專題04巧用中點解決幾何問題一、【知識回顧】方法與技巧：中點問題常見輔助線做法①遇到三角形邊上的中點，考慮構造三角形的中位線②遇到直角三角形斜邊的中點，考慮直角三角形斜邊的中線性質③遇到等腰三角形底邊的中點，考慮等腰三角形“三線合一”的性質④遇到中點+垂線，角平分線+垂線，考慮垂直平分線的性質⑤遇到面積類型題，考慮三角形中線平分面積⑥遇到線段數量關系，考慮倍長中線構造全等三角形二、【考點類型】考點1：構造三角形的中位線典例1：（2022秋·四川眉山·九年級校考期中）如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點E是SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的長為（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A【分析】延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，利用“角邊角”證明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0全等，根據全等三角形對應邊相等可得SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0并判斷出SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，然后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得SKIPIF1<0．【詳解】解：如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又∵點E為SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0．故選：A【點睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，全等三角形的判定與性質，熟記性質并作出輔助線構造成全等三角形是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·山東濟寧·九年級濟寧市第十五中學統考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點E，點F是SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】分別延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點M，構造等腰SKIPIF1<0，利用等腰三角形的“三線合一”的性質和三角形中位線定理求解即可．【詳解】解：延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點M，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點F是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中位線，∴SKIPIF1<0．故選：A．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．【變式2】（2022春·全國·八年級假期作業）已知：如圖，在SKIPIF1<0中，中線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點．求證：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相平分．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）利用三角形中位線定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；（2）由（1）的條件可以得出四邊形DEFG為平行四邊形，根據平行四邊形的性質可以得出對角線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相平分．【詳解】（1）在△ABC中，∵BE、CD為中線∴AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=SKIPIF1<0BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=SKIPIF1<0BC．∴DE∥FG（2）由（1）知：DE∥FG，DE=FG．∴四邊形DFGE為平行四邊形．∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相平分【點睛】此題主要考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質，正確利用三角形中位線定理是解題關鍵．【變式3】（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF＝SKIPIF1<0BC．連結CD、EF，那么CD與EF相等嗎？請證明你的結論．【答案】CD=EF，理由見解析．【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC且DESKIPIF1<0BC，然后證得四邊形DEFC是平行四邊形，再根據平行四邊形的對邊相等即可說明．【詳解】解：結論：CD=EF．理由如下：∵D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE∥BC，DESKIPIF1<0BC．∵CFSKIPIF1<0BC，∴DE=CF，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴CD=EF．【點睛】本題主要考查了三角形的中位線和平行四邊形的判定與性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半成為解答本題的關鍵．考點2：直角三角形斜邊的鵝中線典例2：（2022秋·福建福州·八年級統考期中）如圖，在一塊含SKIPIF1<0角的三角板（SKIPIF1<0）的頂點SKIPIF1<0處作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0的右側作SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延長線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列式子成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據等腰三角形的性質可得出SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0,又根據SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,最后根據外角的性質即可得出答案．【詳解】∵SKIPIF1<0為等腰三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選D.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，通過三角形外角的性質證得SKIPIF1<0是解決問題的關鍵．【變式1】（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級校考期中）如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內部的一個動點，且滿足SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0長的最小值為（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】如圖，取SKIPIF1<0的中點O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據直角三角形斜邊中線的性質求出SKIPIF1<0，根據勾股定理求出SKIPIF1<0，根據兩點之間線段最短得到SKIPIF1<0即可解決問題．【詳解】解：如圖，取SKIPIF1<0的中點O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴PC的最小值為1，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式2】（2022秋·廣西貴港·九年級統考期中）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由圖中的尺規作圖痕跡得到的射線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點E，點F為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長為（

