1.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入飲用水的質(zhì)量是人類普遍關(guān)心的問題．據(jù)統(tǒng)計(jì)，飲用優(yōu)質(zhì)水的518人中，身體狀況優(yōu)秀的有466人，飲用一般水的312人中，身體狀況優(yōu)秀的有218人，人的身體健康狀況與飲用水的質(zhì)量之間有關(guān)系嗎？新知導(dǎo)學(xué)1．分類變量和列聯(lián)表(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的__不同類別__，像這樣的變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：①定義：列出的兩個分類變量的__頻數(shù)表__稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表．一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d2.等高條形圖(1)等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否__相互影響__，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的__頻率特征__．(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)__eq\f(a,a＋b)__和__eq\f(c,c＋d)__相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)定義利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝__a＋b＋c＋d__具體步驟①確定α，根據(jù)實(shí)際問題的需要，確定允許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α，然后查表確定__臨界值K0__．②計(jì)算K2，利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的__觀測值k__．③下結(jié)論，如果__k≥K0__，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷__犯錯誤的概率__不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中__沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)__支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”預(yù)習(xí)自測1．如下是一個2×2列聯(lián)表，則表中m，n的值分別為(B)y1y2總計(jì)x1a3545x27bn總計(jì)m73sA．10,38 B．17,45C．10,45 D．17,38[解析]由題意，根據(jù)2×2列聯(lián)表可知：a＋35＝45，解得a＝10，則m＝a＋7＝10＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，則n＝7＋38＝45，故選B．2．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考慮兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系時，通過查閱臨界值表來確定斷言“X與Y有關(guān)系”的可信度，如果k＞5.024，那么就推斷“X和Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過(C)A．0.25 B．0.75C．0.025 D．0.975[解析]通過查表確定臨界值k.當(dāng)k＞k0＝5.024時，推斷“X與Y”有關(guān)系這種推斷犯錯誤的概率不超過0.025．3．春節(jié)期間，“厲行節(jié)約，反對浪費(fèi)”之風(fēng)悄然吹開．某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”，得到如下表格：做不到“光盤”能做到“光盤”男439女3216附：P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．參照附表，得到的正確結(jié)論是__③__.(只填正確的序號)①在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”；②在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”；③有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”；④有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”．[解析]由2×2列聯(lián)表得到a＝43，b＝9，c＝32，d＝16，則a＋b＝52，c＋d＝48，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝688，bc＝288，n＝100.代入K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得K2＝eq\f(100×688－2882,52×48×75×25)≈3.419．因?yàn)?.706＜3.419＜3.841．所以有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”．4．(2019·全國卷Ⅰ文，17)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計(jì)男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解析](1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8．女顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.6．(2)K2的觀測值k＝eq\f(100×40×20－30×102,50×50×70×30)≈4.762．由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?等高條形圖的應(yīng)用典例1從發(fā)生交通事故的司機(jī)中抽取2000名司機(jī)作隨機(jī)樣本，根據(jù)他們血液中是否含有酒精以及他們是否對事故負(fù)有責(zé)任將數(shù)據(jù)整理如下：有責(zé)任無責(zé)任總計(jì)有酒精650150800無酒精7005001200總分析血液中含有酒精與對事故負(fù)有責(zé)任是否有關(guān)系．[解析]作等高條形圖如下，圖中陰影部分表示有酒精負(fù)責(zé)任與無酒精負(fù)責(zé)任的比例，從圖中可以看出，兩者差距較大，由此我們可以在某種程度上認(rèn)為“血液中含有酒精與對事故負(fù)有責(zé)任”有關(guān)系．『規(guī)律方法』通過等高條形圖可以粗略地直觀判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，一般地，在等高條形圖中，eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大．┃┃跟蹤練習(xí)1__■某學(xué)校對高三學(xué)生做了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系．[解析]作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向總計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計(jì)4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例，從圖中可以看出考前緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān)．命題方向?獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用典例2某中學(xué)對高二甲、乙兩個同類班級，進(jìn)行“加強(qiáng)‘語文閱讀理解’訓(xùn)練，對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率的作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班(加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練)，乙班為對比班(常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練)，在試驗(yàn)前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成績(均取整數(shù))如下表所示：60分以下61－70分71－80分81－90分91－100分甲班(人數(shù))31161218乙班(人數(shù))78101015現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀．