第三節函數的奇偶性與周期性

——\必備知識?回顧教材重“四基”廣

一'教材概念?結論?性質重現

1.函數的奇偶性

奇偶性定義圖象

一般地，設函數/(x)的定義域為/，如果Vx∈∕,都

關于y軸對

偶函數有一九∈/,且〃一幻=〃幻,那么函數/Q)就叫做偶

稱

函數

-般地，設函數/(x)的定義域為/,如果Vx∈∕,都

關于坐標原

奇函數有一Xd/,且f(—X)=—f(x),那么函數/(X)就叫做

息對稱

奇函數

微提醒???

1.函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件.

2.若∕α)≠o,則奇(偶)函數定義的等價形式如下：

f(--X)

(Iy?(-χ)=∕(x)%(—X)-∕(X)=O0'2=IV了(X)為偶函數;

(2?(_*)=_/@)%(_》)+/。)=0吟K=-1Wa)為奇函數.

3.函數奇偶性常用結論

(1)如果函數/(x)是奇函數且在X=O處有定義，那么一定有/(0)=0：如果函

數/(x)是偶函數，那么/(x)=∕(即.

(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區

間上具有相反的單調性.

2.函數的周期性

(1)周期函數：一般地，設函數/(x)的定義域為。，如果存在一個非零常數T,

使得對每一個X?。都有x+TW。，且f(x+D=f(x),那么函數/(x)就叫做周期

函數.非零常數T就叫做這個函數的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數/(x)的所有周期中存在一個量小的正數，那

么這個最小的正數就叫做/㈤的最小正周期(若不特別說明，T一般都是指最小正

周期).

微提醒■■■

周期函數定義的實質

存在一個非零常數T,使/(x+7)=∕(x)為恒等式，即自變量X每增加一個T

后，函數值就會重復出現一次.

3.函數周期性的常用結論

對/Q)定義域內任一自變量X，

(1)若/(x+a)=—/(x),則T=24(4>0).

(2)若/(x+a)=J^√則T=2”(α>0).

⑶若/(x+a)=-則T=2α(α>0).

4.函數圖象的對稱性

(1)若函數y=∕(x+α)是偶函數，即/(a—x)=∕(α+x),則函數y=∕(x)的圖象

關于直線x=α對稱.

(2)若對于R上的任意X都有/(2α—尤)=〃x)或/(—x)=∕(2α+x),則y=f(x}

的圖象關于直線尤=α對稱.

(3)若函數y=∕(x+b)是奇函數，即/(—x+∕0+∕(x+A)=0,則函數y=∕(x)

的圖象關于點3,0)中心對稱.

二'基本技能?思想?活動體驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“J”，錯的打“X”.

(1)函數具備奇偶性的必要條件是函數的定義域關于坐標原點對稱.(J)

(2)若函數/(x)為奇函數，則一定有/(0)=0.(×)

(3)若函數y=∕(x+α)是偶函數，則函數y="x)的圖象關于直線x=α對稱.

(√)

(4)若函數y=∕(x+/?)是奇函數，則函數y=∕(x)的圖象關于點3,0)中心對稱.

(√)

2.下列函數中為偶函數的是()

A.y=fsinxB.y=Aosx

C.y=∣lnx?D.y=2~x

B解析：A中函數為奇函數，B中函數為偶函數，C與D中函數均為非奇

非偶函數.故選B.

3.已知/(九)滿足/(x+2)=∕(x).當x∈［0,1］時，/(x)=2?則/(I)等于()

A.gB.?∣2C.乎D.1

B解析：由/(x+2)=∕(x),知函數/(x)的周期T=2,所以/(D=∕(3)=

22=^?/2.

4.已知f(x)=ax2+bx是定義在［。-1,2加上的偶函數，那么a+b的值是

()

A.一；B?gC.D.-g

B解析：因為/(x)=0x2+bx是定義在1,2。］上的偶函數，所以。-1+

2(7=0,所以α=g.又/(—x)=∕(x),所以〃=0,所以α+〃=g.

