專題23數(shù)軸上由動點引起的分類討論問題

【模型展示】

數(shù)軸上的三種動點問題

數(shù)軸的動點問題，無論在平時練習(xí)，還是月考，期中期末考試中屬于壓軸題的

版塊，其過程復(fù)雜，情況多變。動點問題雖然較難，但觀察總結(jié)過這類題目考型

后會發(fā)現(xiàn)其實總體來說就分為三類：

一、數(shù)軸上點移動后的表示

【總結(jié)歸納】

在數(shù)軸中動點移動的問題之間就是行程問題解決；

點移動的單位長度就是路程、每秒移動的單位長度就是速度（V）,和時間（t）

的基本關(guān)系：

S=Vt（路程=速度X時間即點移動的單位長度=每秒移動的單位長度X時間）

動點向右移動后表示的數(shù)=起點+每秒移動的單位長度X時間

動點向左移動后表示的數(shù)=起點一每秒移動的單位長度X時間

【總結(jié)歸納】

點的移動問題方法：“三找”：

（1）找起點；（2）找方向；（3）找長度

特點二、兩個點之間的距離

數(shù)軸上的公式：

設(shè)點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a,點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b,AB的中點為M。

則：

1、距離公式：AB=Ia-bI=Ib-aI（或者：右邊的數(shù)-左邊的數(shù)）

2、中點公式：點M表示的數(shù)為：（a+b）∕2;

3、移動公式：當(dāng)點A向右移動m個單位，則A表示的數(shù)為：a+m;

當(dāng)A向左移動m個單位，則A表示的數(shù)為a-m.

三、數(shù)軸上動點移動問題

【總結(jié)歸納】

點的移動問題就是將點的移動后表示與用絕對值表示兩點之間的距離結(jié)合起來。

方法：（1）找起點；（2）找方向；（3）找長度（4）根據(jù)距離公式列方程

動點問題解題步驟：

1、審題，分清楚動點在不同的時間段處于怎樣的狀態(tài)（時間段、速度）；

2、設(shè)未知數(shù)，列出等式（列方程）；

3、解方程；

4、檢驗：將求解結(jié)果與題意對照，把不符合題意的結(jié)果舍去，留下正確的答案。

結(jié)論數(shù)軸的動點問題

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，數(shù)軸上點4和點8表示的數(shù)分別是-6和4,動點M從A點以每秒3cm的速度勻速

向右移動，動點N同時從B點以每秒ICm的速度勻速向右移動.設(shè)移動時間為，秒，當(dāng)動點

N到原點的距離是動點M到原點的距離的2倍時，f的值為()

B

--------1------------*

--

-6o4

12-8-16C12-16

A.?dc?，或不d?亍或二

77

【答案】C

【分析】分點M原點左邊或右邊兩種情況討論，由題意列出方程可求解.

【詳解】解：當(dāng)點M在原點左邊，

由題意得：2(6-3f)=4+6

O

解得：∕=y:

當(dāng)點M在原點右邊，

由題意得：2(3r-6)=4+6

?J6

??/=—,

5

故選C?

【點睛】本題考查了一元?次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離求解方法是解

決問題的關(guān)鍵.

2.如圖，數(shù)軸上一動點A向左移動2個單位長度到達點B,再向右移動5個單位長度到達

點C,若點C表示的數(shù)為1,則與點A表示的數(shù)互為相反數(shù)的是()

BAO1

A.-7B.-2C.-3D.2

【答案】D

【分析】先求出4點表示的數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：數(shù)軸上一動點4向左移動2個單位長度到達點再向右移動5個單位長度到

達點C,

???點C表示的數(shù)為1,

.?.點8表示的數(shù)為-4,

.?.點A表示的數(shù)為-2,

則與點A表示的數(shù)互為相反數(shù)的是2,

故選：D.

【點睛】本題考查了數(shù)軸和相反數(shù)的定義，本題的解題關(guān)鍵是求出A點表示的數(shù).

3.如圖，A、8是數(shù)軸上兩點，P,。是數(shù)軸上的兩動點，點P由點A出發(fā)，以1個單位長

度/秒的速度在數(shù)軸上移動，點。由點B出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上移動.若

P,。兩點同時開始和結(jié)束移動，設(shè)移動時間為f秒.下列四位同學(xué)的判斷中正確的有()

AB

—1--------1-----?----->

AO2

①小聰：若點P,Q相對而行，當(dāng)f=2時，點P和點。重合；

②小明：若點P,。沿X軸向左移動，當(dāng)f=6時，點尸和點。重合；

③小伶：若點P,Q沿X軸向右移動，當(dāng)f=2時，點P,Q之間的距離為8；

④小俐：當(dāng)/=4時，點P,。之間的距離可能為6

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據(jù)4位同學(xué)的描述分別列式求解判斷即可.

