鎮海中學2022學年第一學期期中考試高一年級數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，給出下列四個對應關系，其中能構成從M到N函數的是()A. B.C. D.2.已知，則()A. B.C. D.3.設，則“”是“關于x的不等式有解”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知集合，集合，則()A. B.C. D.5.下列判斷正確的是()A.函數既是奇函數又是偶函數 B.函數是非奇非偶函數C.函數是偶函數 D.函數是奇函數6.已知函數，則函數的圖象關于y軸對稱的圖象是()A. B.C. D.7.已知定義在上的偶函數在區間上單調遞增，則滿足的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知集合，，，．若，則集合A中元素個數的最大值為()A.1347 B.1348 C.1349 D.1350二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.函數，，若，則實數的值可能為()A.1 B.2 C.3 D.010.下列說法錯誤的是()A.命題“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”B.已知，，則C.“成立”是“成立”的充要條件D.關于x的方程有一個正根，一個負根的充要條件是11.下列函數中滿足性質：“存在兩個不等實數、，使得成立”的是()A. B.C. D.12.已知定義在R上的函數，滿足對，有，則稱為“好函數”.下列說法中正確的是()A.若，則為“好函數”B.若“好函數”，則為偶函數C.若為“好函數”，則不一定是周期函數D.若為“好函數”，且，，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數值域是______．14.給定集合A和B，定義運算“”：．若，，則集合的子集的個數為______．15.已知實數x，y滿足，則的最小值是______．16.已知，函數，其中是自然對數的底數．若函數有且僅有三個零點，則實數a的取值范圍是______．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．17.計算求值：(1)；(2)．18.已知全集，設集合，．(1)若，求；(2)若，求實數a的取值范圍．19.二十大正式開幕，二十大報告中，“推動綠色發展，促進人與自然和諧共生”作為一章被單獨羅列了出來，過去十年是生態文明建設和生態環境保護認識最深、力度最大、舉措最實、推進最快、成效最顯著的十年，而與每個居民的日常生活密切相關的就是水資源問題．目前，居民用戶綜合水價按三檔分階梯計價(如下表所示)，階梯水量以年為計價周期，周期之間不累計、不結轉．階梯用戶用水量(噸)綜合水價(元／噸)其中自來水費(元／噸)污水處理費(元／噸)第一階梯0～144(含)3.502.501.00第二階梯144～204(含)7.006.00第三階梯204以上9.008.00(1)若一戶家庭一年所交水費756元，問其一年用水多少噸；(2)將居民繳納的污水處理費視為污水處理廠的收入，一個中型污水處理廠的月處理污水量在30萬噸到300萬噸之間，中型污水處理廠的月處理成本y(萬元)與月處理量x(萬噸)之間的函數關系可近似地表示為，問該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理利潤最大？20.已知函數是指數函數．(1)求a(2)設函數，，記在上的最小值為，求的最小值．21.設函數是定義在R上的奇函數，當，．(1)求時，函數的解析式；(2)判斷在R上的單調性；(3)解關于x不等式，其中．22.已知函數，其中．(1)當時，函數在區間和上單調遞增，求a的取值范圍；(2)若對任意的實數a，都存在，使得不等式成立，求實數b的取值范圍．

鎮海中學2022學年第一學期期中考試高一年級數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，給出下列四個對應關系，其中能構成從M到N的函數的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據映射，帶值檢驗即可解決.【詳解】對于，當時，，故B錯；對于，當時，，故C錯；對于，當時，，故D錯；故選：A.2.已知，則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】A令即可判斷；B、C應用作差法判斷大小關系；D利用基本不等式，注意等號成立條件判斷即可.【詳解】A：當時，錯誤；B：，而，故，錯誤；C：，而，若時，錯誤；D：，當且僅當時等號成立，而，故，正確.故選：D3.設，則“”是“關于x的不等式有解”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先分，，討論，求出不等式有解時的范圍，再通過充分性和必要性的概念得答案.【詳解】關于x的不等式有解當時，，得，符合有解；當時，或，解得或關于x的不等式有解得，故“”是“關于x的不等式有解”的必要不充分條件故選：B.4.已知集合，集合，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據4和6最小公倍數為12，得，而，易得兩集合之間關系.