浙江省寧波市2022-2023學年八年級上學期末數學期末試卷

一、單選題

1.下列圖形中，不能表示y是久函數的是（）

2.下列運算正確的是（

a-二±2C.3V2X2V3=6V5D.4Vl+值=2

3.已知久<y,則下列不等式一定成立的是（

A.x-5>y—5B.—2x>—2yC.a2x<a2yD.|>J

4.關于x的一元二次方程%2—4%+1=2k有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍為（）

A.k>|B.k>lC.k<lD./c>-|

5.在同一平面直角坐標系中，一次函數丫=上尢+力（kW0）與丫=bx—k（bW0）的大致圖象可以是

6.如圖是測量一顆玻璃球體積的過程:

（1）將320CTH3的水倒進一個容量為500sH3的杯子中；

（2）將五顆相同的玻璃球放入水中，結果水沒有滿；

（3）再加一顆同樣的玻璃球放入水中，結果水滿溢出.

根據以上過程，推測這樣一顆玻璃球的體積范圍是（）

A.25CTH3以上，30。租3以下B.30czn3以上，33。血3以下

C.30CTH3以上，36cm3以下D.33CTH3以上，36cm3以下

7.如圖，在平面直角坐標系中，已知點8（0,6）,點A在第一象限內，AB=OA,40/3=120。，將4

48。繞點O逆時針旋轉，每次旋轉90。，則第2023次旋轉結束時，點A的坐標為（）

1

A.(-3,V3)B.(-V3,3)C.(V3,-3)D.(3,一百)

8.對于一元二次方程a/+/?%+c=OQH0),滿足a-b+c=0,且有兩個相等的實數根，貝！I()

A.2a—b=0B.b=cC.2a=cD.b+c=0

9.如圖，在△ABC中，AD和BE是高，NABE=45。，點F是AB的中點，AD與FE、BE分別交于點

G、H,NCBE=/BAD.有下列結論：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=V2AE2；

（4）SAABC=4SAADF.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，分別以直角三角形的三邊向外作等邊三角形，然后將較小的兩個等邊A4FG和ABDE放在最大

的等邊△力BC內（如圖），DE與FG交于點、P,連結ZP,FE.欲求AGEC的面積，只需要知道下列哪個三角

形的面積即可（）

A

A

h/l\

i^c

A.XAPGB.AADPC.ADFPD.△PEG

二、填空題

11.使二次根式苧有意義的x的取值范圍是.

12.已知（1,%）,（-2,為）是直線y=—2x+b上的兩個點，則為y2-（填“或“="）

13.如果一元一次不等式組產：3的解集為久>3.則a的取值范圍是

>a---------

14.如圖，在AABC中，ABAC=80°,4。18。于口，4E平分4B4C,NB=60。，則N￡ME=

度.

2

A

15.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,D為AC中點，過點A作AE〃BC,連結BE,

ZEBD=ZCBD,BD=5,貝I」BE的長為.

第in弱

16.如圖，RtABDE^,乙BDE=90°,DB=DE=2,A是DE的中點，連結ZB,以AB為直角邊做等腰

RtAABC,其中N4BC=90。.①AC的長為,②連結CE,貝UCE的長為.

三'解答題

17.計算：(1)―22+m+￡

(2)(―V5)2—(16+J(—2)2.

‘3(%+1)x—1

18.解不等式組里］2%,并把解集表示在數軸上?

3

19.如圖，在△ABC中，AC=AB,AD1BC,過點C作CE||2B,ABCE=70°,連接ED并延長ED交

于點F.

(1)求NC4D的度數;(2)證明：&CDE三△BDF；

20.公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定.某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔4

月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的

月增長率相同.

(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

(2)若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基

礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得

到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？

4

21.如圖，在平面直角坐標系中，直線1的解析式為y=-寺為+6,它與坐標軸分別交于A、B兩點，已

知點B的縱坐標為4.

（1）求出A點的坐標.

（2）在第一象限的角平分線上是否存在點Q使得ZQBA=90。？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說

明理由.