【詳解】解：①小聰：若點P,Q相對而行，

當(dāng)f=2時,

P點所在的位置為：-4+2=-2,。點所在的位置為：2-2×2=-2,

二點P和點。重合，

.?.①正確；

②小明：若點P,。沿X軸向左移動，

當(dāng)f=6時,

P點所在的位置為：-4-6=-10,。點所在的位置為：2-2χ6=T0,

點P和點Q重合，

②正確;

③小伶：若點P,。沿X軸向右移動，

當(dāng)f=2時,

P點所在的位置為：-4+2=-2,Q點所在的位置為：2+2×2=6,

6-(-2)=8,

，點P,。之間的距離為8,

.?.③正確；

④小俐：當(dāng)f=4時，

若點P，。相對而行，

。點所在的位置為：-4+4=0,。點所在的位置為：2-2×4--6,

0-（-6）=6,

.?.此時點P,。之間的距離為6,

.?.④正確.

綜上所述，正確的有①②③④，有4個.

故選：D.

【點睛】此題考查了數(shù)軸上的動點問題，有理數(shù)的加減混合運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正

確列出算式求解.

4.在原點為。的數(shù)軸上，從左到右依次排列的三個動點A,M,β,滿足MA=MB,將點A,

M,8表示的數(shù)分別記為小m，b.下列說法正確的個數(shù)有（）

AMB

—?---------------------?-------------?

①當(dāng),〃=2時，b=4-a↑

②當(dāng)m=5時，若α為奇數(shù)，且5<8≤8,貝∣Jα=3或5；

③若b=8,BM=WM,則機=2；

④當(dāng)機=時,將點水平右移個單位至點再將點用水平右移個單位至點B,

3,b=483B1,32

以此類推，…且滿足則數(shù)軸上與對應(yīng)的點表示的數(shù)為

M4,,=MBz,,Ba”Ag-6064.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)M4=MB,Uj得機一α=匕一而，從而得至∣J%=2∕n-a,可得①正確；當(dāng)機=5時，

b=]Q-a,根據(jù)5<6≤8,可得2≤α<5,再由“為奇數(shù)，可得②錯誤；根據(jù)BM=3OM,

可得匕一%=3|同，再分兩種情況，可得加=T或2,故③錯誤；根據(jù)題意得：點8向右移動

〃次時，點紇對應(yīng)的數(shù)為4+3〃，從而得到MA,,=M8,,=3"+1,可得點從對應(yīng)的數(shù)為

3-（3〃+1）=2-3〃，從而得到④正確，即可求解.

【詳解】解：???M4=M3,

/.m-a=b-m1

.*.b=2m—a1

.?.當(dāng)m=2時，b=4-a,故①正確；

:5<A≤8,

Λ5<10-6Z≤8,

工2≤。＜5,

???〃為奇數(shù)，

.?.α=3,故②錯誤；

YBM=3OM,

b-m=3?m[,

當(dāng)點M在原點右側(cè)時，b-m=3m,B∣Jb=4m,

V?=8,

.*.4m=8,即機=2；

當(dāng)點M在原點左側(cè)時，h-m=-3m,即》=-2加，

V?=8,

—2/72=8,即祖=-4；

??.〃?=T或2,故③錯誤；

當(dāng)m=3,8=4時，a=2m-b=2,

根據(jù)題意得：點8向右移動〃次時，點紇對應(yīng)的數(shù)為4+3〃，

/.MBn=4+3〃—3=3〃+1,

??MAtl=MBnf

.*.MAn=3n+↑,

.?.點A,,對應(yīng)的數(shù)為3-（3”+1）=2-3〃，

；?點4⑼表示的數(shù)為2-3x2022=-6064,故④正確；

正確的有①④，共2個.

故選：B

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，動點問題，一元一次方程的應(yīng)用，利用數(shù)形

結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

5.如圖所示，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為8,點B表示的數(shù)為-6.動點P從點A出發(fā)，以

每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動；動點。從點8出發(fā)，以每秒3個單位長度

的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點尸、。同時出發(fā)，點尸運動（）秒追上點。.

BOA

-------1-----------------------1----------------------------------1------->

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)追及模型列出方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)點P運動X秒追上點Q,

根據(jù)題意得：5Λ-3Λ=8-（-6）.

解得后7,

.?.點P運動7秒追上點Q,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸以及數(shù)軸上兩點之間的距離,一元一次方程的應(yīng)用,理解題意，

列出一元一次方程是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，數(shù)軸上一動點A向左移動4個單位長度到達點8,再向右移動1個單位長度到達

點C,點C表示的數(shù)為一1,若將A,B,C三點表示的數(shù)進行混合運算（每個數(shù)只能用一次），

則可得到最大數(shù)為（）

r----------4

_____4C____________

B-IOA

A.9B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】先求出點2和點A對應(yīng)的數(shù)，再將A,B,C三點表示的數(shù)進行混合運算得出結(jié)果

進行判斷即可.