）A．SKIPIF1<0+1 B．SKIPIF1<0+2 C．2SKIPIF1<0+2 D．2SKIPIF1<0+3【答案】C【分析】根據作圖可知SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，由三線合一求出SKIPIF1<0長，根據勾股定理求出SKIPIF1<0長，再根據直角三角形斜邊中線的性質求出SKIPIF1<0長，即可解答．【詳解】解：由作圖可知，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點F為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的周長為：SKIPIF1<0．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的概念，等腰三角形性質，勾股定理，直角三角形性質，求出SKIPIF1<0邊是解題的關鍵．【變式3】（2021·廣東廣州·統考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，點E是AC的中點，且SKIPIF1<0（1）尺規作圖：作SKIPIF1<0的平分線AF，交CD于點F，連結EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為等邊三角形．【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據基本作圖—角平分線作法，作出SKIPIF1<0的平分線AF即可解答；（2）根據直角三角形斜邊中線性質得到SKIPIF1<0并求出SKIPIF1<0，再根據等腰三角形三線合一性質得出SKIPIF1<0，從而得到EF為中位線，進而可證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而由有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分SKIPIF1<0，（2）∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵AF平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0為等邊三角形．【點睛】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質以及與三角形中點有關的兩個定理，解題關鍵是掌握等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中位線定理．考點3：等腰三角形三線合一性質典例3：（2023秋·江西南昌·八年級統考期末）如圖所示，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點E，SKIPIF1<0于點D，交SKIPIF1<0于F．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數；(2)若點F是SKIPIF1<0的中點，求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析【分析】（1）求得SKIPIF1<0的度數后利用四邊形的內角和定理求得結論即可；（2）連接SKIPIF1<0，根據等腰三角形“三線合一”的性質得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又易證SKIPIF1<0，即得出SKIPIF1<0．【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如圖，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且點F是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查四邊形的內角和、三角形的內角和及等腰三角形的性質，解題的關鍵是準確作出輔助線，合理轉化角與角之間的關系．【變式1】（2020·內蒙古赤峰·統考中考真題）如圖，SKIPIF1<0中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，EF是AC的垂直平分線，交AD于點O.若OA=3，則SKIPIF1<0外接圓的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先根據等腰三角形的三線合一可得AD是BC的垂直平分線，從而可得點O即為SKIPIF1<0外接圓的圓心，再利用圓的面積公式即可得．【詳解】SKIPIF1<0，AD是SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0，且AD是BC邊上的中線（等腰三角形的三線合一）SKIPIF1<0是BC的垂直平分線SKIPIF1<0是AC的垂直平分線SKIPIF1<0點O為SKIPIF1<0外接圓的圓心，OA為外接圓的半徑SKIPIF1<0SKIPIF1<0外接圓的面積為SKIPIF1<0故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形外接圓，正確找出三角形外接圓的圓心是解題關鍵．【變式2】（2022秋·浙江杭州·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E點，DF⊥AC于點F，則下列四個結論：①AD上任意一點到AB，AC兩邊的距離相等；②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正確的有（）A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據等腰三角形三線合一的性質，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，利用“HL”證明SKIPIF1<0可得對應角SKIPIF1<0,全等三角形對應邊相等可得SKIPIF1<0,然后求出SKIPIF1<0可得出答案．【詳解】∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0上任意一點到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距離相等（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），故①正確．∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等），故②正確．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0（HL），∴SKIPIF1<0故③正確，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故④正確，故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，熟記各性質是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·吉林長春·八年級校考階段練習）如圖所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，SKIPIF1<0的面積為12，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0周長的最小值是_______________．