（3）點P為y軸上一點，連結AP,若N4P0=2乙1B。，求點P的坐標.

5

22.如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a,b,c是R3ABC和RtzkBED邊長，易

知AE=V2c,這時我們把關于x的形如a/+V2cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”.

請解決下列問題：

(1)判斷下列方程是否是“勾系一元二次方程

①2/+V5x+1=0(填"是"或"不是")；

②3/+Sy/2x+4=0(填"是"或"不是")

(2)求證：關于x的“勾系一元二次方程"a"+y[2cx+b=0必有實數根;

(3)若％=—1是“勾系一元二次方程%%2+72cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE的周長是12,求

△ABC面積.

6

A

（1）【問題情境】如圖1,在△力BC中，力B=ac,點P為邊BC上的任一點，過點P作PCAB,PE1

AC,垂足分別為D、E,過點。作。尸148,垂足為F.求證：PD+PE=CF.

（2）【結論運用】如圖2,將矩形ABC。沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C,處，點P為折痕EF

上的任一點，過點P作PG_LBE、PH1BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值；

（3）【遷移拓展】如圖3,在四邊形ZBCD中，AA=AABC,E為ZB邊上的一點，EDLAD,EC1CB,垂

足分別為D、C,AB=8,AD=3,BD=7,M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN,求△DEM與

△CEN的周長之和.

7

24.如圖，在邊長為6的正方形ABC。中，過4)中點E作正△瓦4F,過點F的直線分別交邊AB、DC于點

G、H、已知點M、N分別是線段FH、的動點，且AEMN是等邊三角形.

(1)判斷EF與GH的位置關系，并說明理由.

(2)當點N在線段GB上時

①求證：AG=FG

②試判斷MH+GN的結果是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個值.

(3)設2NE4=a,點A關于EN的對稱點為/,若點/落在△EMN的內部，請直接寫出a的范圍.

8

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】A、對于自變量％的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，所以能表示y是％的函

數，不符合題意；

B、對于自變量％的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，所以能表示y是％的函數，不符合題

忌；

C、對于自變量％的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，所以能表示y是尤的函數，不符合題

忌；

D、對于自變量K的每一個確定的值，y都有兩個值與之對應，不能表示y是％的函數，符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據函數的定義及函數圖象求解即可。

2.【答案】D

【解析】【解答］解：A、］(_2)2=2,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

B、&=浮,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

C、3V2X2A/3=6A/6>原計算錯誤，故此選項不符合題意；

D、4V3V12=2,原計算正確，故此選項符合題意；

故答案為：D.

【分析】A、根據算術平方根的意義可得正可=2;

B、根據算術平方根的意義可得R=等；

C、根據二次根式的性質“迎m=我(a'0,b之0)”可得原式=6e；

D、根據二次根式的性質“仿b>0)”可得原式=2.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、?.”<、，根據不等式兩邊同時減去一個數，不等號方向不變可知：%-5<y-

5,故答案為：不成立，不符合題意；

B、?.*<、，根據不等式兩邊同時乘以一個負數，不等號方向改變可知：-2%>-2y,故答案為：成

立，符合題意；

C>Vx<y,當awo時，根據不等式兩邊同時乘以一個正數，不等號方向不變可知：a2x<a2y,故答案

為：不成立，不符合題意；

D、?.比<、，根據不等式兩邊同時除以一個正數，不等號方向不變可知：故答案為：不成立，不

9

符合題意；

故答案為：B.

【分析】不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變；

不等式兩邊同時乘(或除以)同一個大于。的整式，不等號方向不變；

不等式兩邊同時乘(或除以)同一個小于。的整式，不等號方向改變，據此判斷即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：原方程整理得：/—4久+1—2k=0,

?.?一元二次方程/—4久+1=2k有兩個不相等的實數根，

>0,

即(—4)2—4(1—2k)〉0>

解得：k>—

故答案為：D.

【分析】首先將方程化為一般形式，然后結合△>0就可求出k的范圍.

