叉樹的知識點總結(jié)CATALOGUE目錄叉樹基本概念與性質(zhì)叉樹遍歷方法與算法叉樹存儲結(jié)構(gòu)及其實現(xiàn)叉樹操作與應(yīng)用舉例平衡因子與平衡狀態(tài)判斷方法總結(jié)回顧與拓展延伸01叉樹基本概念與性質(zhì)子節(jié)點之間沒有順序關(guān)系。叉樹特點叉樹定義：叉樹是一種每個節(jié)點可以有多于兩個子節(jié)點的樹結(jié)構(gòu)。每個節(jié)點可以有任意數(shù)量的子節(jié)點。叉樹可以是空樹，即沒有節(jié)點。叉樹定義及特點0103020405二叉樹是叉樹的一種特殊情況，其中每個節(jié)點最多有兩個子節(jié)點。叉樹比二叉樹更一般化，允許節(jié)點有更多的子節(jié)點。二叉樹的性質(zhì)和算法可以擴展到叉樹，但可能需要額外的考慮和處理。叉樹與二叉樹關(guān)系01節(jié)點度數(shù)節(jié)點的子節(jié)點數(shù)量稱為節(jié)點的度數(shù)。在叉樹中，節(jié)點的度數(shù)沒有限制。02樹的度數(shù)樹中所有節(jié)點的最大度數(shù)稱為樹的度數(shù)。03葉節(jié)點沒有子節(jié)點的節(jié)點稱為葉節(jié)點或終端節(jié)點。04內(nèi)部節(jié)點有子節(jié)點的節(jié)點稱為內(nèi)部節(jié)點或非終端節(jié)點。05路徑長度從一個節(jié)點到另一個節(jié)點所經(jīng)過的邊數(shù)稱為路徑長度。06樹的深度樹中從根節(jié)點到最遠葉節(jié)點的最長路徑長度稱為樹的深度或高度。基本性質(zhì)與定理02叉樹遍歷方法與算法遍歷順序根節(jié)點->左子樹->右子樹遞歸實現(xiàn)先訪問根節(jié)點，然后遞歸遍歷左子樹，最后遞歸遍歷右子樹非遞歸實現(xiàn)利用棧來輔助遍歷，先將根節(jié)點入棧，然后不斷彈出棧頂元素并訪問，再按照先左后右的順序?qū)⑵渥庸?jié)點入棧先序遍歷算法左子樹->根節(jié)點->右子樹遍歷順序先遞歸遍歷左子樹，然后訪問根節(jié)點，最后遞歸遍歷右子樹遞歸實現(xiàn)利用棧來輔助遍歷，先將根節(jié)點入棧，然后不斷彈出棧頂元素并訪問，再按照先右后左的順序?qū)⑵渥庸?jié)點入棧（注意與先序遍歷的區(qū)別）非遞歸實現(xiàn)中序遍歷算法遍歷順序左子樹->右子樹->根節(jié)點遞歸實現(xiàn)先遞歸遍歷左子樹，然后遞歸遍歷右子樹，最后訪問根節(jié)點非遞歸實現(xiàn)利用兩個棧來輔助遍歷，先將根節(jié)點入第一個棧，然后不斷彈出棧頂元素并訪問，再按照先左后右的順序?qū)⑵渥庸?jié)點入第一個棧。同時，將訪問過的節(jié)點入第二個棧。最后從第二個棧中依次彈出元素即為后序遍歷結(jié)果。后序遍歷算法按照樹的層次從上到下、從左到右依次訪問每個節(jié)點利用隊列來輔助遍歷。先將根節(jié)點入隊，然后不斷從隊列中取出隊首元素并訪問，再將其子節(jié)點依次入隊。重復(fù)此過程直到隊列為空。層次遍歷算法實現(xiàn)方法遍歷順序03叉樹存儲結(jié)構(gòu)及其實現(xiàn)