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，∴當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴AD=6，∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三線合一定理，解題的關鍵在于能夠根據題意得到當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD．考點4：垂直平分線性質典例4：（2022·新疆烏魯木齊·校考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，對角線AC與BD相交于點O，DE⊥AC，垂足為E，AE＝3CE，則DE的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．2cm C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由矩形的性質得出OA＝OD＝OC，再根據線段垂直平分線的性質得出OD＝CD，最后根據勾股定理計算，即可得到答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝SKIPIF1<0AC，OD＝SKIPIF1<0BD，AC＝BD，CD＝AB＝4cm，∴OA＝OD＝OC，∵DE⊥AC，AE＝3CE，SKIPIF1<0∴OE＝CESKIPIF1<0，∠DEA＝90°，∴OD＝CD＝4cm，∴OC＝OD＝CD＝4cm，∴OE＝CESKIPIF1<0＝2cm∴SKIPIF1<0故選：D．【點睛】本題考查了矩形、垂直平分線、勾股定理的知識；解題的關鍵是熟練掌握矩形、垂直平分線的性質，從而完成求解．【變式1】（2021·四川內江·統考中考真題）如圖，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0、交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長為__．【答案】SKIPIF1<0##7.5【分析】根據矩形的性質和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據相似三角形的性質得到比例式，求出EF即可．【詳解】解：如圖：SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查的是矩形的性質、線段垂直平分線的性質以及勾股定理的應用，掌握矩形的四個角是直角、對邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關鍵．【變式2】（2020·江西·統考中考真題）如圖，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延長線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】如圖，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0利用等腰三角形的三線合一證明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分線，從而得到SKIPIF1<0再次利用等腰三角形的性質得到：SKIPIF1<0從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．【變式3】（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0的垂直平分線與邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）求證：四邊形SKIPIF1<0是菱形；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求菱形SKIPIF1<0的周長．【答案】（1）見解析；（2）52【分析】（1）先證明SKIPIF1<0，得到四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，再根據菱形定義證明即可；（2）先根據菱形性質求出OB、OM、再根據勾股定理求出BM，問題的得解．【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是對角線SKIPIF1<0的垂直平分線，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形．又∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為菱形．（2）∵四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．∴菱形SKIPIF1<0的周長SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了菱形判定與性質定理，熟知菱形判定方法和性質定理是解題關鍵．考點5：中線平分面積典例5：（2022秋·安徽滁州·八年級校考階段練習）如圖，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，又知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0等底同高，可以證明兩三角形面積相等，即可證明三角形SKIPIF1<0的面積．【詳解】解：延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0等底同高，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形中線的性質．證明出三角形PBC的面積和原三角形的面積之間的數量關系是解題的關鍵．【變式1】（2021秋·內蒙古鄂爾多斯·八年級統考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點P，已知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則陰影部分的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據角平分線的定義得到SKIPIF1<0，由垂直的定義得到SKIPIF1<0，根據全等三角形的性質得到SKIPIF1<0，進而求得答案．【詳解】解：如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0陰影部分的面積SKIPIF1<0．故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，利用三角形的中線求面積，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【變式2】（2021秋·福建福州·八年級福建省福州延安中學校考期中）如圖，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E為AC的中點，則圖中兩個陰影部分面積之差的最大值為（

