)軸2。，短軸為26=DE=2r,

則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=|8|=2:，即〃=一三，

cos0cos6

所以橢圓的離心率為e=1=￡="\/I二^=入/1-—S-=sin9,所以6>=匹.

2a\!az\/—L_6

\lcos?。

9.（2023?安慶模擬）已知球。的半徑為R,J,B,。三點(diǎn)在球。的球面上，球心O到平面

48C的距離為?凡AB=AC=0ZBJC=120°,則球。的表面積為（）

A.48兀B.16兀C.32由兀D.練

3

答案A

解析在△/8C中，由余弦定理，得8C=N3+3—2xSxSxcos1200=3,

設(shè)△/8C外接圓半徑為r,

由正弦定理2r—=2s,得r—yfi,

sin120°

又R2=3R2+3,；.R2=[2,

4

...球。的表面積為4兀△2=48兀

10.（2022?北京模擬）在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，VA,VB,Z;兩兩垂直，

幺=夕8=叱=1（單位：dm）,小明同學(xué)計(jì)劃通過(guò)側(cè)面以C內(nèi)任意一點(diǎn)尸將木塊鋸開(kāi)，使截

面平行于直線四和/C,則該截面面積（單位：dm?）的最大值是（）

A

A.-dm2B.—dm2

44

C.—dm2D.-dm2

44

答案B

解析根據(jù)題意，在平面幺。內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作跖〃力。分別交幺，PC于點(diǎn)F,E,

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在平面⑵C內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作E。〃年交8c于點(diǎn)。，

在平面K48內(nèi)，過(guò)尸作尸。〃夕8交48于點(diǎn)。，連接。。，如圖所示,

因?yàn)镋F〃AC"

所以△KEFsAyct,設(shè)其相似比為鼠

"=隹=絲

VAVCAC

因?yàn)槲?-5=，C=l,所以NC=/，即EF=lik,

因?yàn)镕D//VB,

所以△AFDSAAVB,即絲=四=四，

VABAVB

AFVA-VF

因?yàn)?T,

VAVA

所以￡4=江=1一人即五￡)=1一七

VBVA

同理0s△cj<8,即器=$=胃=i一七

即EQ=\~k,

所以FD〃EQ,且FD=EQ,

所以四邊形為平行四邊形，

因?yàn)橄?_L1C,VBLVA,VADVC=V,幺u平面幺C,-Cu平面以C,

所以""L平面VAC,

因?yàn)镕D//VB,

所以FD_L平面VAC,

因?yàn)镋FU平面VAC,

所以FDLEF,

所以四邊形尸￡QO是矩形,即S^FEQD=FD-EF=(1-k)?也k=―近

所以當(dāng)左=；時(shí)，S適彩FE0D有最大值坐.

故該截面面積的最大值是更dm2.

二、多項(xiàng)選擇題

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11.如圖所示，在正方體48CD—小BICQI中，E是平面/DDBi的中心，"，N,F分別是

BC,CG,的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.MN=-EF

2

B.MN^-EF

2

C.MN與EF異面

D.MN與EF平行

答案BC

解析設(shè)正方體一小田GO的棱長(zhǎng)為2a,

則MN=^MC\+C\N2=

作點(diǎn)E在平面/8CA內(nèi)的射影點(diǎn)G,

連接EG,GF,

所以EF=+（極）2

=3a,

所以MN$~EF,故選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤;

2

連接DE,因?yàn)镋為平面月。。小的中心，

所以DE=~A\D,

2

又因?yàn)镸,N分別為BiG,CCi的中點(diǎn)，

所以MN//B\C,

又因?yàn)樗訫V〃E￡）,

且DECEF=E,

所以MN與EF異面,故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.