【詳解】,且,,，又，則集合中的元素應為12的正整數倍,集合中的元素為24的整數倍,故,.可知,當元素滿足為24的整數倍時,必滿足為12的正整數倍,則故A,B錯誤，對D選項，若，則此元素既不在集合中，也不在集合中，故D錯誤，故選：C.5.下列判斷正確的是()A.函數既是奇函數又是偶函數 B.函數是非奇非偶函數C.函數是偶函數 D.函數是奇函數【答案】D【解析】【分析】根據奇偶性的定義和性質，逐項判斷即可.【詳解】解：對于A，，所以，故函數是偶函數，不是奇函數，故A錯誤；對于B，函數的定義域為，所以，則為奇函數，故B錯誤；對于C，函數定義域滿足，定義域不關于原點對稱，則函數非奇非偶，故C錯誤；對于D，函數的定義域為，所以，則函數是奇函數，故D正確.故選：D.6.已知函數，則函數的圖象關于y軸對稱的圖象是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先對時，函數單調性進行分析，然后得到其圖像關于軸對稱后的單調性，再討論時，利用基本不等式等到它在此范圍內的最值，然后得到其圖像關于軸對稱后的最值.【詳解】當時，，設，，根據減函數加上減函數為減函數，則在單調遞減，故當其關于對稱后，變為當時，對稱后的函數在上單調遞增，故A,B,D錯誤，當時，，當且僅當時等號成立，故當其關于對稱后，變為，應有最小值2，故選：C.7.已知定義在上的偶函數在區間上單調遞增，則滿足的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據為偶函數得出的對稱軸，單調性得出的單調性，由根據題意列不等式求解即可.【詳解】由題知：是在上的偶函數，所以關于軸對稱,因為在區間上單調遞增，所以在區間上單調遞減，所以關于軸對稱，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以，因為，所以，解得：，所以取值范圍為，故選：A.8.已知集合，，，．若，則集合A中元素個數的最大值為()A.1347 B.1348 C.1349 D.1350【答案】C【解析】【分析】通過假設，求出相應的，通過建立不等關系求出相應的值.【詳解】設滿足題意，其中，則，，，，，，中最小的元素為1，最大的元素為，，，，實際上當時滿足題意，證明如下：設，則,由題知，即，故的最小值為674，于是時，中的元素最多，即時滿足題意，終上所述，集合中元素的個數的最大值為1349故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.函數，，若，則實數的值可能為()A.1 B.2 C.3 D.0【答案】BD【解析】【分析】首先求出，再代入中，解指數方程即可.【詳解】依題意得，，則，即，解得或者.故選：BD10.下列說法錯誤是()A.命題“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”B.已知，，則C.“成立”是“成立”的充要條件D.關于x的方程有一個正根，一個負根的充要條件是【答案】AD【解析】【分析】A.利用存在命題的否定式全稱命題，并否定結論來判斷；B.利用不等式的性質判斷；C.根據充分性和必要性的概念來判斷；D.利用判別式和韋達定理來判斷.【詳解】A.命題“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”，A錯誤；B.，則，又，根據不等式的性質，兩式相加得，可推出，B正確；C.由得，對于，有當時，，故“成立”是“成立”的充要條件，C正確；D.關于x的方程有一個正根，一個負根，則，解得，D錯誤.故選：AD.11.下列函數中滿足性質：“存在兩個不等實數、，使得成立”的是()A B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷AC選項，利用作差法可判斷B選項，利用圖象法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，取，，則，A選項中的滿足滿足條件；對于B選項，對任意的、且，，所以，，B選項中的函數不滿足條件；對于C選項，取，，則，，所以，，C選項中的函數滿足條件；對于D選項，，該函數的定義域為，作出函數圖象，如圖，若要使，則需找,使得D為BC的中點，所以D選項中的函數滿足條件.故選：ACD.12.已知定義在R上的函數，滿足對，有，則稱為“好函數”.下列說法中正確的是()A.若，則為“好函數”B.若為“好函數”，則為偶函數C.若為“好函數”，則不一定是周期函數D.若為“好函數”，且，，則【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法，結合“好函數”、函數的奇偶性、周期性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】令，則，故，令，則，可得，(則)或，即為偶函數，B正確；A選項中，不是偶函數，所以A錯誤.令，則，若，則，若，則，無法構成周期函數，C正確；若，，則，，，令則，故，則，故，令則，故，則，故，綜上，，，，，，，，…可知當x為整數時，的周期為4，則，D正確.故選：BCD【點睛】關于新定義的抽象函數，解題關鍵點有三個，一個是賦值法，一個是新定義中“定義”的理解和運用，一個是函數的基本性質的綜合運用.