5.【答案】C

【解析】【解答］解:當k>0,b>0時，一次函數y=kx+匕經過第一、二、三象限，一次函數y=bx-

k經過第一、三、四象限；

當k>0,b<0時，一次函數y=kx+b經過第一、三、四象限，一次函數曠=bx-k經過第二、三、四象

限；

當k<0,b>0時，一次函數y=k%+b經過第一、二、四象限，一次函數y=b%一k經過第一、二、三象

限；

當k<0,b<0時，一次函數y=kx+b經過第二、三、四象限，一次函數〉=bx-k經過第一、二、四象

限；

???四個選項只有C符合題意.

故答案為：C.

【分析】y=ax+b(a/)),當a>0,b>0時，圖象過一、二、三象；當a>0,b<0時，圖象過一、三、四象

限；當a<0,b>0時，圖象過一、二、四象限；當a<0,b<0時，圖象過二、三、四象限.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：根據題意，設一顆玻璃球的體積為久cm3,

(5%<500-320

則有：，

(6%>500-320

10

解得：30vx<36,

,一顆玻璃球的體積在30cm3以上，36cm3以下，

故答案為：C.

【分析】設一顆玻璃球的體積為xcnP,由題意可得5x<500-320、6x>500-320,聯立求出x的范圍，據此判

斷.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由題可知，將繞點O逆時針旋轉，每次旋轉90。，

二每旋轉4次則回到原位置，

???20234-4=505???3,

，第2023次旋轉結束后，圖形順時針旋轉了90。

如圖所示，旋轉后的圖形為△O&Bi，作J?久軸于H,

'：AB=OA,^OAB=120°,B(0,6)

1

OH=5OB=3,

■-?=乙AOB=30°,

設力i4=x,貝iJOAi=2x,

在RtA04H中

???(2久)2=%2+32,

x-V3(負值舍去)

?.?點心在第四象限，

41(3,—V3),

故答案為：D.

11

【分析】由題意可得每旋轉4次回到原位置，則第2023次旋轉結束后，圖形順時針旋轉了90。，旋轉后

的圖形為△OAiBi,作AiHLx軸于H,易得OH的值，設AiH=x,則OAi=2x,然后在RsOAiH中，利

用勾股定理求出x的值，進而可得點Ai的坐標.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：???a-b+c=O,

.,.b=a+c,

???方程有兩個相等的實數根，

?*-A=/}2—4ac=(a+c)2—4ac=a2-2ac+c2=(a—c)2=0,

.*.a=c,

.*.b=2a=2c,

.\2a—b=0,

故答案為：B、C、D錯誤，選項A正確，

故答案為：A.

【分析】根據a-b+c=O可得b=a+c,則A=(a-c)2=0,進而推出b=2a=2c,據此判斷.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：???在△ABC中，AD和BE是高，

JZADB=ZAEB=ZCEB=90°,

??,點F是AB的中點，

：.FD=1AB,

???NABE=45。，

.??△ABE是等腰直角三角形，

AAE=BE,

??,點F是AB的中點，

AFE=|AB,

???FD=FE,①正確；

VZCBE=ZBAD,NCBE+NC=90。，ZBAD+ZABC=90°,

AZABC=ZC,

AAB=AC,

VAD±BC,

ABC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

(A.AEH=乙CEB

在AAEH和aBEC中，AE=BE,

ZEAH=乙CBE

12

/.△AEH^ABEC(ASA),

/.AH=BC=2CD,②正確；

VZBAD=ZCBE,/ADB=NCEB,

/.△ABD~4BCE,

.嗡=的,即BC?AD=AB?BE,

W2AE2=AB?AE=AB?BE,BOAD=AOBE=AB?BE,

/.BC-AD=V2AE2；③正確；

：F是AB的中點，BD=CD,

SAABC=2SAABD=4SAADF.④正確；

故選：D.