順序存儲結(jié)構(gòu)完全二叉樹的順序存儲將完全二叉樹按照層序遍歷的順序，依次將節(jié)點存儲在數(shù)組中，節(jié)點之間的父子關(guān)系可以通過數(shù)組下標(biāo)計算得到。優(yōu)點空間利用率高，可以通過數(shù)組下標(biāo)直接訪問節(jié)點，方便進行查找和遍歷操作。缺點只適用于完全二叉樹，對于非完全二叉樹會造成空間浪費。每個節(jié)點包含三個字段，分別指向左子節(jié)點、右子節(jié)點和存儲數(shù)據(jù)。通過指針鏈接各個節(jié)點，構(gòu)成二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)。二叉鏈表在二叉鏈表的基礎(chǔ)上增加一個指向父節(jié)點的指針，方便進行從子節(jié)點到父節(jié)點的訪問。三叉鏈表適用于任意類型的二叉樹，靈活性高。方便進行插入、刪除等操作。優(yōu)點相對于順序存儲結(jié)構(gòu)，空間利用率較低。訪問節(jié)點需要通過指針進行，速度相對較慢。缺點鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)空間利用率訪問速度靈活性操作便利性不同存儲結(jié)構(gòu)優(yōu)缺點比較順序存儲結(jié)構(gòu)可以通過數(shù)組下標(biāo)直接訪問節(jié)點，訪問速度快。鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)需要通過指針進行訪問，速度相對較慢。鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)適用于任意類型的二叉樹，靈活性高。順序存儲結(jié)構(gòu)只適用于完全二叉樹，靈活性相對較低。鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)方便進行插入、刪除等操作。順序存儲結(jié)構(gòu)在插入、刪除節(jié)點時可能需要移動大量數(shù)據(jù)，操作相對不便。順序存儲結(jié)構(gòu)空間利用率高，鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)空間利用率相對較低。04叉樹操作與應(yīng)用舉例從根節(jié)點開始，根據(jù)插入元素與當(dāng)前節(jié)點元素的大小關(guān)系，決定向左子樹或右子樹遞歸插入。確定插入位置創(chuàng)建新節(jié)點調(diào)整樹結(jié)構(gòu)在找到合適的位置后，創(chuàng)建一個新的節(jié)點并存儲要插入的元素。根據(jù)需要，對樹進行平衡性調(diào)整，如旋轉(zhuǎn)操作等，以保持樹的平衡狀態(tài)。030201插入操作從根節(jié)點開始，遞歸查找需要刪除的節(jié)點。根據(jù)待刪除節(jié)點的子節(jié)點情況，選擇合適的刪除策略。若待刪除節(jié)點無子節(jié)點，則直接刪除；若有一個子節(jié)點，則用其子節(jié)點替換待刪除節(jié)點；若有兩個子節(jié)點，則通常用中序遍歷的后繼節(jié)點或前驅(qū)節(jié)點替換待刪除節(jié)點，并遞歸刪除該后繼節(jié)點或前驅(qū)節(jié)點。在刪除節(jié)點后，根據(jù)需要對樹進行平衡性調(diào)整。查找待刪除節(jié)點處理子節(jié)點調(diào)整樹結(jié)構(gòu)刪除操作從叉樹的根節(jié)點出發(fā)，根據(jù)查找元素與當(dāng)前節(jié)點元素的大小關(guān)系，決定向左子樹或右子樹遞歸查找。從根節(jié)點開始查找若找到目標(biāo)元素，則返回該元素的節(jié)點信息；若未找到，則返回空或相應(yīng)的提示信息。返回查找結(jié)果查找操作應(yīng)用場景舉例數(shù)據(jù)排序與檢索叉樹（如二叉搜索樹）可用于實現(xiàn)快速的數(shù)據(jù)排序和檢索操作，適用于需要高效查找和排序的場景。編碼與解碼叉樹可用于實現(xiàn)哈夫曼編碼等數(shù)據(jù)壓縮算法，通過構(gòu)建最優(yōu)二叉樹來降低數(shù)據(jù)傳輸和存儲的成本。