【詳解】解：數(shù)軸上一動點4向左移動4個單位長度到達點B,再向右移動1個單位長度到

達點C,點C表示的數(shù)為一1,

.?.點8表示的數(shù)為一2,點4表示的數(shù)為2,

Λ（-l-2）2=9

故選:A

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸以及有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸確定4、B的值.

7.如圖，已知A,8（8在4的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為4,且A8=6,動

點P從點4出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，在點P的運動過程中，M,

N始終為AP,BP的中點，設(shè)運動時間為t（r>0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（）

①B對應(yīng)的數(shù)是2；②點尸到達點8時，/=3；③8P=2時，1=2；④在點P的運動過程中，

線段MN的長度不變.

4rMa

-"04~

A.①③@B.②③④C.②③D.②④

【答案】D

【分析】①根據(jù)兩點間距離進行計算即可：

②利用路程除以速度即可；

③分兩種情況，點P在點B的右側(cè)，點尸在點B的左側(cè)，由題意求出AP的長，再利用路程

除以速度即可；

④分兩種情況，點尸在點B的右側(cè)，點尸在點8的左側(cè)，利用線段的中點性質(zhì)進行計算即

可.

【詳解】解：設(shè)點8對應(yīng)的數(shù)是X,

；點A對應(yīng)的數(shù)為4,且A8=6,

4—X=6>

??X=-2,

點8對應(yīng)的數(shù)是-2,故①錯誤；

由題意得：

6÷2=3（秒）,

二點P到達點8時，片3,故②正確；

分兩種情況：

當(dāng)點P在點B的右側(cè)，

?.,AB=6,BP=I,

二AP=AB-BP=6-2=4,

.?.4÷2=2（秒），

.?.8P=2時，t=2,

當(dāng)點P在點8的左側(cè)，

?.?A8=6,BP=2,

：.AP=AB+BP=6+2=8,

.?.8÷2=4（秒），

.?.8P=2時，t=4,

綜上所述，BP=2時，t=2或4,故③錯誤;

分兩種情況：

當(dāng)點尸在點8的右側(cè)，

N分別為AP,BP的中點，

ΛMP^-AP,NP=-BP,

22

MN=MP+NPΛAP+^P=^ΛP+BP^AB=3

當(dāng)點尸在點8的左側(cè)，

VM,N分別為AP,Bp的中點,

MP=-AP,NP=-BP,

22

MN=MP-NPΛAPΛBP^AP-BP>LAB=.

在點尸的運動過程中，線段MN的長度不變，故④正確.

所以，上列結(jié)論中正確的是②④.

故選：D.

【點睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，已知A,B（B在4的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為8,且AB=12,

動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動,在點P的運動過程中,M,

N始終為AP,8P的中點，設(shè)運動時間為fG>0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（）

BN-PMA

-----i----------------i---------------i-------4J----------->

0-------------------8

①B對應(yīng)的數(shù)是一4；②點P到達點8時，f=6；③BP=2時，t=5；④在點P的運動過程中，

線段MN的長度不變

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】①根據(jù)兩點間距離進行計算即可：

②利用路程除以速度即可；

③分兩種情況，點P在點B的右側(cè)，點P在點8的左側(cè)，由題意求出AP的長，再利用路程

除以速度即可；

④分兩種情況，點尸在點B的右側(cè)，點P在點8的左側(cè)，利用線段的中點性質(zhì)進行計算即

可.

【詳解】解：設(shè)點B對應(yīng)的數(shù)是X,

；點A對應(yīng)的數(shù)為8,且A5=12,

.?.8-E2,

?,.χ=-4,

點B對應(yīng)的數(shù)是-4,

故①正確；

由題意得：

12÷2=6（秒）,

點尸到達點3時,t=6,

故②正確；

分兩種情況：

當(dāng)點P在點B的右側(cè)時，

VAB=12,BP=2,

.?AP=AB-BP=n-2=}O,

：.1O÷2=5（秒），

.?.BP=2時，t=5,

當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，

VΛB=12,8P=2,

.?AP=AB+BP=?2+2=?4,

：.14÷2=7（秒）,

.?.8P=2時，t=l,

綜上所述，2P=2時，仁5或7,

故③錯誤；

分兩種情況：

當(dāng)點P在點8的右側(cè)時，

'：M,N分別為AP,BP的中點，

：.MP=^AP,NP=gBP,

：.MN=MP+NP

AP+-^BP

=y×12

二6,

當(dāng)點尸在點8的左側(cè)時，

VΛ∕,N分別為4P,BP的中點，

.?MP=AP,NP=；BP,

IMN=MP-NP

=^AP-^BP

=^AB

=，12

2

=6,

.?.在點P的運動過程中，線段MN的長度不變，

故④正確；

所以，上列結(jié)論中正確的有3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.如圖，數(shù)軸上4、8兩點對應(yīng)的有理數(shù)分別是4=-5和4=6.動點尸從點A出發(fā)，以