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性

質、等腰三角形的判定與性質；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的

關鍵.由直角三角形斜邊上的中線性質得出FD=AB,證明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE,

證出FE=；AB,延長FD=FE,①正確；證出NABC=NC,得出AB=AC,由等腰三角形的性質得出

BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,由ASA證明△AEH04BEC,得出AH=BC=2CD,②正確；證明

AABD-ABCE,得出船=第，即BC?AD=AB?BE,再由等腰直角三角形的性質和三角形的面積得出

2

BC-AD=V2AE；③正確；由F是AB的中點，BD=CD,得出SAABC=2SAABD=4SAADF.④正確；即可得

出結論.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意得SMBC=SMFG+SABDE，FGIIBC,CG||PE,

二四邊形CEPG是平行四邊形，

??SMEG=四邊形ECGP'

*：S^ABC=S&AFG+S四邊形BFPE+S四邊形ECGP,

S四邊形ECGP=S^DFP,

?1

,?S.EG=2s△D”，

故答案為：c.

【分析】由題意得SAABC=S“FG+SABDE,FG^BC,CG〃PE,推出四邊形CEPG是平行四邊形，貝!J

SACEG-^S四邊形ECGP,結合面積間的和差關系可得S四邊形ECGP=SADFP，據此解答.

11.【答案】%>-3

13

【解析】【解答】解：?.?二次根式苧有意義

x+3>0,

解得：x>—3,

故答案為：%>-3.

【分析】二次根式有意義的條件：被開方數為非負數，則x+320,求解即可.

12.【答案】<

【解析】【解答】解：=—2久+從k=-2<0,

??.y隨x的增大而減小，

（1月），（—2,丫2）是直線y=~2x+b上的兩個點,—2<1,

<當，

故答案為：<.

【分析】根據一次函數的性質可得：y隨x的增大而減小，據此進行比較.

13.【答案】a<3

【解析】【解答】解：二?一元一次不等式組｛:::的解集為x>3,

/.a<3.

故答案為：a<3.

【分析】由不等式組產:3的解集為％〉3,根據“同大取大”即可求解.

1%>a

14.【答案】10

【解析】【解答】解：???AD1BC,

^BDA=90°,

???乙B=60°,

/.BAD=90°一乙B=90°-60°=30°,

???ABAC=80°,4E平分NB2C,

???/.BAE=40°,

ADAE=乙BAE-ABAD=40°-30°=10°.

故答案為：10.

【分析】根據垂直的概念可得NBDA=90。，則/BAD=9（T-NB=3（）。，由角平分線的概念可得

ZBAE=ZCAE=40°,然后根據NDAE=NBAE-NBAD進行計算.

15.【答案】與

【解析】【解答】解：如圖，連接ED并延長交BC于點F,過點D分別作DPLBE,垂足為P；作

14

DQ±BC,垂足為Q,

在RtZkABC中，YD是斜邊AC的中點,

AAD=CD=BD=5,AC=2BD=10,

:?BC=y/AC2-AB2=V100-36=8,

VAE//BC,

AZEAD=ZFCD,ZAED=ZCFD,

又??，AD二CD,

.*.△ADE^ACDF,

ADE=DF,AE=CF,

又丁ZEBD=ZCBD,DP±BE,DQ±BC,

ADP=DQ,

又??，BD=BD,DE=DF,

ARtABDP^RtABDQ(HL),RtAPDE^RtAQDF(HL),

ABP=BQ,PE二QF,

ABF-BE,

???BE+AE=BF+CF=BC=8,

設BE=x,貝！］AE=8-x,

在RtAABE中，

由勾股定理得AE2+AB2=BE2,

得(8-x)2+62=x2,

解得X=學,

即BE=穿.

15

故答案為：學

【分析】連接ED并延長交BC于點F,由AE//BC及點D是AC的中點，可證明△ADE會ZkCDF,得

AE=CF,DE=DF,結合NEBD=NCBD,可猜想BF=BE,則BE+AE=BC=8,在RtAABE中，由勾股定理

構造關于BE的方程解答即可.