）A．1.5 B．3 C．4.5 D．6【答案】C【分析】首先證明兩個陰影部分面積之差＝S△ADC，當CD⊥AC時，△ACD的面積最大．【詳解】解：延長BD交AC于點H．設AD交BE于點O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝SKIPIF1<0S△ABH，S△CDH＝SKIPIF1<0S△ABH，∵S△OBD?S△AOE＝S△ADB?S△ABE＝S△ADH?S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴當DC⊥AC時，△ACD的面積最大，最大面積為SKIPIF1<0×3×3＝4.5．故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，三角形中線的性質等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．【變式3】（2023春·江蘇·八年級階段練習）如圖，在平行四動形紙板SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將一飛鏢隨機投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為________．【答案】SKIPIF1<0##0.375【分析】先求出S△BED=SKIPIF1<0S△ABD，S△BFD=SKIPIF1<0S△CBD，S△BOF=SKIPIF1<0S△BFD=SKIPIF1<0S△CBD，再根據S△ABD=S△CBD=SKIPIF1<0，即可得答案．【詳解】解：∵E為AB的中點，∴S△BED=SKIPIF1<0S△ABD，∵F為CD的中點，∴S△BFD=SKIPIF1<0S△CBD，∵O為BD的中點，∴S△BOF=SKIPIF1<0S△BFD=SKIPIF1<0S△CBD，∵S△ABD=S△CBD=SKIPIF1<0，∴S陰影=S△BED+S△BOF

=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴飛鏢落在陰影部分的概率為：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了三角形中線的性質，概率的求法，解題的關鍵是三角形中線的性質的靈活運用．考點6：倍長中線，構全等典例6：（2022秋·甘肅定西·八年級統考期中）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】延長AD至點E，使得DE＝AD，可證△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根據三角形三邊關系即可求得AE的取值范圍，從而得到SKIPIF1<0的取值范圍．【詳解】如圖，延長AD至點E，使得DE＝AD，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的中線，∴SKIPIF1<0，在△ABD和△CDE中，SKIPIF1<0，∴△ABDSKIPIF1<0△CDE（SAS），∴AB＝CE=5，AD＝DE，∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故選：C．【點睛】本題主要考查倍長中線法解題，能夠做出輔助線證出三角形全等再結合三角形三邊關系是解題關鍵．【變式1】（2021秋·河南信陽·八年級校考期中）如圖，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，則下列結論：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正確結論的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】在AE取點F，使EF=BE．利用已知條件AB=AD+2BE，可得AD=AF，進而證出2AE=AB+AD；②在AB上取點F，使BE=EF，連接CF．先由（SAS）證明△ACD≌△ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根據線段垂直平分線、等腰三角形的性質得出∠CFB=∠B；然后由鄰補角定義及四邊形的內角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根據全等三角形的對應邊相等得出CD=CF，根據線段垂直平分線的性質性質得出CF=CB，從而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根據全等三角形的面積相等易證S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC．【詳解】解：①在AE取點F，使EF＝BE，∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，∴AD＝AF，∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，∴AE＝SKIPIF1<0（AB+AD），故①正確；②在AB上取點F，使BE＝EF，連接CF．在△ACD與△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC+∠CFB＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正確；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正確；④易證△CEF≌△CEB，所以S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，故④錯誤；即正確的有3個，故選：C．【點睛】本題考查了角平分線性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，四邊形的內角和定理，鄰補角定義等知識點的應用，正確作輔助線是解此題的關鍵，綜合性比較強，難度適中．【變式2】（2022秋·浙江杭州·八年級校聯考階段練習）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為邊AB的中點，E、F分別為邊AC、BC上的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______SKIPIF1<0，線段AB的長度SKIPIF1<0______．【答案】

45

SKIPIF1<0【分析】延長FD到M使得SKIPIF1<0，連接AM、EM，作SKIPIF1<0于N，先證明SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中求出EM，再證明SKIPIF1<0是等腰直角三角形即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長FD到M使得SKIPIF1<0，連接AM、EM，作SKIPIF1<0于N．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為45，SKIPIF1<0．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質，解題的突破口是添加輔助線構造SKIPIF1<0以及倍長中線構造全等三角形．【變式3】（2022秋·山東濱州·八年級統考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數是________．【答案】120°【分析】延長AB，使得AB=BE，延長AD，使得AD=DF，連接EF，與BC，DC相較于M，N，要使得△AMN的周長最小，則三角形的三邊要共線，根據∠BAD=120°和△AMN的內角和是180°即可列出方程求解．【詳解】解：延長AB，使得AB=BE，延長AD，使得AD=DF，連接EF，與BC，DC相較于M，N如圖所示，此時△AMN的周長最小∵∠ABM=90°∴∠EBM=90°在△AMB和△EMB中SKIPIF1<0∴△AMB≌△EMB∴∠BEM=∠BAM∴∠AMN=2∠BAM同理可得：△AND≌△FDN∴∠NAD=∠NFD∴∠ANM=2∠NAD設∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y∵∠BAD=120°∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．故答案為：120°．【點睛】本題主要考查的是三角形周長最小的條件，涉及到的知識點為全等三角形的判定及性質、三角形內角和的應用，正確添加合適的輔助線是解題的關鍵．鞏固訓練一、單選題1．（2020秋·湖北黃石·八年級黃石八中校考期中）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，則AF的長度為（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】B【分析】延長AD到G使DG=AD，連接BG，通過SAS證明△ACD≌△GBD，根據全等三角形的性質可得到∠CAD=∠G，AC=BG，等量代換得到BE=BG，由等腰三角形的性質得到∠G=∠BEG，推出EF=AF即可得解決問題．【詳解】解：如圖，延長AD到G使DG=AD，連接BG，∵AD是△ABC的中線，∴CD=BD，在△ACD與△GBD中，SKIPIF1<0，∴△ACD≌△GBD（SAS），∴∠CAD=∠G，AC=BG，∵BE=AC，∴BE=BG，∴∠G=∠BEG，∵∠BEG=∠AEF，∴∠AEF=∠EAF．∴EF=AF，∴AF+CF=BF-EF=BF-AF，即AF+6=9-AF，∴AF=1.5．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，利用中點作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0的長為（