每秒1個單位的速度沿數(shù)軸在A、B之間往返運動，同時動點Q從點8出發(fā)，以每秒2個單

位的速度沿數(shù)軸在8、A之間往返運動，設(shè)運動時間為f秒，當(dāng)O<∕≤ll時，若原點0恰好

是線段PQ的中點，則t的值是.

aQB

-5016

【答案】1或7

【分析】分兩種情況討論：當(dāng)0<∕≤5.5時，點P表示的數(shù)為-5+/,點Q表示的數(shù)為6-23根

據(jù)原點O恰好是線段尸。的中點，得到點P、Q表示的數(shù)互為相反數(shù)，推出-5+f+6-2f=O,得

到E：當(dāng)5.5<∕≤11時，點P表示的數(shù)為-5+3點Q表示的數(shù)為-5+2f-l1=2U6,推出-5+∕+2U6=0,

得到0.

【詳解】當(dāng)O<∕<5.5時，點尸表示的數(shù)為-5+/,點。表示的數(shù)為6-2/,

V原點。恰好是線段P。的中點，

??.點P、。表示的數(shù)互為相反數(shù)，

-5+r+6-2f=O.

1；

當(dāng)5?5<∕≤11時，點尸表示的數(shù)為-5+f,點Q表示的數(shù)為-5+2Nl=2r-16,

Λ-5+r+2M6=0,

：.t=7.

故答案為：1或7.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸與動點，一元一次方程，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上的

動點表示的數(shù)與起始點表示的數(shù)和動點移動距離的關(guān)系，中點為原點的線段兩端點表示的數(shù)

的關(guān)系，互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和的特征，解一元一次方程的一般方法.

10.數(shù)軸上A,8兩點表示的數(shù)分別為-4,2,C是射線S4上的一個動點，以C為折點，

將數(shù)軸向左對折，點8的對應(yīng)點落在數(shù)軸上的5'處.

(1)當(dāng)點C是線段43的中點時，線段AC=.

(2)若3'C=3AC,則點C表示的數(shù)是.

【答案】3—2.5或-7

【分析】(1)先根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)求出點C所表示的有理數(shù)，再計算有理數(shù)的減法即可得;

(2)設(shè)點C表示的數(shù)是X,則BC=2r,AC=∣T-乂，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得

B'C=BC=2-x,然后根據(jù)8C=3AC建立方程，解方程即可得.

【詳解】解：(I)當(dāng)點C是線段AB的中點時，

-4+2

則點C所表示的有理數(shù)為一萬一=-1,

所以線段AC=T-(-4)=3,

故答案為：3.

(2)設(shè)點C表示的數(shù)是X,

,點C是射線BA匕的一個動點，

:.x<2,

則3C=2-x,AC=∣-4-X

由折疊的性質(zhì)得：BrC=BC=2-x,

B'C=3AC,

2—x=3∣-4—x∣,

即I-X-3(4+x)%-2=3(4+x),

解得x=-2.5或x=-7,均符合題意，

則點C表示的數(shù)是-2.5或-7,

故答案為：-2.5或-7.

【點睛】本題考查了數(shù)軸、一元一次方程的應(yīng)用、有理數(shù)加減法的應(yīng)用、折疊，熟練掌握數(shù)

軸的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

11.如圖，在數(shù)軸上點A表示α,點C表示c,且∣α+20∣+(c-30)2=0.動點8從數(shù)1對應(yīng)

的點開始向右運動，速度為每秒1個單位長度，同時點A,C在數(shù)軸上運動，點A,C的速

度分別為每秒2個單位長度，每秒3個單位長度，運動時間為f秒.若點A向左運動，點C

向右運動，2A8-加BC的值不隨時間，的變化而改變，則〃7的值是.

AC

--------------------1-----------------------------------------------1-----------------?

【答案】3

【分析】根據(jù)題目的已知可得α=-20,c=30,然后再利用兩點間距離進行計算即可解答.

【詳解】解：?.?∣“+20∣+(C-30)2=0,

.'.α+20=0,c-30=0>

.*.a=—20,c=30,

點A表示-20,點C表示30,

.?.運動時間f秒后，點4對應(yīng)的數(shù)為：-20-2〃點8對應(yīng)的數(shù)為：1+六

點C對應(yīng)的數(shù)為：30+3/；

.".AB=l+t-(-20-2z)=21+3r,BC=3O+3t-(l+r)=29+2/,

.?2AB-nιBC

=2(21+3r)-m(29+2，)

=42+6z-29∕n-2wι/

=42+(6-2〃?)/-29〃?，

當(dāng)6-2"z=0時，即m=3時,2A8-mBC的值不隨時間t的變化而改變，

故答案為：3.