16.【答案】V5；V17

【解析】【解答】解：如圖所示，

過點E分別作ZB,BC的垂線，垂足分別為G,F,

?；DB=DE=2,4是DE的中點，ABDE=90°,

:.BE=V2DE=2V2,力。=EA=1,

在Rt△4DB中，AB=VXD2+BD2=V12+22=逐,

'：AB=BC,

：.BC=倔

11

?=々4ExBD=xA.B>

,廠廠AExBD1x22后

,.=^-=詞=丁

,:EG1AB,EF1BC,^ABC=90°,

：.EF||AB,

EG—FB=

在Rt△EFB中，EF=VEB2-FB2=J（2/尸一（等尸=誓，

在Ht△EFC中，EC=y/EF2+FC2=J（誓）2+（蜉+俑2=舊，

故答案為：V5;V17.

【分析】過點E分別作AB、BC的垂線，垂足分別為G、F,根據等腰直角三角形的性質可得

AD=EA=1,利用勾股定理可得BE、AB,根據等面積法可得EG,易得EG=FB,然后在RtAEFB、

RtAEFC中，根據勾股定理進行計算.

16

17.【答案】⑴解：-22+V12+

=_4+2遍+字

一7四

—4H—?

（2）解：（—圾2―痹+J（_2）2

=5-4+2

=3.

【解析】【分析】（1）先計算乘方及將二次根式化簡，再合并同類二次根式即可；

（2）先根據二次根式的性質將各個二次根式化簡，再進行有理數的加減法運算得出答案.

18.【答案】解竽＞2%②

由①得%＞-2

由②得%＜3

把不等式組的解集表示在數軸上，如圖，

二原不等式組的解為一2＜久＜3

【解析】【分析】分別求出不等式組中各不等式的解集，根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找”即可

求出原不等式組的解集，并在數軸上表示出解集。

19.【答案】（1）解：???CE||AB,

乙B=乙BCE=70°,

???AC=AB,

AACD=NB=70°,

vAD1BC,

???/.ADC=90°,

???乙CAD=90°-70°=20°

（2）證明：?.?ZC=4B,AD1BC,

??.CD—BD,

???CE||AB,

:.Z.ECD=Z-B,

在△CDE*和△BDF中，

17

'乙ECD=Z.B

CD=BD,

"DE=乙BDF

CDE=ABDFiASA).

【解析】【分析】(1)根據二直線平行，內錯角相等得NB=NBCE=70。，根據等邊對等角得

NACD=NB=70。，最后根據直角三角形兩銳角互余即可算出NCAD的度數；

(2)根據等腰三角形的三線合一得CD=BD,從而利用ASA判斷出△CDE0ABDF.

20.【答案】(1)解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x,依題意得：

150(1+%)2=216,

解得尤1=0.2=20%,%2=-2.2(不合題意，舍去).

答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；

(2)解：設該品牌頭盔的實際售價為y元/個，依題意得：

(y-3)[600一(y—40)X10]=10000,

整理得y2-130y+4000=0,

解得yi=80(不合題意，舍去)，y2=50,

答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元/個.

【解析】【分析】(1)此題是一道平均增長率的問題，根據公式a(l+x)n=p,其中a是平均增長開始的量，

x是增長率，n是增長次數，P是增長結束達到的量，根據公式列出方程，進而利用直接開平方法求解并檢

驗即可得出答案；

(2)設該品牌頭盔的實際售價為y元/個，則每個頭盔的利潤為(y-30)元每個，每月的銷售數量為

[600-10(y-40)]^,根據單個頭盔的利潤x每月的銷售數量=當月的總利潤建立方程，求解并檢驗即可.

21.【答案】(1)解：?.?點B的縱坐標為4,且點B在y軸上，

將點B(0,4)代入直線1的解析式得：b=4,

...直線1的解析式為：y=—+4

令y=0得：x=3,

.,?71(3,0).

(2)解：存在.

??.Q在第一象限的角平分線上，

設Q(x,%)且x>0,

根據勾股定理：

QB2+BA2=QA2,

x2+(x-4)2+52=%2+(%—3猿,

18

解得久=16,

故Q(16,16).