）．A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】C【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，SKIPIF1<0∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴BE＝SKIPIF1<0BP＝SKIPIF1<0．故選：C．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質和勾股定理，解題的關鍵是得恰當作輔助線構造全等，依據勾股定理求出BP．3．（2021春·浙江杭州·八年級杭州外國語學校校考期中）如圖，在?ABCD中，BE垂直平分CD于點E，且∠BAD＝45°，AD＝3，則?ABCD的對角線AC的長為（）A．SKIPIF1<0 B．5SKIPIF1<0 C．5SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<0【答案】A【分析】過C作CF⊥AB，交AB延長線于點F，連接BD，根據菱形的性質可知BC＝BD＝AD＝3，由∠BAD＝45°可知∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，依據勾股定理，在Rt△ABD中，AB＝SKIPIF1<0AD＝SKIPIF1<0，由∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°得出FC＝FB＝SKIPIF1<0，在Rt△ACF中，根據勾股定理即可求出AC＝SKIPIF1<0．【詳解】解：如圖所示，過C作CF⊥AB，交AB延長線于點F，連接BD，∵在?ABCD中，BE垂直平分CD于點E，∴BC＝BD＝AD＝3，又∵∠BAD＝45°，∴∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，∴Rt△ABD中，AB＝SKIPIF1<0AD＝SKIPIF1<0，∵∠CBF＝∠DAB＝45°，∠F＝90°，∴∠BCF＝45°，∴FC＝FB＝SKIPIF1<0，∴Rt△ACF中，SKIPIF1<0，故選：A．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、勾股定理、線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關性質．．4．（2022秋·浙江寧波·八年級校聯考期中）如圖，O為數軸原點，A，B兩點分別對應SKIPIF1<0、3，作腰長為4的等腰SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，以O為圓心，SKIPIF1<0長為半徑畫弧交數軸于點M，則點M對應的實數為（）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．2.5【答案】A【分析】先利用數軸的性質，得到SKIPIF1<0，再根據等腰三角形的性質得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得到SKIPIF1<0，最后利用畫法得到SKIPIF1<0，即可得到答案．【詳解】解：SKIPIF1<0為數軸原點，A，B兩點分別對應SKIPIF1<0、3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是腰長為4的等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以O為圓心，SKIPIF1<0長為半徑畫弧交數軸于點M，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點M對應的實數為SKIPIF1<0，故選A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質是解題關鍵．5．（2023秋·廣東惠州·八年級校考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動點．若SKIPIF1<0腰上的中線長是3．則SKIPIF1<0周長的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長度即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0和的最小值，求出SKIPIF1<0的長，可得結論．【詳解】解：如連接SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0最小SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0是中線，SKIPIF1<0于點D，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的長就是SKIPIF1<0的最小值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是3，SKIPIF1<0周長的最小值SKIPIF1<0，故選：B．【點睛】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質，解題的關鍵是熟知兩點之間線段最短的知識．6．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯考期中）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D是BC的中點，將SKIPIF1<0沿AD翻折得到SKIPIF1<0，連結BE，則線段BE的長為（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】延長AD交CE于點O，過點A作SKIPIF1<0于H，根據SKIPIF1<0運用勾股定理求出BC的長，利用SKIPIF1<0的面積求出AH的長，證明AD垂直平分線段CE，運用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0面積相等求出OC的長，推出CE的長，證明SKIPIF1<0是直角三角形，在SKIPIF1<0中，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】延長AD交CE于點O，過點A作SKIPIF1<0于點H，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴AD垂直平分線段CE，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是直角三角形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．故選：D．【點睛】本題主要考查了翻折變換，直角三角形的斜邊中線，勾股定理等，解題的關鍵是添加輔助線，熟練掌握翻折性質，直角三角形的斜邊中線的性質，三線合一，勾股定理解直角三角形，面積法求高．7．（2023秋·四川雅安·九年級校考期中）如圖，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的一點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0