函數(shù)的奇偶性與周期性

［4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底］

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是()

A.y—(x÷l)2B.y-2~x

C.F=IsinxID.y=lg(x+l)+lgU-l)

C［對(duì)于A,函數(shù)圖像關(guān)于x=-l對(duì)稱，故排除A.

對(duì)于B,f(―?)=2x≠f(?),函數(shù)不是偶函數(shù).

對(duì)于C,f(―x)=Isin(—x)I=I—sinx∣=ISinXl=f(x),因此函數(shù)是偶函數(shù).

［x+l>O

對(duì)于D,由C得x>l,函數(shù)的定義域?yàn)?1,+8),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

X—1>0

因此函數(shù)不是偶函數(shù)，故選C.］

9t+l

2.函數(shù)f(x)=T=的圖像()

A.關(guān)于X軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱

C.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱

9'+l

B[因?yàn)閒(x)=÷^=3'+3Λ易知f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(力的圖像關(guān)于y

?

軸對(duì)稱.］

3.設(shè)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù).當(dāng)0WΛ≤1時(shí)，f(x)=f—X,則f

-\()

1111

-氏----

A.2C.4D.2

-

c［由4題意知Fe)=l+2)=f㈢=T(3=T?)W,故選C?］

4.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間［―7,—3］上是減函數(shù)且最大值為5,那么函數(shù)f(x)在區(qū)

間［3,7］上是()

A.增函數(shù)且最小值為一5

B.增函數(shù)且最大值為一5

C.減函數(shù)且最小值為一5

D.減函數(shù)且最大值為一5

C［由題意知，函數(shù)/"(X)在區(qū)間［3,7］上是減函數(shù)且f(7)為最小值，又/"(一7)=5,

則f(7)=-f(-7)=-5,故選C.]

1--V

5.（2021?全國卷乙）設(shè)函數(shù)f（X）=E，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.f(X-I)-IB.f(%-1)+1

C.f(Λ?+1)-1D.fU+1)+1

C「、r/、1-X/、1—x~12-X八

B[法一,：因?yàn)閒(Λ)—?-'所以f(X-1)=[^,=’ft(x1+1)=

1-TX1+χ-?X

1-x+1____X

1+%+1x+2'

2—Y2—2X

對(duì)于A,/(X)=F(X—1)—1=丁-1=1—,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不滿足〃(X)

=-F(一才)；

O-Y9

對(duì)于B,G(X)=F(X—1)+1=丁+1=7定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足G(X)=-6(一

X)；

—Xx~~γ^-22Λr-1-2

對(duì)于C,f(?+1)-1=~^-1=?=-Ξ?Γ-定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

X十2X+2χ?τ?

—Y—V—|—v—|—22

對(duì)于D,fU+D+1=-—+1=--？―=—,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選B.

X十2X-V1X+2

1—V9—*+19

法二：fω=?δ=??-1,為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函

數(shù)y=f(X)的圖像向右平移一個(gè)單位長度，再向上平移一個(gè)單位長度，得到的圖像對(duì)應(yīng)的

函數(shù)為y=fG-1)+1,故選B.]

{χ-aχfxW0,

6.已知函數(shù)F(X)=2ι八為奇函數(shù)，則f?=()

[ax+x9x>0

A.-1B.1C.0D.±1

C[Y函數(shù)F(X)是奇函數(shù)，,f(一x)=-f(x),則有F(—1)=一F(1),即1+日

=-a-l,即為=-2,得3=—1(符合題意)，

?x+x,%≤0,

Λ/(?)=1八

[―x2+1x,M>0.

：.f(-ι)=(-ι)2+(-ι)=o.]

二、填空題

7.已知函數(shù)F(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x￡(—8,0)時(shí)，F(xiàn)(X)=Iog2(—x),

則f(/(2))=.

O[f(2)=—/(―2)=—log22=-1,所以F(f(2))=F(―1)=Iogzl=O.]