(3)解：當點P在正半軸時，如圖所示,

：.^PAB=乙PBA,

：.PA=PB,

設P(0,y),又4(3,0),B(0,4)

(4—y)2=y2+32

解得：y=(

???P(0,57

根據對稱性可得另一個p點的坐標為p(。，-3,

綜上所述,P(0,6或P(0,-2

4

y-%

【解析】【分析】(1)易得點B的坐標為(0,4),進而將點B的坐標代入直線--3

值，從而可得拋物線的解析式，最后令解析式中的y=0算出對應的x的值，即可得出點A的坐標；

(2)根據第一象限角平分線上點的橫坐標與縱坐標相同可設點Q坐標為(x,x)且x>0,根據兩點間的

距離公式及勾股定理建立方程，求出x的值，即可求出點Q的坐標；

(3)分類討論：①當點P在正半軸時，根據三角形外角性質并結合已知可得NPAB=NPBA,根據等角

對等邊得PA=PB,設P(0,y),根據兩點間的距離公式建立方程求出y的值，即可求出點P的坐標；②

當點P在負半軸上時，根據對稱性即可直接得出點P的坐標.

22.【答案】(1)不是；是

(2)證明：,「a/+魚=+b=0是“勾系一元二次方程”，

19

???以a、b、c為三邊長的三角形是直角三角形，且c為斜邊的長，

c2=a2+b2

,**4=(V2c)2—4ab

=2c2—4ab

-2(a2+b2)—4ab

—2(a—b)2>0；

???關于x的“勾系一元二次方程"a，+y[2cx+b=0必有實數根；

(3)解：:%=-1是“勾系一元二次方程"a%2+y[2cx+b=0的一個根，

?'?a—V2c+b=0,

即Q+b=V2c,

???四邊形4CDE的周長是12,

?**2(a+b)+V2c=12,

?*-2A/2C+V2c=12,

c—2A/2?

***a+b=V2x2V2=4,

??(a+b)?=16,

?,a2+2ab+Z?2=16,

?-'a2+b2=c2=(2V2)2=8，

2ab+8=16,

??cib=4,

.1

-S〉ABC=2ab=2,

???△ABC的面積為2.

【解析】【解答]解：(1)02X2+V5%+1=0不是“勾系一元二次方程”,

,**V2c=V5,

解得C=孚，

,**a=2,b=1,

a2+h2c2，

以a、b、c為三邊長的三角形是不是直角三角形，

2x2+V5x+1=0不是"勾系一元二次方程”

故答案為：不是；

②3/+5V2%+4=0是“勾系一元二次方程”，

20

V2c=5V2

a—3,b=4,

a2+b2=c2>

...以a、b、c為三邊長的三角形是直角三角形，且c為斜邊的長，

二3/+5V2%+4=0是“勾系一元二次方程”，

故答案為：是；

【分析】（1）根據“勾系一元二次方程”的定義，找出a、b、c的值，進而根據勾股定理的逆定理判斷以

a、b、c為三邊長的三角形是否是直角三角形，即可判斷得出答案；

（2）根據“勾系一元二次方程”的定義知以a、b、c為三邊長的三角形是直角三角形，且c為斜邊的

長，故可得c2=a2+b2,再算出該方程根的判別式的值，利用整體替換及偶數次幕的非負性可得判別式的值

一定不為負數，從而即可得出結論；

（3）根據方程根的概念可得a+b=&c,再結合四邊形ACDE的周長是12可求出c的值，從而可得

a+b的值，進而結合完全平方公式的恒等變形及勾股定理可求出ab=4,最后利用三角形面積計算方法即可

求出答案.

23.【答案】證明：連接4P,---PDJ.AB,PEJ.AC,CF_LAB,且S44BC=^AABP+

111一

S』/CP，PE；4B=AC,【結論運用】如圖2,將矩形

2BCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點c'處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG_L

BE、PH1BC,垂足分別為G、H,若4。=8,CF=3,求PG+PH的值；【答案】解：過點E作EQ1

BC,垂足為Q,如圖??泗邊形4BCQ是矩形，???4。=BC,"=Z4DC=

90°.vAD=8,CF=3,=BC-CF=4。-CF=5.由折疊可得：DF=BF,乙BEF=ADEF.；.DF=

5.vAC=90°,DC=y/DF2-CF2=V52-32=4.vEQ1BC,Zf=^ADC=90°,:.4EQC=90°=

ZC=乙40c..?.四邊形EQC。是矩形EQ=DC=4.vAD||BC,：.乙DEF=Z.EFB.-：乙BEF=ADEF,:.