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數的值域是______．【答案】【解析】【分析】利用判別式法即可求出函數的值域.【詳解】由題知函數的定義域為，所以，將整理得，所以，當時，；當時，，解得，所以，，即函數的值域是故答案為：14.給定集合A和B，定義運算“”：．若，，則集合的子集的個數為______．【答案】8【解析】【分析】根據集合新定義確定集合的元素，按照子集概念求得集合的子集，即可得子集得個數.【詳解】解：因為，，所以，則集合的子集有：共8個.故答案為：8.15.已知實數x，y滿足，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】由得，設，得，代入目標式整理，利用基本不等式求解最值.【詳解】由得，設，得，，，當且僅當，即或，即或時等號成立的最小值是故答案為：.16.已知，函數，其中是自然對數的底數．若函數有且僅有三個零點，則實數a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先作出的函數圖像，令，將零點問題轉化為二次函數零點，再一步轉化為與的圖像交點問題，結合圖像分析的范圍，即可間接求出參數的范圍.【詳解】令,則的有且僅有三個零點，等價于與的圖像有且僅有三個交點.①當只有一解時，此時，即.而時，代入，解得，此時與沒有三個交點，舍去；當時，代入解得，由圖像可知，此時與圖像有有三個交點，符合題意，;②當有兩個解時，即或.設解分別為和，則與以及兩條直線有三個交點即可.，當時，由圖形可知，不符合題意，故，此時.當，時，此時函數圖像共有三個交點，則此時，由韋達定理知，，解得，與矛盾，不符合題意；當，時，由二次函數根分布的條件可知有，解得.綜上所述，有三個零點時，范圍為.故答案為：三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．17.計算求值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據指數冪的運算性質計算即可；(2)根據對數的運算性質及換地公式計算即可.【小問1詳解】【小問2詳解】18.已知全集，設集合，．(1)若，求；(2)若，求實數a的取值范圍．【答案】(1)或；(2)或.【解析】【分析】(1)解一元二次不等式求集合A，應用集合補、并運算求結果.(2)由集合的包含關系，討論、求參數范圍，然后取并.【小問1詳解】由題設，，故或，所以或.【小問2詳解】由，若，即，可得或；若，則(區間端點等號不同時成立)，可得；綜上，或.19.二十大正式開幕，二十大報告中，“推動綠色發展，促進人與自然和諧共生”作為一章被單獨羅列了出來，過去十年是生態文明建設和生態環境保護認識最深、力度最大、舉措最實、推進最快、成效最顯著的十年，而與每個居民的日常生活密切相關的就是水資源問題．目前，居民用戶綜合水價按三檔分階梯計價(如下表所示)，階梯水量以年為計價周期，周期之間不累計、不結轉．階梯用戶用水量(噸)綜合水價(元／噸)其中自來水費(元／噸)污水處理費(元／噸)第一階梯0～144(含)3.502.501.00第二階梯144～204(含)7.006.00第三階梯204以上9.008.00(1)若一戶家庭一年所交水費756元，問其一年用水多少噸；(2)將居民繳納的污水處理費視為污水處理廠的收入，一個中型污水處理廠的月處理污水量在30萬噸到300萬噸之間，中型污水處理廠的月處理成本y(萬元)與月處理量x(萬噸)之間的函數關系可近似地表示為，問該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理利潤最大？【答案】(1)噸；(2)每月處理萬噸時處理利潤最大.【解析】【分析】(1)根據題設寫出水費的分段函數表達式，再根據求對應用水量值即可；(2)由，結合二次函數性質求其最大值即可.【小問1詳解】設用水量為噸，則：當，水費元；當，水費元；當，水費元；由題設，水費，當元，而，，所以，可得噸.【小問2詳解】由題意，處理利潤且，所以，在上遞增，當萬噸時，最大萬元.20.已知函數是指數函數．(1)求a(2)設函數，，記在上的最小值為，求的最小值．【答案】(1)(2)1【解析】【分析】(1)根據指數函數的定義建立方程組即可求解.(2)首先根據題意求出的表達式，再利用換元法，將其轉化成二次函數，討論二次函數對稱軸在區間的位置，分別求最小值，然后利用分段函數以及二次函數研究的最小值即可.【小問1詳解】為指數函數，根據定義得，解得.此時.【小問2詳解】由(1)可知，，則.令，，則只需求在上的最小值.當，即時，在上單調遞增，此時在處取得最小值；當，即時，開口向上，在對稱軸處取得最小值，即時，此時；當,即時，在上單調遞減，此時在處取得最小值，.綜上，可得.由可得，當時，單調遞減，在處取最小值；當時，；當時，單調遞增，在處取最小值.綜上的最小值為1.21.設函數是定義在R上的奇函數，當，．(1)求時，函數的解析式；(2)判斷在R上的單調性；(3)解關于x的不等式，其中．【答案】(1)；(2)在上單調遞減；(3)見解析.【解析】【分析】(1)令，根據其為奇函數，則；(2)因其是奇函數，則只需證明在上單調性，利用定義法證明其單調性，取值，作差，因式分解，判定符號，得到結論.(3)根據其為奇函數移項得，根據其為單調減函數，