【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值和偶次方的非負(fù)性，熟練掌握數(shù)軸上兩點間距離是解題的

關(guān)鍵.

12.已知點C在線段A8上，AC=2BC,點。、E在直線AB上，點。在點E的左側(cè).

(1)若AB=18,點。與點A重合，DE=S9則EC=；

4Q+FC3CD

(2)若M=20E,線段。E在直線A8上移動,且滿足關(guān)系式/=彳，則三=_______

BE2AB

DCE_BACB

圖1備用圖

1117

【答案】(1)4(2)4■或g?

642

【分析】(1)畫出符合題意的圖形，由AB=I8,AC=28C,求解BC,再利用線段的和差關(guān)

系求解EC即可得到答案；

⑵根據(jù)AC=2BC,AB=2DE,線段DE在直線AB上移動，滿足關(guān)系式管=三,再

分六種情況討論，①當(dāng)。E在點A左側(cè)時，②當(dāng)A在OE之間時，③當(dāng)OE在線段AC上時，

④當(dāng)C在DE之間時，⑤當(dāng)。在CB之間時，⑥當(dāng)。在B的右邊時，可以設(shè)CE=x,DC=y,

用含X和y的式子表示A。,EeBE的長,從而得出X與y的等量關(guān)系，即可求出W的值.

AB

【詳解】解：(1)如圖，

D

????

AECB

AB=DB=18,AC=2BC,

:.BC=-ΛB=6

3f

DE=S9

.?.EC=AB-DE-BC=18-8-6=4.

40+FC3

(2)VAC=2BC,AB=2DE,滿足關(guān)系式-

①當(dāng)DE在點A左側(cè)時，如圖,

?????

DEAcB

設(shè)CE=x,DC=y,^?DE=y-x,

24122

JΛB=2(γ-x),AC=?AB=?(?-?),BC=-(2y-2x)=-y--xy

41

.,.AD=DC-AC=-X——y,

33-

.*.BE=BC+CE=-y+-x

33

71

：.AD+EC=-x——y

33

..AD+EC3

?BE-^2,

,2(ΛD+FC)=3BE,

??2(r4?3(t?v44

Q

解得，》=5九

CDyy_11

瓦=2(1廣21尋=不.

②當(dāng)A在。E之間時，如圖，

?----?--?-------?----?

DAECB

設(shè)CE=X,CO=y,則Z)E=y-x,

口

0同E理-可r/得：CD11.

AB6

③當(dāng)OE在線段AC上時，

?????

ADECB

設(shè)CE=X9CD=y,則DE=y-xf

:.DE=y-x,AB-2DE=2y-2x,

24422

:.AC=-AB=-V――x,BC=-y――演

33.33.3

1411

.?.AD=AC-CD=-y--x,AD+CE=-y--x,

3E=3C+CE=∣y+},

:.AD+CE<BE,

AD+EC3

BE2

.?.AD+CE>BE,

不合題意舍去；

④當(dāng)C在Z)E之間時，如圖,

設(shè)CE=x,DC=y,則DE=x+y,

24112

???Aβ=2(x÷γ),AC=-λβ=-(%+γ),βC=-λβ=-(%+y)=-(x+y),

41

???AD=AC-DC=-x+-y,

33

71

**.AZ)+EC=—XH—y

33

.?.BE=BC-CE=-V--X,

33

..AD+EC3

BE2

.?.2(AE>+EC)=3BE,

4

解得，X=萬y，

CD_y_y_J7

?而=2(x+y)=2(Q+)]F.

⑤當(dāng)。在C8之間時，

CDB

設(shè)CD=y,CE=?,則DE=x-y,AB=2DE=2x-2y,

??.AD=AC+CO=3χ-1y,βε=Cε-6C=Jχ+2y,

3333

71

AZ)+CE=—X—y,

33

..AD+EC3

BE-~2

,2(AD+EC)=3BE,

Q

同理可得：x=^y,與圖形條件X>y不符舍去,

⑥當(dāng)。在8的右邊時，

-?~?-----------e-

ABDE

設(shè)Cf>=y,CE=x,plιjDE=X-y,AB=2DE=2x-2yy

4422

??.AC=-x——y,BC=-x——y,

3333'

.?.AD=AC+CD=∣x-∣γ,BE=CE-BC=∣x+∣γ,

ΛD+CE——X—y,

33

..AD+EC3

BE-~2

,2(AD+EC)=3BE,

Q

同理可得：%=-?與圖形條件χ>y不符，舍去，

綜上：WCD的值為：I21或1g7?

AB642

1117

故答案為?或9.

642

【點睛】本題考查的是線段的和差關(guān)系，二元一次方程思想，與線段相關(guān)的動態(tài)問題，分類

討論的思想，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，數(shù)軸上有兩點AB,點C從原點。出發(fā)，以每秒ICm的速度在線段上運動,

點。從點B出發(fā)，以每秒4cm的速度在線段08上運動.在運動過程中滿足8=4AC,若

點M為直線04上一點，S.AM-BM=OM,則二7的值為.