已知定義在上的函數滿足一去，當∈］時，

5.R/(x)/(x+2)=x(0,2/(x)

JW

=2Λ-1,則/(9)=.

1解析：因為/(x+2)=一去，所以∕α+4)=∏(x+2)+2]=∕(x),得T=

4,/(9)=/(1)=1.

\關鍵能力?研析考點強“四翼”/

考點1函數奇偶性的判斷——基礎性

「多維訓練」

X___~Jζ

1.(多選題)設函數/㈤=匚手一，則下列結論正確的是()

A.If(X)I是偶函數

B.—/(x)是奇函數

C./(x),(x)∣是奇函數

D./(國V(X)是偶函數

e%—erQ~X—Qx

ABC解析：因為/(%)=—2—,所以/(一%)=-2-=~f(x).所以/(X)

是奇函數,所以，(尤)|是偶函數，一/㈤是奇函數.因為/(I-XI)=√(∣χ∣),所以f(∣χ∣)

是偶函數，所以/(∣x∣)"x)是奇函數.故選ABC.

—∣-Xx<0

2.已知函數/(x)=二)則該函數的奇偶性是_________.

、XrIXi尢>0,

奇函數解析：當x>0時，-χ<0,所以/(一χ)=x*2-r=-(-χ2+x)=-∕α);

當x<0時，-x>0,/(—x)=—x2-χ=-(x2+x)=-∕(x),所以/(九)是奇函數.

解題通法

判斷函數奇偶性的常用方法

(1)定義法，即根據奇、偶函數的定義來判斷.

(2)圖象法，即利用奇、偶函數的對稱性來判斷；

(3)性質法，即利用在公共定義域內奇函數、偶函數的和、差、積的奇偶性

來判斷.

考點2函數奇偶性的簡單應用——基礎性

「多維訓練」

1.若函數/(x)是定義在R上的奇函數，當尤20時，/(x)=log2(x+2)-1,

則/(—6)=()

A.2B.4C.-2D.-4

C解析：根據題意得/(—6)=—/(6)=l—log2(6+2)=l—3=-2.

2.(2019?全國卷II)設/(x)為奇函數，且當x20時，/(X)=y—l,則當x<0

時，/(x)=()

A.e^?v-lB.e^-t+lC.~e~x-↑D.-e~x+↑

D解析：當x<0時，一口20時，/(X)=e'—l,所以/(一χ)=er-l.又因

為/(x)為奇函數，所以/(X)=—/"(—》)=—e-?v+l.

3.若函數/(x)=xln(x+1α+x2)為偶函數,則α=.

I解析：令g(x)=?n(x+y∣a+x2),若/(x)=x?g(x)為偶函數，則必有g(x)為

奇函數，所以g(0)=InW=0,所以α=l.經驗證，α=l滿足題意.

解題通法

應用函數奇偶性可解決的問題及解題方法

(1)求函數值

將待求值利用奇偶性轉化為已知區間上的函數值求解.

(2)求解析式

先將待求區間上的自變量轉化到已知區間上，再利用奇偶性求解，或利用奇

偶性構造關于/(x)的方程(組)，從而得到/(Λ)的解析式.

(3)求函數解析式中參數的值

利用待定系數法求解，根據/(分勺X-X)=0得到關于待求參數的恒等式，由

系數的對等性得參數的值或方程(組)，進而得出參數的值.

考點3函數的周期性——綜合性

「典例引領」

例。“(1)設/(X)是定義在R上的奇函數，且對任意實數X,恒有/α+4)=/

(x).當x∈[0,2]時，/(x)=2x—f,則/(2023)=.

-1解析：因為/(x+4)=∕(九)，所以函數/(x)的周期T=4.又/(1)=1,所

以/(2023)=∕(-l+4×506)=∕(-l)=-∕(l)=-l.

(2)已知函數/(x)是定義在R上的偶函數.若對于x20,都有/(x+2)=一￡;,

且當x∈[0,2)時，/(x)=log2(x+l),則/(一2019)+/(2021)的值為.

