第七章復數綜合測試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則“”是復數“為純虛數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由“”為純虛數，得，解得，故“”是復數“為純虛數”的充要條件.故選：C.2．若復數，其中，則復數在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因為，實部為，虛部為，因為，所以，，所以復數在復平面內對應的點為位于第四象限.故選：D3．已知，，且，則（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【解析】因為，即，即，因為，，所以，解得，所以.故選：A4．已知i為虛數單位，復數z滿足，則的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以的虛部是.故選：D5．歐拉公式（其中為虛數單位，），是由瑞士著名數學家歐拉創立的，公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數的數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，的共軛復數為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故.故選：A.6．下列命題中，正確的個數為（

）①設是坐標原點，向量、對應的復數分別為、，那么向量對應的復數是；②復數是的根，則；③若復數是關于的方程的一個根，則；④已知復數滿足，則復數對應的點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.A． B． C． D．【答案】B【解析】對于①，因為，則向量對應的復數是，①錯；對于②，由可得，解得，故，②對；對于③，由題意可知，關于的方程的兩個虛根分別為、，所以，，解得，故，③對；對于④，因為，所以，復數對應的點的軌跡是以為圓心半徑為的圓，④錯.故選：B.7．已知復數z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】設復數在復平面內對應的點為，因為復數滿足，所以由復數的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內點的軌跡為，又表示點到點的距離，所以問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，當為時，到定點的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．8．設、為復數，下列命題一定成立的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，是正實數，那么D．如果，那么為實數【答案】D【解析】設，對于A：∵，則，可得，不能得到，例如，滿足，但顯然，故A錯誤.對于B：若，，則，顯然且，故B錯誤；對于C：∵，則，且只有實數才能比較大小，對于虛數無法比較大小，故C錯誤；對于D：令，則，因為，所以，所以，則，所以為實數，故D正確；故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知復數（為虛數單位），復數的共軛復數為，則下列結論正確的是（

）A．在復平面內復數所對應的點位于第一象限 B．C． D．【答案】ABCD【解析】A選項，，故在復平面內復數所對應的點位于第一象限，A正確；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D正確.故選：ABCD10．下列命題正確的是（

）A． B．若，則C．若，，則 D．若，，且，則【答案】AC【解析】對于A，根據數集的包含關系，正確，故A正確；對于B，若，設，則，，，故B錯誤；對于C，設，，，，則，故C正確；對于D，若，，則，，故D錯誤.故選：AC.11．已知復數，復數所對應的向量分別為，其中O為坐標原點，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABD【解析】對選項A：，則，即，即，故A正確；對選項B：，則，即，，，故B正確；對選項C：，則，，當時，，故C錯誤；對選項D：，則且，解得或，，故，故D正確；故選：ABD.12．設復數，滿足，，則下列結論中正確的是（

）A．的共軛復數為B．C．若是方程的根，則D．【答案】AD【解析】因為，所以，故A正確；因為，所以，故B不正確；因為是方程的根，且，所以，所以，所以，故C錯誤；因為，所以，所以，所以，故D正確.故選：AD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知i為虛數單位，復數，，若為純虛數，則.【答案】【解析】由復數為純虛數，可知，，得.故答案為：14．如果都是實數，關于的方程有一個根，則【答案】【解析】因為為關于的方程的一個根，所以為關于的方程的一個根，所以，解得，，所以.故答案為：.15．已知為虛數單位，若復數滿足，則.【答案】/【解析】設，則，所以，因為，所以，所以，所以，則.故答案為：.16．復平面上兩個點分別對應兩個復數，它們滿足下列兩個條件：①；②兩點連線的中點對應的復數為，若為坐標原點，則的面積為【答案】20【解析】設，則.所以點的坐標分別為又兩點連線的中點對應的復數為，解得.又的面積為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）實數取什么數值時，復數分別是：(1)實數？(2)純虛數？【解析】（1）由已知得,其中復數的實部為，虛部為，當時，即或時復數為實數.（2）當，即，即時，復數為純虛數.18．（12分）計算下列各題:(1)；(2).【解析】（1）.；（2）..19．（12分）已知z為復數，和均為實數，其中是虛數單位.(1)求復數z和|z|；(2)若在第四象限，求m的取值范圍.【解析】（1）設，則，由為實數，得，則，由為實數，得，則，∴，則；（2），由在第四象限，得，解得或，故m的取值范圍為．20．（12分）已知復數，，為虛數單位.(1)求及；(2)若，求的共軛復數.【解析】（1），，，，．（2）由所以.21．（12分）（1）計算：的值；（2）在復數范圍內