【答案】1或g

【分析】設(shè)點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a,點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b,設(shè)運動的時間為t秒，

由0D=4AC得a與b的關(guān)系，再根據(jù)點M在直線AB的不同的位置分4種情況進行解答,

①若點M在點B的右側(cè)時，②若點M在線段BO上時，③若點M在線段OA上時，④若

點M在點A的左側(cè)時，分別表示出AM、BM、OM,由AM-BM=OM得到I、a、b之間的

關(guān)系，再計算黑的值即可.

OM

【詳解】設(shè)運動的時間為t秒，點M表示的數(shù)為m

則OC=t,BD=4t,即點C在數(shù)軸上表示的數(shù)為t點D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b?4t,

.*.AC=-t-a,OD=b-4t,

由OD=4AC得，b-4t=4(-t-a),

即：b=-4a,

①若點M在點B的右側(cè)時，如圖1所示：

abm

----------1-----------1---------------1--------?~>

AOgB?f

圖1-W

由AM-BM=OM得，m-a-(m-b)=m,即：m=b-a:

.ABh-am

.?------------------?=—11

OMmm

②若點M在線段Bc)上時，如圖2所示：

?

m

I?I

。M5

圖2

由AM-BM=OM得,m-a-(b-m)=m,即：m=a+b;

.AB_b-a_b-a_-4a-a_5

OMma+ha-4a3

③若點M在線段OA上時，如圖3所示：

am?

______I?I__________I__________>

AMOB

圖3

由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=-m,即：tn=~~==~a

Y此時mV0,a<0,

???此種情況不符合題意舍去；

④若點M在點A的左側(cè)時，如圖4所示：

mab

I]___L

AOB

圖4

由AM-BM=OM得,a-m-(b-m)=-m,即：m=b-a=-5a;

而m<0,b-a>O,

因此，不符合題意舍去,

5

綜上所述，煞AR的值為1或?.

OM3

【點睛】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法是正確解答的關(guān)鍵，

分類討論和整體代入在解題中起到至關(guān)重要的作用.

三、解答題

14.點4、B在數(shù)軸上的位置如圖所示，P是數(shù)軸上的一個動點.

AB

Ill.1Ill

-5-4-3-2-1O12345

(1)當(dāng)尸、8兩點之間的距離為1時，則點P表示的數(shù)為；

(2)當(dāng)點P將A、B兩點之間的距離三等分時，則點尸表示的數(shù)為；

(3)現(xiàn)在點A以每秒2個單位長度、點B以每秒1個單位長度的速度同時向右運動，同時點P

以每秒4個單位長度的速度從表示數(shù)1的點向左運動，當(dāng)點A與點B之間的距離為3個單

位長度時，求點P所對應(yīng)的數(shù)是多少？

【答案】(1)3或5

(2)0或2

⑶點P所對應(yīng)的數(shù)是-11或-35.

【分析】(1)根據(jù)EB=I,分兩種情況：①點尸在點B的左邊；②點尸在點8的右邊；分

別求出點P表示的數(shù)即可；

(2)根據(jù)點P是線段AB的三等分點，分兩種情況：①AP=gA5;②BP=；AB；分別求

出點尸表示的數(shù)即可；

(3)分兩種情況討論，①當(dāng)點A在點B左邊兩點相距3個單位時，②當(dāng)點4在點B右邊時，

兩點相距3個單位時，分別求出f的值，然后求出點P對應(yīng)的數(shù)即可.

(1)

解：由題意，知點A,8表示的數(shù)分別為-2,4,

分兩種情況進行解答：

①點尸在點B的左邊時，

?；PB=I,4-1=3,

???點P表示數(shù)的是3,

②點P在點3的右邊時，

；PB=I,4+1=5,

，點尸表示的是5,

綜上，可得點P表示的數(shù)是3或5；

故答案為：3或5；

(2)

解：?.?4-(-2)=6,

，線段A3的長度是6,分兩種情況：

①”=：48=2時，點尸表示的數(shù)是一2+2=0，

②8P=gA8=2時，點尸表示的數(shù)是4-2=2,

綜上，可得點P表示的是。或2：

故答案為：。或2；

(3)

解：當(dāng)點A與點B之間的距離為3個單位長度時，需要的時間為/,

根據(jù)題意得：點B對應(yīng)的數(shù)為4+/；點A對應(yīng)的數(shù)為2/-2：點P對應(yīng)的數(shù)為1-4/；

①當(dāng)點A在點B左邊兩點相距3個單位時，

則4+f-(2f-2)=3,

解得：r=3,

則點P對應(yīng)的數(shù)為1-4=1-4x3=71；

②當(dāng)點A在點B右邊兩點相距3個單位時，

則2”2-(4+/)=3,

解得：r=9,

則點P對.應(yīng)的數(shù)為l-4r=l-4χ9=-35;

綜上可得當(dāng)點A與點B之間的距離為3個單位長度時，點P所對應(yīng)的數(shù)是-11或-35.