0解析：當XeO時J(X+2)=一去，所以/(x+4)=∕(x),即4是/(x)(XeO)

的一個周期.所以/(一2019)=/(2019)=/(3)=-R=—1,/(2021)=/(1)=

log22=l,所以/(-2019)+/(2021)=0.

同源異考/

1.若本例⑴中的條件不變，則/(x)(χW[2,4])的解析式是.

/(X)=X2-6X+8解析：當x∈[-2,0]時，一χ∈[0,2].由已知得/(一χ)=2(一

x)一(—x)2=-2x—X2.又/(x)是奇函數，所以/(—X)=—/(x)=-2x—%2.所以/(x)

=f+2x.又當尤∈[2,4]時，χ-4∈[-2,0],所以/(X-4)=(X-4)2+2(X-4).又/(X)

是周期為4的周期函數，所以/(x)=f(X-4)=(Λ-4)2+2(Λ-4)=√-6XX∈[2,4]

時，/(x)=x2-6x+8.

7U+2)=-τ?w變為“/a+2)=—/(x)”，

2.若將本例(2)中則/(一2

019)+/(2021)=.

0解析：由/(x+2)=-∕(x)可知T=4,所以/(一2019)=—1,/(2021)=1,

所以/(一2019)+/(2021)=0.

解題通法

函數周期性有關問題的求解策略

(1)求解與函數的周期性有關的問題，應根據題目特征及周期定義，求出函

數的周期.

(2)周期函數的圖象具有周期性，如果發現一個函數的圖象具有兩個對稱性

(注意：對稱中心在平行于X軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數一

定具有周期性.

「多維訓練J

1.已知函數/(x)的圖象關于原點對稱，且周期為4,若/(-1)=2,則/(2021)

=()

A.2B.0C.-2D.-4

C解析：因為函數/Q)的圖象關于原點對稱，且周期為4,所以/(x)為奇

函數，所以/(2021)=/(505)<4+1)=/(1)=—/(-1)=一2.故選C.

2.設定義在R上的函數/(X)同時滿足以下條件：

◎(*)+/(—九)=0；劭(X)=/。+2)；③當0<x<l時，/(x)=2?Jl.

則/?)+∕(D+/(1)+/⑵+/(D=------------

√2-l解析：依題意知函數/(x)為奇函數且周期為2,則/(1)+/(—1)=0,

/(-1)=/(1),即/⑴=0?

所以f(∣)+∕(D+/便)+/(2)+/修)

=∕?)+0+∕H)+∕(0)+∕?)

=f?-?&+/(。)+/a

=/8+/(0)

?

=22-1÷2O-1=√2-1.

考點4函數性質的綜合應用——應用性

「典例引領」

考向1函數的奇偶性與單調性綜合

例g/已知奇函數/(x)在R上是增函數，g(x)=xf(x).若α=g(-log25.1),b

=g(2),c=g(3),則α,b,C的大小關系為()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

C解析：易知g(x)=好'Q)在R上為偶函數，

因為奇函數/Q)在R上單調遞增，且/(0)=0?

所以g(九)在(0,+8)上單調遞增.

又3>log25.1>2>2,且α=g(Tog25.1)=g(log25.1),

所以g(3)>g(log25.1)>g(2),即c>a>b.

考向2函數奇偶性與周期性的綜合

例目，定義在R上的偶函數/(x)滿足/(x+3)=∕(x).若/(2)>1,/(7)=α,則

實數α的取值范圍為()

A.(—8,-3)B.(3,+∞)

C.(-8,-1)D.(1,+∞)

D解析：因為/(x+3)=∕(x),所以/(x)是定義在R上的以3為周期的函數，

所以/(7)=/(7—9)=/(一2).又因為函數/(x)是偶函數，所以/(-2)=/(2),所

以/(7)=∕(2)>1,所以a>l,即αW(l,+∞).故選D?

考向3函數單調性'奇偶性與周期性的綜合

例0定義在R上的偶函數/㈤滿足f(