8.已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)尤>0時(shí)，f(?)=χ-χ-?,則當(dāng)XVO時(shí)，f(x)

x+χ-?［當(dāng)XVo時(shí)，-x>0,則/*(―x)=(-x)2—(―x)—1=V+χ-1,

又F(X)是偶函數(shù)，

所以F(?)=f{-χ)=x+χ-?,］

9.已知函數(shù)F(X)=X+：—1,f(a)=2,則F(—a)=________.

-4［法一：f(a)+f(一血

:?f(—a)=-2-/(a)=-4.

法二：由已知得F?=a+,-l=2,

a

即a+［=3,所以f(―a)=—a—1=—(a+3一1=—3—1=-4.］

a?aj

三、解答題

10.f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(?)=-2∕÷3?÷1,求F(x)的解析式.

［解］當(dāng)XV。時(shí)，-x>0,則f(―x)=-2(—x”+3(—x)+1=—29—3x+l.

由于F(x)是奇函數(shù)，

故f(x)=-f(—X),

所以當(dāng)XVO時(shí)，F(xiàn)(X)=2f+3χ-l.

因?yàn)镕(X)為R上的奇函數(shù)，故F(O)=O.

綜上可得F(X)的解析式為

—2x'+3x+l,x>0,

f(X)=VO,x=0,

^2x+3x~1,XV0.

(-χ+2x,x>0,

11.已知函數(shù)F(X)=(θ,x=0,是奇函數(shù).

［x'+πιx,XVO

⑴求實(shí)數(shù)/〃的值；

⑵若函數(shù)F(X)在區(qū)間［-1,a-2］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

［解］⑴設(shè)XV0,則一x>0,

所以F(―x)=—(一才>+2(—x)=一1―2x.

又F(x)為奇函數(shù)，

所以f［~x)=~f(力，

于是XVo時(shí)，f(?)—X+2x=x-?-mχf

所以∕n=2.

(2)要使F(X)在［-1,2］上單調(diào)遞增，

—2>—1

a-'所以l<a≤3,

{a-2≤l,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

1.已知函數(shù)f(X)=In(e+x)—ln(e—x),則f(x)是()

A.奇函數(shù)，且在(O,e)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,e)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,e)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,e)上是減函數(shù)

fe÷x>0

A[由得一e<x<e,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-e,e),

le-%>0

又f(一X)=In(e—x)—ln(e+x)=—F(x),因而F(才)是奇函數(shù)，又函數(shù)尸ln(e+

x)是增函數(shù)，y=ln(e-χ)是減函數(shù)，則f(x)=ln(e+x)-ln(e—x)為增函數(shù)，故選A.]

2.若定義在R上的偶函數(shù)/'(x)和奇函數(shù)g(x)滿足F(X)+g(x)=e*,則g(x)=()

A.B.j(ev+e-0

C.?(e-'-eA)D.?(e'-e^0

D[因?yàn)镕(X)+g(x)=e',所以F(―x)+g(—x)=F(X)—g(x)=e-λ,所以g(x)=；

(e?-e-?.]

3.設(shè)F(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)X,恒有F(x+2)=-F(x)?當(dāng)X

∈[0,2]時(shí)，f(?)=2χ-χ.

(1)求證：f(x)是周期函數(shù)：

(2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，求f(x)的解析式.

[解](1)證明：?.?F(x+2)=-f(x),

f(x+4)――f(x+2)=f(x).

：.f(x)是周期為4的周期函數(shù).

(2)Vx∈[2,4],/.一x∈[一4,—2],

.*.4—XC[0,2]>

：.f(4-Λ)=2(4-χ)-(4-χ)2=-X2+6Λ-8.

?：f(4—?)=f(—?)=—f(x),：?—f(x)=-χ÷6%-8,

即f(X)=X2—6x+8,x∈[2,4].

［C組在創(chuàng)新中考查理性思維］

1.已知函數(shù)f(*)=IOg2(，/+a—x)是奇函數(shù),則a=,若g(x)—

fX,XW0,

則g(g(—D)=.

1yβ［由f(X)=IOgzh/J+a—x)得q∕+a-χ>0,則a>0,所以函數(shù)f(x)的定

義域?yàn)镽.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(O)=IogN^=O,解得a=l.所以g(