7.2.2復數的乘、除運算學習任務1．把握復數的乘法和除法運算．(數學運算)2．理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的安排律．(規律推理)3．把握在復數范圍內解方程的方法．(數學運算)怎樣規定兩個復數的乘除運算，才能使在復數集中的乘法、除法與原實數集中的有關規定內容？復數的加減運算把i看作一個字母，相當于多項式的合并同類項，那么復數乘法是否可以像多項式乘法那樣進行呢？學問點1復數的乘法1．復數代數形式的乘法法則已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________________________．2．復數乘法的運算律對于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結合律(z1z2)z3＝_____________乘法對加法的安排律z1(z2＋z3)＝_____________學問點2復數的除法法則(a＋bi)÷(c＋di)＝ac+bdc2+d2＋bc-adc2+d2i(a，b(1)復數的乘法與多項式的乘法有何不同？(2)|z|2＝z2，正確嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(1)1i＝________(2)1+i1-(3)1-i1+類型1復數代數形式的乘法運算【例1】(源自湘教版教材)計算：(1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1000．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．兩個復數代數形式乘法的一般方法復數的乘法可以按多項式的乘法法則進行，留意選用恰當的乘法公式進行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i．[跟進訓練]1．(1)若復數(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在其次象限，則實數a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)(2)計算：①(2＋3i)(2－3i)＝________；②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)＝________．類型2復數代數形式的除法運算【例2】(源自北師大版教材)計算：(1)-12i；(2)1+2i[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．依據復數的除法法則，通過分子、分母都乘分母的共軛復數，使“分母實數化”，這個過程與“分母有理化”類似．2．設z1，z2都是復數，則|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2[跟進訓練]2．(1)(2022·全國甲卷)若z＝－1＋3i，則zzz-1A．－1＋3i B．－1－3iC．－13＋33i D．－13(2)(多選)若復數z＝21+i，其中i為虛數單位，則下列結論正確的是(A．z的虛部為－1B．|z|＝2C．z2為純虛數D．z的共軛復數為－1－i類型3在復數范圍內解方程【例3】在復數范圍內解下列方程．(1)x2＋5＝0；(2)x2＋4x＋6＝0．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________在復數范圍內解方程的方法(1)當a，b，c都是實數且a≠0時，關于x的方程ax2＋bx＋c＝0在復數范圍內總是有解的，而且①當Δ＝b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當Δ＝b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根；③當Δ＝b2－4ac＜0時，方程有兩個互為共軛的虛數根．(2)利用復數相等的定義求解設方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡后利用復數相等的定義求解．[跟進訓練]3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實數)的一個根．(1)求b，c的值；(2)試推斷1－i是不是方程的根．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知復數z＝2－i，則z·z的值為()A．5 B．5C．3 D．32．已知i為虛數單位，則i1+i的實部與虛部之積是(A．14 B．－1C．14i D．－13．在復平面內，復數i1+i＋(1＋3i)2對應的點位于(A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，則該方程在復數范圍內解為________．回顧本節學問，自主完成以下問題：1．三個實數|z|，|z|，z·z具有怎樣的關系？2．復數除法的實質是怎樣的？3．實系數一元二次方程的虛根有何特點？利用復數產生分形圖以前我們學過的函數，定義域都是實數集的子集．但函數概念還可以推廣：定義域是復數集的子集的函數稱為復變函數．類似地，我們還可以得到多項式復變函數的概念．例如，f(z)＝z2就是一個多項式復變函數，此時f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．給定多項式復變函數f(z)之后，對任意一個復數z0，通過計算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值z0，z1，z2，…，zn，…．假如存在一個正數M，使得|zn|＜M對任意n∈N都成立，則稱z0為f(z)的收斂點；否則，稱z0為f(z)的發散點．f(z)的全部收斂點組成的集合稱為f(z)的布滿茹利亞集．例如，當f(z)＝z2時，假如z0＝i，則得到的一列值是i，－1，1，1，…，1，…；假如z0＝1＋i，則算出的一列值是1＋i，2i，－4，…，，…．明顯，對于f(z)＝z2來說，i為收斂點，1＋i為發散點．事實上，利用|z2|＝|z|2可以證明，f(z)＝z2的布滿茹利亞集是一個單位圓盤(即由滿足|z|≤1的全部z組成的集合)．讓人驚異的是，當f(z)＝z2＋c時，對于某些復數c來說，f(z)的布滿茹利亞集是格外簡單的．假如利用計算機對不同形態的收斂點和發散點進行不同的著色．而且，假如依據肯定的規章對c進行分類，并進行著色，可以得到如圖所示的芒德布羅分形圖．7.2.2復數的乘、除運算[必備學問·情境導學探新知]學問點11．(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．z1(z2z3)z1z2＋z1z3學問點2思考提示：(1)復數的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必需在所得結果中把i2換成－1，再把實部、虛部分別合并．(2)不正確．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．課前自主體驗(1)－i(2)i(3)－i[關鍵力量·合作探究釋疑難]例1解：(1)(1＋2i)(4－3i)＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)＝4－3i＋8i－6i2＝4－3i＋8i－6×(－1)＝10＋5i．(2)(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．(3)(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．(4)由(2)得，(1＋i)1000＝[(1＋i)2]500＝(2i)500＝2500·i500＝2500·1＝2500．跟進訓練1．(1)B(2)①13②5－25i[(1)z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，由于對應的點在其次象限，所以a+1<0，1-(2)①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．]例2解：(1)-12i＝-(2)1+2i2-3i＝1+2i2+3(3)1+i1-i6＝1+跟進訓練2．(1)C(2)ABC[(1)∵z＝－1＋3i，∴z·z＝|z|2＝(-12+則zzz-1＝-1+(2)z＝21+i＝21對于A，z的虛部為－1，正確；對于B，模長|z|＝2，正確；對于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，故z2為純虛數，正確；對于D，z的共軛復數為1＋i，錯誤．]例3解：(1)由于x2＋5＝0，所以x2＝－5，又由于(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x＝±5i，所以方程x2＋5＝0的根為±5i．(2)法一：由于x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2，由于(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x＋2＝2i或x＋2＝－2i，即x＝－2＋2i或x＝－2－2i，所以方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±2i．法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0無實數根．在復數范圍內，設方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，則(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，所以a又由于b≠0，所以a解得a＝－2，b＝±2．所以x＝－2±2i，即方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝－2±2i．跟進訓練3．解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c為實數，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，∴b+c=0，2+b=0(2)由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，即方程成立．∴1－i是方程的根．[學習效果·課堂評估夯基礎]1．A[z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5．]2．A[由于i1+i＝i1-i所以i1+i的實部與虛部之積是3．B[i1+i＋(1＋3i)2＝12i＋12＋1－3＋23i＝－4．1±2i[Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16<0，所以方程的根為x＝2±