決策樹在機器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘中，叉樹可用于構(gòu)建決策樹模型，用于分類和回歸等任務(wù)。游戲AI叉樹可用于實現(xiàn)游戲AI中的博弈樹搜索算法，如Minimax算法和Alpha-Beta剪枝等，用于評估游戲狀態(tài)和選擇最優(yōu)策略。05平衡因子與平衡狀態(tài)判斷方法平衡因子定義平衡因子是指二叉樹中任意節(jié)點的左子樹高度減去右子樹高度所得的差值。計算方式對于任意節(jié)點，可以通過遞歸的方式計算其左子樹和右子樹的高度，然后求差得到平衡因子。平衡因子定義及計算方式平衡二叉樹（AVL樹）是一種自平衡的二叉搜索樹，其中任意節(jié)點的兩個子樹的高度差（即平衡因子）的絕對值不超過1。平衡二叉樹定義在二叉樹的每個節(jié)點上定義一個平衡因子，通過計算每個節(jié)點的平衡因子并判斷是否滿足平衡條件來確定整個二叉樹是否處于平衡狀態(tài)。判斷方法判斷平衡狀態(tài)方法當(dāng)二叉樹失去平衡時，可以通過旋轉(zhuǎn)操作來恢復(fù)其平衡狀態(tài)。旋轉(zhuǎn)操作包括左旋、右旋、左右旋和右左旋四種。旋轉(zhuǎn)操作當(dāng)插入或刪除節(jié)點導(dǎo)致二叉樹失去平衡時，需要根據(jù)節(jié)點的高度差和插入或刪除的方向來確定具體的旋轉(zhuǎn)操作。旋轉(zhuǎn)觸發(fā)條件在進行旋轉(zhuǎn)操作后，需要重新計算相關(guān)節(jié)點的高度和平衡因子，并更新相關(guān)路徑上的節(jié)點信息。旋轉(zhuǎn)后調(diào)整調(diào)整平衡狀態(tài)策略06總結(jié)回顧與拓展延伸叉樹的定義與性質(zhì)叉樹是一種非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其中每個節(jié)點可以有多個子節(jié)點。不同于二叉樹，叉樹的子節(jié)點數(shù)目沒有嚴(yán)格限制。深度優(yōu)先遍歷包括先序遍歷（根-左-右）、中序遍歷（左-根-右）和后序遍歷（左-右-根）。廣度優(yōu)先遍歷按層次順序遍歷叉樹。叉樹的存儲結(jié)構(gòu)常用的是孩子表示法和孩子兄弟表示法。孩子表示法通過一個節(jié)點數(shù)組和每個節(jié)點的子節(jié)點鏈表來表示叉樹；孩子兄弟表示法則用兩個指針分別指向節(jié)點的第一個子節(jié)點和下一個兄弟節(jié)點。01020304關(guān)鍵知識點總結(jié)回顧誤區(qū)二在遍歷叉樹時，錯誤地應(yīng)用二叉樹的遍歷算法。叉樹的遍歷需要考慮到每個節(jié)點可能有多個子節(jié)點，因此不能直接套用二叉樹的遍歷算法。誤區(qū)一誤認(rèn)為叉樹就是二叉樹。實際上，二叉樹是叉樹的一種特殊形式，其中每個節(jié)點最多有兩個子節(jié)點。注意事項在設(shè)計和實現(xiàn)叉樹相關(guān)算法時，要特別注意節(jié)點子節(jié)點數(shù)目的變化和處理方式，以及選擇合適的存儲結(jié)構(gòu)來高效地表示和操作叉樹。常見誤區(qū)及注意事項提醒多叉樹與k叉樹多叉樹是指每個節(jié)點可以有多于兩個子節(jié)點的樹結(jié)構(gòu)。當(dāng)每個節(jié)點的子節(jié)點數(shù)目最多為k時，稱為k叉樹。k叉樹的遍歷類似于叉樹，k叉樹也可以進行深度優(yōu)先遍歷和廣度優(yōu)先遍歷。在深度優(yōu)先遍歷中，需要遞歸地訪問每個子節(jié)點；在廣度優(yōu)先遍歷中，則按層次順序訪問每個節(jié)點。k叉樹的應(yīng)用多叉樹和k叉樹在數(shù)據(jù)庫索引、文件系統(tǒng)、