(1)試分析估計(jì)兩個班級的優(yōu)秀率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為加強(qiáng)“語文閱讀理解”訓(xùn)練對提高“數(shù)學(xué)應(yīng)用題”得分率有幫助？優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)甲班乙班合計(jì)參考公式及數(shù)據(jù)：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[思路分析](1)由表格統(tǒng)計(jì)出甲、乙兩個班的總?cè)藬?shù)和優(yōu)秀人數(shù)，求出優(yōu)秀率；(2)依統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，代入公式計(jì)算K2的估計(jì)值，查表下結(jié)論．[解析](1)由題意知，甲、乙兩班均有學(xué)生50人，甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為eq\f(30,50)＝60%，乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為eq\f(25,50)＝50%，所以甲、乙兩班的優(yōu)秀率分別為60%和50%．(2)優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)甲班302050乙班252550合計(jì)5545100因?yàn)镵2＝eq\f(100×25×30－25×202,55×45×50×50)≈1.010＜3.841，所以由參考數(shù)據(jù)知，沒有95%的把握認(rèn)為有幫助．『規(guī)律方法』1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：第一步，確定分類變量，獲取樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表．第二步，根據(jù)實(shí)際問題的需要確定允許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0．第三步，利用公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測值K0．第四步，作出判斷．如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．2．由于獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算量大，要細(xì)致，避免計(jì)算失誤．┃┃跟蹤練習(xí)2__■目前，學(xué)案導(dǎo)學(xué)模式已經(jīng)成為教學(xué)中不可或缺的一部分，為了了解學(xué)案的合理使用是否對學(xué)生的期末復(fù)習(xí)有著重要的影響，我校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對學(xué)習(xí)成績和學(xué)案使用程度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：善于使用學(xué)案不善于使用學(xué)案合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀40學(xué)習(xí)成績一般30合計(jì)100已知隨機(jī)抽查這100名學(xué)生中的一名學(xué)生，抽到的是善于使用學(xué)案的學(xué)生的概率是0.6．(1)請將上表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程)；(2)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析：有多大的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與對學(xué)案的使用程度有關(guān)．[解析](1)補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：善于使用學(xué)案不善于使用學(xué)案合計(jì)學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀401050學(xué)習(xí)成績一般203050合計(jì)6040100(2)K2＝eq\f(100×40×30－10×202,50×50×60×40)≈16.667＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與對學(xué)案的使用程度有關(guān)．易混易錯警示準(zhǔn)確掌握公式中的參數(shù)含義典例3有甲、乙兩個班級進(jìn)行一門考試，按照學(xué)生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后，得到如下的列聯(lián)表班級與成績列聯(lián)表優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班103545乙班73845總計(jì)177390試問能有多大把握認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”？[錯解]由公式得：K2＝eq\f(90×10×7－35×382,17×73×45×45)＝56.86，56.86＞6.635所以有99%的把握認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”．[辨析]由于對2×2列聯(lián)表中a，b，c，d的位置不清楚，在代入公式時代錯了數(shù)值導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的錯誤．[正解]K2＝eq\f(90×10×38－7×352,17×73×45×45)＝0.653，0.653＜2.706，所以沒有充分證據(jù)認(rèn)為成績與班級有關(guān)．學(xué)科核心素養(yǎng)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是要確認(rèn)“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測值k很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過P(k≥6.635)≈0.01來評價假設(shè)不合理的程度，計(jì)算出k>6.635，說明假設(shè)不合理的程度約為99%，即兩個分類變量有關(guān)這一結(jié)論成立的可信度為99%，不合理的程度可查下表得出：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.反證法與假設(shè)檢驗(yàn)的對照表反證法假設(shè)檢驗(yàn)要證明結(jié)論A備選假設(shè)H1在A不成立的前提下進(jìn)行推理在H1不成立，即H0成立的條件下進(jìn)行推理推出矛盾，意味著結(jié)論A成立推出有利于H1成立的小概率事件發(fā)生，意味著H1成立的可能性沒有找到矛盾，不能對A下任何結(jié)論，即反證法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不發(fā)生，接受原假設(shè)3.獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法的異同獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想來自統(tǒng)計(jì)中的假設(shè)檢驗(yàn)思想，它與反證法類似．假設(shè)檢驗(yàn)和反證法都是先假設(shè)結(jié)論不成立，然后根據(jù)是否能夠推出“矛盾”來斷定結(jié)論是否成立．但二者“矛盾”的含義不同，反證法中的“矛盾”是指一種不符合邏輯事情的發(fā)生，而假設(shè)檢驗(yàn)中的“矛盾”是指一種不符合邏輯的小概率事件的發(fā)生，即在結(jié)論不成立的假設(shè)下，推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生．我們知道小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會發(fā)生的，若在實(shí)際中這個事件發(fā)生了，說明保證這個事件為小概率事件的條件有問題，即結(jié)論在很大的程度上應(yīng)該成立．其基本步驟如下：(1)考察需抽樣調(diào)查的背景問題，確定所涉及的變量是否為二值分類變量．(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出2×2列聯(lián)表．(3)通過等高條形圖直觀地判斷兩個分類變量是否相關(guān)．(4)計(jì)算隨機(jī)變量K2，并查表分析，當(dāng)K2的觀測值很大時，就認(rèn)為兩個變量有關(guān)系；否則就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示兩個變量有關(guān)．典例4海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)設(shè)A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，