12.（2023?忻州模擬）如圖，已知在邊長(zhǎng)為6的菱形Z5CZ）中,ZBAD=60°,萬(wàn)分別是

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線段4。，8C上的點(diǎn).且/￡=5F=2.將四邊形NBFE沿EF翻折，當(dāng)折起后得到的幾何體

4EO-8尸C的體積最大時(shí)，給出下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法有（

A.AD±EF

B.BC//nADE

C.平面QEFC_L平面力8EE

D.平面ZOEJL平面//E

答案BC

解析將四邊形Z8FE沿￡下翻折,得到幾何體/ED-BFC,

在幾何體力EO-8尸C中，DE//CF,CFU平面CF8,DE<Z平面CFB,

；.DE〃平面CFB,又AE〃BF,BFU平面CFB,4EU平面CFB,二/E〃平面CF8,

,:AECDE=E,，平面CF8〃平面/OE,

:BCU平面CFB,...BC〃平面/DE,故B正確；

如圖，過(guò)點(diǎn)、D作DHLEF,交.EF于H,過(guò)，作交力8于點(diǎn)G,

過(guò)點(diǎn)C作CNLEF,交力■的延長(zhǎng)線于M過(guò)點(diǎn)N作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)如

圖所示，

則四棱錐。-8FM0與。一NE//G是全等的兩個(gè)四棱錐，

■:NM1AB,則MVTLE/，又CNLEF,NMCCN=N,

：.EF_L平面CMN,，EF±平面DHG,

?.?力G平面。HG,Z住平面O/7G,則/。與E尸不垂直，故A錯(cuò)誤；

三棱柱CNM—DHG為直三棱柱，

幾何體4ED—8FC的體積與三棱柱CNM一。"G體積相同，

三棱柱CNM-DHG的體積V=SKNM?NH,

在RtZ\OE/7中，DE=4,NEDH=30。,：.EH=2,

又EF=6,NF=EH,:.NH=6,

當(dāng)面積最大時(shí)，幾何體4E￡>—8FC的體積最大，

當(dāng)NWLCN時(shí)，&CNM面積取最大值，

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,:NMLNE,NECCN=N,則MV_L平面DEFC,

又MWU平面尸E,二平面48FEJ_平面。EFC,故C正確；

若平面/￡）E_L平面Z8尸E,由平面/OEA平面

過(guò)。有兩條直線。//',。”與平面N8FE垂直，

這與過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與平面垂直相矛盾，故D錯(cuò)誤.

三、填空題

13.（2023?榆林模擬）在四棱錐P一力8C。中，底面/8C。是矩形，以，底面48CD,且我=

AB,AD=?B,則tanZJPC=.

答案2

解析底面/SCO,4CU底面4BCD,：.PALAC,

設(shè)/8=1,貝]以=1,AD=\[i,AC=\jAD2+CD2=2,：.tanZAPC=—=2.

PA

14.（2022?安慶模擬）如圖，在三棱錐P—N8C中，點(diǎn)。為N8的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面/8C內(nèi)的

射影恰為08的中點(diǎn)E,已知N8=2PO=2,點(diǎn)C到。尸的距離為3，則當(dāng)NZC8最大時(shí)，

直線PC與平面PAB所成角的大小為.

較享-

口3

解析?.?點(diǎn)C到。尸的距離為3,

.?.點(diǎn)C是以O(shè)P為旋轉(zhuǎn)軸，3為底面半徑的圓柱與平面/8C的公共點(diǎn),

即點(diǎn)C的軌跡是以為焦距，以23為短軸長(zhǎng)的橢圓，

由橢圓的對(duì)稱性可知，

當(dāng)/NCB最大時(shí)，AC=BC=2,COLAB,

?.?點(diǎn)P在平面/8C內(nèi)的射影恰為08的中點(diǎn)E,

...PEJL平面ABC,

?.?尸EU平面PAB,

.,.平面為8_1_平面ABC,

平面我8。平面OCU平面力8C,

；.CO_L平面PAB,

...NCPO是直線PC與平面為8所成的角，

?；CO=00尸=1,

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:.tan/CPO=叟=?：.ZCPO^~.

OP3

15.如圖所示，在長(zhǎng)方體中，4B=3,ZO=4,441=5,點(diǎn)E是棱CG上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面5EA交棱/小于點(diǎn)F,則四棱錐S-8E。尸的體積為,截面四

邊形尸的周長(zhǎng)的最小值為.

答案202^74

解析由題意可得，D\F//BE,

則P—V+V—V+V

1[-BByBCAB+-BByDyAvA^

=-><U2J

1P-X5X4X3+-X5X4X3|

=，x122J=20；

3

將長(zhǎng)方體展開(kāi)，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)、E為BDi與CCi的交點(diǎn)、,尸為8"與Z4的交點(diǎn)時(shí)，截面四

邊形BEDiF的周長(zhǎng)最小，最小值為28￡>1=2）5?+（3+4