【點睛】此題考查的是一元一次方程及數(shù)軸，掌握數(shù)軸上兩點間距離公式是解決此題的關(guān)鍵.

15.已知數(shù)軸上有A、B、C三個點對應(yīng)的數(shù)分別是a,b,c,且∣α+24∣+∣6+10∣+(c-10)2=0,

點。為原點.

FE

A(G)B(H)OC

(1)請寫出。=；h=；C=；

(2)以AB為長，BO為寬，作出長方形E『G"，其中G與4重合，”與8重合(如圖所示)，

將這個長方形總繞著右邊的端點在數(shù)軸上不斷滾動(無滑動)，求出E點第3次落在數(shù)軸上

對應(yīng)的數(shù)字；

(3)將(2)中的長方形EFGH,G與A重合，”與8重合時開始計時，該長方形以2個單位

長度/秒向右移動，當(dāng)”點與C點重合時停止運動，整個過程中速度保持不變.數(shù)軸上一動

點P與長方形同時開始運動，從C點出發(fā)，沿數(shù)軸向左移動，速度為3個單位長度/秒，設(shè)

它們的運動時間為f,求r為何值時，點尸與點H之間的距離為5(即P"=5).

【答案】(1)-24,-10,10

(2)E點第3次落在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是96

⑶當(dāng)t=3或t=5時，點P與點H之間的距離為5

【分析】(1)根據(jù)題意，絕對值和偶次方的非負(fù)性得∣α+24∣=0,2+10∣=0,(c-10)2=0,

進行計算即可得；

(2)根據(jù)題意得A8=24,OB=IO,則E點第I次落在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是：-10+10=0,第

2次落在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是：(H(14+10)×2M8,第3次落在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是：

48+(14+10)x2=96,即可得；

(3)根據(jù)題意，//C=10-(-10)=20,[J∣J20÷2=10(s),IOs時停止運動，①點尸、。相遇

之前，2r+3r+5=20,②點尸、Q相遇之后，2t+3t-5=20,進行計算即可得.

(1)

解：?.?∣a+24∣+∣?+10∣+(c-10)2=0

Λ∣α+24∣=0,∣?+10∣=0,(c-10)2=0,

HIJa=—24,?=-10,C=I0,

故答案為：一24,-10,10；

(2)

解：Va=-24,b=-10,

/.AB=-10-(-24)=14,04=24,

則08=1(),

E點第1次落在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是：-10+10=0,

第2次落在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是：0+(14+10)×2=48,

第3次落在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是：48+(14+10)x2=96,

即E點第3次落在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是96；

(3)

解：根據(jù)題意,"C=10-(-IO)=20,

20÷2=10(s),

①點尸、。相遇之前，2r+3r+5=20,

5t=]5

t=3,

②點戶、。相遇之后，2t+3t-5=20,

5/=25

t=5,

綜上，當(dāng)r=3或，=5時，點P與點H之間的距離為5.

【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值，偶次方的非負(fù)性，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

理解題意，掌握這些知識點，分類討論.

16.有A,B兩點，在數(shù)軸上分別表示實數(shù)〃、b,若。的絕對值是6的絕對值的4倍，且4,

8兩點的距離是15個單位，

(1)探討〃、b的值.

①A,8兩點都在原點的左側(cè)時，a=,b=；

②若規(guī)定A在原點的左側(cè)、8在原點的右側(cè)，a=,b=；

(2)數(shù)軸上現(xiàn)有兩個動點RQ,動點尸從A點出發(fā)向B點運動，每秒2個單位；動點Q從B

點出發(fā)向A點運動，每秒1個單位，兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達終點時另一點也隨之

停止，經(jīng)過r秒后P、。兩點相距3個單位，求此時，的值.

【答案】⑴①。=-20,b=—5；②”=T2,b=3

(2)4或者6

【分析】(1)根據(jù)題意有：同=4W，∣α-b∣=15,①4,8兩點都在原點的左側(cè)，有α<0,b<0,

據(jù)此取絕對值，即可求解；②A在原點的左側(cè)、8在原點的右側(cè)，有“<0,bX),據(jù)此取絕

對值，即可求解；

(2)分兩種情況討論：第一種情況，P、。兩點相遇之前相距3個單位，第二種情況，A

Q兩點相遇之后相距3個單位，根據(jù)相遇問題的特點列方程即可求解.

