第09講同角三角函數基本式與誘導公式【學習目標】1.理解并掌握同角三角函數的基本關系、重點提升數學抽象核心素養．2．會用同角三角函數的基本關系進行三角函數式的求值、化簡和證明．重點提升數學運算邏輯推理核心素養．3.了解三角函數誘導公式的意義和作用，理解誘導公式的推導過程，重點培養直觀想象、數學抽象核心素養．4.能運用誘導公式解決一些三角函數的求值、化簡和證明問題，重點提升數學運算、邏輯推理核心素養．【知識導航】知識點一同角三角函數的基本關系式已知角α終邊上一點P(－3，－4)．(1)求sinα，cosα，tanα的值；(2)計算sin2α＋cos2α，eq\f(sinα,cosα)的值；(3)是否對任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))成立？若成立，試證明．1．同角三角函數的基本關系式成立的條件：當α∈R時，__________成立；當__________時，eq\f(sinα,cosα)＝__________成立．2．基本關系式的變形公式sin2α＋cos2α＝1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))知識點二角α與α＋2kπ(k∈Z)的三角函數值之間的關系已知角β＝2kπ＋α，k∈Z.(1)角α與β的終邊有什么關系？(2)作出β的三角函數線，通過作圖，你會發現α，β的三角函數值有何關系？1．誘導公式①sin(α＋k·2π)＝__________，cos(α＋k·2π)＝__________，tan(α＋k·2π)＝__________．2．誘導公式①的作用：可以把絕對值大于2π的任意角的三角函數值問題轉化為0～2π角的同名三角函數值問題．知識點三角的旋轉、對稱如圖，已知角α的終邊為OA，將射線OA逆時針旋轉θ到OB，順時針旋轉θ到OC；那么①指出角α＋θ的終邊，②指出角α－θ的終邊．③角α＋θ的終邊與角α－θ的終邊有怎樣的對稱關系．一般地，角α的終邊和角β的終邊關于角__________的終邊所在的直線對稱．知識點四角α與角－α的三角函數值之間的關系1．角α與角－α的終邊有怎樣的對稱關系？2．結合三角函數線，角α與角－α的三角函數值之間的關系如何？1．誘導公式②：sin(－α)＝__________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝__________．2．誘導公式②的作用：用正角的三角函數值表示負角的三角函數值．知識點五角α與π±α的三角函數值之間的關系1．任意角α與π－α的終邊有何位置關系？它們與單位圓的交點的位置關系怎樣？試用三角函數定義驗證α與π－α的各三角函數值的關系．提示：α與π－α的終邊關于y軸對稱，如圖所示，設P1(x，y)是α的終邊與單位圓的交點，則π－α與單位圓的交點為P2(－x，y)，P1，P2關于y軸對稱，由三角函數定義知，sin(π－α)＝y＝sinα，cos(π－α)＝－x＝－cosα，tan(π－α)＝eq\f(y,－x)＝－tanα.2．你能利用誘導公式②③探究角α與π＋α的各三角函數值的關系嗎？提示：如cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cosα.1．誘導公式③：sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝__________．2．誘導公式④：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝__________．知識點六角α與eq\f(π,2)－α的三角函數值之間的關系如圖所示，設α是任意角，其終邊與單位圓交于點P1(x，y)，與角α的終邊關于直線y＝x對稱的角的終邊與單位圓交于點P2.(1)P2點的坐標是什么？提示：P2(y，x)．(2)eq\f(π,2)－α的終邊與角α的終邊關于直線y＝x對稱嗎？它們的正弦、余弦值有何關系？誘導公式⑤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝__________，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝__________．知識點七角α與eq\f(π,2)＋α，eq\f(3π,2)±α的三角函數值之間的關系1．利用誘導公式②⑤探究α與eq\f(π,2)＋α的三角函數值的關系？2．利用前面學習的誘導公式，你能發現eq\f(3π,2)＋α與α、eq\f(3π,2)－α與α間的三角函數值的關系嗎？提示：如sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)＋α))＝－sin(eq\f(π,2)－α)＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.誘導公式⑥⑦⑧⑥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝__________，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝__________．⑦coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝__________，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝__________．⑧coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝__________，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝__________．[點撥]誘導公式①～⑧可以統一概括為“k·eq\f(π,2)±α，(k∈Z)”的形式記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限．其中“奇、偶”是指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k的奇偶性，當k為奇數時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數時，函數名不變．“符號”看的應該是誘導公式中，把α看成銳角時原函數值的符號，而不是α函數值的符號．【知識預習】考點一：同角三角函數基本關系式1．若，且為第四象限角，則的值等于（

）A． B． C． D．2．已知α為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．3．若，且是第二象限角，則的值是（

）A． B． C． D．4．已知,是第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知,則的值為A．2 B． C．-2 D．考點二：誘導公式6．已知，且為第三象限角，則A． B．- C． D．7．已知sin＝，則cos(π＋α)的值為()A． B．－ C． D．－8．已知，則的值為

（）A． B． C． D．9．已知，則（

）A． B． C． D．10．已知，則（

）A． B．3 C． D．0【對點訓練】一、單選題1．已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．2．已知角終邊上一點，則（

）A．2 B．-2 C．0 D．3．已知，且，則（

）A． B． C． D．4．若，且為第四象限角，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知角終邊在第一象限，，那么的值為（

）A． B． C． D．6．已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．若且，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角8．已知，，則等于（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，，那么的可能值為（

）A． B． C． D．10．已知，則（

）A． B． C． D．三、填空題11．已知A為三角形內角且，則________.12．已知，則______．四、解答題化簡．13．（1）;14．（2）15．已知，，求的值.16．已知為第三象限角，且．(1)化簡；(2)若，求的值．【提升作業】一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．已知為第四象限角，，則（

）A． B． C． D．3．已知（

）.A．5 B．4