21

乙BEF=乙EFB.：.BE=BF.由問題情境中的結論可得:PG+PH=EQ.：.PG+PH=4".PG+PH的值為4.

【遷移拓展】如圖3,在四邊形中，乙4=N4BC,E為邊上的一點，EDLAD,EC1CB,垂足分

別為D、C,AB=8,AD=3,BD=7,M、N分別為力E、BE的中點，連接DM、CN,求△。5時與4

CEN的周長之和.【答案】解：延長4。、BC交于點F,作BH14F,垂足為H,如圖⑤.

乙4=AABC：.FA=FB.由問題情境中的結論可得：ED+EC=BH.設

F圖⑤

DH=X,則=AD+DH=x+3.vBH1AF,：.乙BHA=90°..-.BH2=BD2-DH2=AB2-AH2.'：

222

AB=8,AD=3,BD=7,72_%2=82_13+x)?.解得：%=I..'.BH=BD-DH=49—1=

48..-.BH=4V3--.ED+EC=^ADE=乙BCE=90°,且M、N分別為AE、BE的中點，；.DM=

EM=^AE,CN=EN=DEM與ACEN的周長之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+

AE+BE+EC=DE+AB+EC=DE+EC+AB=8+4V3.

(1)證明：連接ZP,

圖1

vPD1AB,PE1AC,CFVAB,

且S4ABe=S/ABP+S/ACP，

111

???^AB?CF=^AB-PD+^AC?PE.

-AB=AC,

??.CF=PD+PE.

(2)解：過點E作EQ_LBC,垂足為Q,如圖

22

cr

???四邊形4BCD是矩形，

??.AD=BC,ZC=^LADC=90°.

-AD=8,CF=3,

：.BF=BC-CF=AD-CF=5.

由折疊可得：DF=BF,(BEF=幺DEF.

??.DF=5.

???ZC=90°,

??.DC=yjDF2-CF2=V52-32=4.

???EQ1BC,ZC=^ADC=90°,

???乙EQC=90°=ZC=^LADC.

???四邊形EQCD是矩形.

??.EQ=DC=4.

-AD||BC,

???乙DEF=Z.EFB.

,:Z.BEF=Z-DEF,

???Z.BEF=Z.EFB.

??.BE=BF.

由問題情境中的結論可得：PG+PH=EQ.

：.PG+PH=4.

.-.PG+PH的值為4.

(3)解：延長4。、BC交于點F,作垂足為H,如圖⑤.

23

???乙4=Z-ABC

???FA=FB.

由問題情境中的結論可得：ED+EC=BH.

設則AH=2￡>+DH=x+3.

BH1AF,

：.4BHA=90°.

BH2=BD2-DH2=AB2-AH2.

vAB—8,AD—3,BD—7,

72_%2=82_<3+X)2.

解得：X=1.

：.BH2=BD2-DH2=49-1=48.

BH=4V3.

ED+EC=4V3.

v/.ADE=Z.BCE=90°,且M、N分別為ZE、BE的中點,

11

DM=EM=^AE,CN=EN=^BE.

???△DEM與4CEN的周長之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC

DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

DE+EC+AB

=8+4V3.

【解析】【分析】（1）【問題情境】連接AP,利用SAABC=SAABP+SAACP可證得CF=PD+PE；

（2）【結論運用】過點E作EQLBC,垂足為Q,易求BF=5,由折疊得DF=BF=5,ZBEF=ZDEF,從而

用勾股定理算出CD=4,易得四邊形EQCD是矩形，可得EQ=CD=4,從而證明BE=BF后，直接利用

【問題情境】中的結論可得出PG+HP=EQ,即可得出結論；

（3）【遷移拓展】延長AD、BC交于點F,作BHLAF,垂