(1)

根據(jù)題意有：∣α∣=4%4=15,

①?.?A,B兩點都在原點的左側(cè)，

/.a<0,b<0,

?.?∣α∣=4∣?∣,

/--a=-4b,UP6f=4?,

V∣6Z-6∣=15,

.?.∣4?-∕7∣=i5,即網(wǎng)=5,

v?<o,

?*.b=-5,即a=4b=-20,

故答案為：a=-20,&=-5：

②YA在原點的左側(cè)、8在原點的右側(cè)，

.,.a<Q,bX),

?.?H=4∣?∣,

?".-a=4b,即a=-4b,

?.[a-6∣=15,

Λ?-Ab-b?=l5,即∣H=3,

?."X),

?,.b=3,即a=-4b=-12,

故答案為:a=-l2,6=3；

(2)

分兩種情況討論：

第一種情況，P、。兩點相遇之前相距3個單位，

根據(jù)題意有:(1+2)1=15—3,

解得/=4,此時,的值為4；

第二種情況，R。兩點相遇之后相距3個單位，

根據(jù)題意有：(l÷2)r=15+3,

解得/=6,此時/的值為6；

綜上：，的值為4或者6.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸與有理數(shù)，絕對值以及一元一次方程的應(yīng)用等知識，根據(jù)點的

位置去掉絕對值求出”,匕是解答本題的關(guān)鍵.

17.在數(shù)軸上有A,B兩點，點B表示的數(shù)為從對點A給出如下定義：當(dāng)6≥0時，將點A

向右移動2個單位長度，得到點P-,當(dāng)b<O時，將點A向左移動網(wǎng)個單位長度，得到點P.稱

點P為點4關(guān)于點B的“聯(lián)動點”.如圖，點A表示的數(shù)為-1.

A

1IIt.lIIIIIA

-5-4-3-2-10I2345

⑴在圖中畫出當(dāng)8=4時，點A關(guān)于點B的“聯(lián)動點”P；

(2)點A從數(shù)軸上表示T的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右運動，點8從數(shù)軸上表示

7的位置同時出發(fā)，以相同的速度向左運動，兩個點運動的時間為f秒.

①點B表示的數(shù)為(用含，的式子表示)；

②是否存在t,使得此時點A關(guān)于點B的“聯(lián)動點”P恰好與原點重合？若存在，請求出t的

值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵①7T,②不存在，見解析

【分析】(1)當(dāng)6=4時，b≥0,將點A向右移動2個單位長度，由此求出點P表示的數(shù),

并作圖即可；

(2)①根據(jù)點8的運動方向和運動速度即可求解；②運動的時間為f秒時，點A表示的數(shù)

為-l+f,點8表示的數(shù)為7T,分為點8在原點右側(cè)和原點左側(cè)兩種情況討論即可.

(1)

解：當(dāng)匕=4時?，b≥0,將點A向右移動2個單位長度，

此時點尸表示的數(shù)為：-1+2=1,作圖如下：

AP

IIIl.∣.tIIIA

-5-4-3-2-1012345

(2)

解：①點8從數(shù)軸上表示7的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度向左運動f秒，

則點B表示的數(shù)為7-乙

故答案為：7T；

②解：不存在，理由如下：

運動的時間為/秒時，點A表示的數(shù)為-l+f,點B表示的數(shù)為7-f,

分兩種情況：

當(dāng)0<f≤7時，7-r≥0,此時點A關(guān)于點B的“聯(lián)動點”P表示的數(shù)為：-l+f+2=f+l,

由于/>0,故，+l>0,不可能與原點重合；

當(dāng)f>7時，7-t<0,此時點4關(guān)于點8的“聯(lián)動點”P表示的數(shù)為：

—Z+1-17-∕∣=-1+z—(f—7)=—1+Z—/+7=6,

也不能與原點重合，

綜上，不存在這樣的r,使得點A關(guān)于點B的“聯(lián)動點”P與原點重合.

【點睛】本題考查了絕對值的化筒，用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，數(shù)軸上的動點問題以及有理

數(shù)的加減法，注意分類討論.

18.在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A、B、C,其中點A到點8的距離為4,點C到

點8的距離為9,如圖所示，設(shè)點A、B、C所對應(yīng)的數(shù)的和是加.

ABC

--------1--------?-------------------1--------?

(1)若以A為原點，則"?=；若以8為原點，則，"=.

(2)若原點。在圖中數(shù)軸上，且點B到原點。的距離為6,求加的值.

⑶動點例從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向終點C移動，動點N從點B出發(fā)，以

每秒1個單位長度的速度向終點C移動，，秒后M,N兩點間距離是2,則r=

秒(直接寫出答案).

【答案】(1)17；5

(2)加的值為23或-13

(3)6或2

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)，求得點4、8、C所對應(yīng)的數(shù)，再經(jīng)有理數(shù)加法運算，即可

得到答案；

(2)根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)，首先確定點。的位置；再求得點4、8、C所對應(yīng)的數(shù)，再經(jīng)有理數(shù)

加法運算，即可得到答案；

(3)結(jié)合題意，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)，通過