2023-2024學年四川省眉山高二下冊開學測試數(shù)學(文)

模擬試題

一、單選題

1.設x,yeR,命題“若χ2+V>2,則f>l或y2>l，，的否命題是()

A.若尤2+y2≤2,則*2≤1或y*l

B.若/+/>2,則χ2≤ι或V力

C.若f+V≤2,則χ2≤l且y2*l

D.若/+/>2,則∕≤1且y2≤l

【正確答案】C

【分析】根據(jù)否命題的定義直接可得.

【詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若/+V>2,則/>1或y2>]，，的否命題是若

X2+y2≤2,則χ2≤1且y2≤],

故選：C.

2.已知拋物線V=2*上的點M(2,%)到該拋物線焦點的距離為3,則拋物線的方程是

()

A.y2=2xB.y1=4x

C.y2=-IxD.)2=_4X

【正確答案】B

【分析】由拋物線知識得出準線方程，再由點"(2,%)到焦點的距離等于其到準線的距離求

出P,從而得出方程.

【詳解】由題意知則準線為X=

點M(2,%)到焦點的距離等于其到準線的距離，

即∣-5-2∣=3,.?.p=2,則丁=?

故選：B.

3.《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則

它的外接球的體積為()

左視圖

8忌8

C.4√2πD.-π

33

【正確答案】B

【分析】作出直觀圖，找到外接球球心得球半徑后可得體積.

【詳解】由三視圖知如圖直三棱柱ABC-A8∣G的底面ABC是等腰直角三角形,

ZACe=9()。，設￡)出分別是A8,A4的中點，則AR分別是兩個底面的外接圓圓心，OR的

中點。是三棱柱的外接球的球心.

由三視圖知，AD=l,OD=l,S?OA=√2,

球體積為V=一萬X(0)3=逑；r.

33

故選：B.

4.AABC的兩個頂點坐標A(-4,O),B(4,0),它的周長是18,則頂點C的軌跡方程是

()

2r2

AA.—廠+—y=1.B.^v+―=1(y≠0)

259

C??÷?=ι(>'≠o)22

D.f^+∕=ι(y4。)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)三角形的周長得出∣AC∣+忸C=I()>∣AB∣,再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以

A,B為焦點的橢圓，去掉A,B,C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.

【詳解】因為∣As∣+∣Aq+忸。=18,所以Mq+為Cl=IO>|明,

所以頂點C的軌跡為以A,B為焦點的橢圓，去掉A,B,C共線的情況，即

2a=10,c=4,.?.?2=9,

所以頂點C的軌跡方程是:+[=l(ywθ),

故選：D.

本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基

礎題.

5.已知命題“2X+∕M<0,q-.x2-2x-3>0,若P是<7的一個充分不必要條件，則，"的取

值范圍是()

A.[2,+∞)B.(2,+oo)C.(-∞,2)D.(-8,2]

【正確答案】A

【分析】先化簡命題P，4,再根據(jù)P是4的一個充分不必要條件，由P4求解.

【詳解】因為命題g：x>3或χ<-ι,

又P是q的一個充分不必要條件,

所以一色f

解得m≥2,

所以加的取值范圍是[2,+8),

故選：A

6.已知雙曲線，?-?=l(α>0∕>())的焦距為2石，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0平

行，則雙曲線的方程為()

r2

?-?一＞』B.χ2-21=ι

4

3χ2

C.《上1D3y21

164520

【正確答案】B

【分析】根據(jù)焦點在X軸上的雙曲線漸近線斜率為±2可求m〃關系，再結合“，b,C關系

a

即可求解.

22

【詳解】：雙曲線二-4=l(a>O,b>0)的焦距為2逐，

a-b2

且雙曲線的一條漸近線與直線2r+y=O平行，

*'?—=-2,：.b=2a,

a

'."c^~c^^?^y?"?tz—I>b=2,

2

.?.雙曲線的方程為匕=1.

4

故選:B.

7.如圖所示，直三棱柱ABC-A4G中，NBC4=60。，M,N分別是A6，CG的中點,

BC=CA=CC1,則BN與AM所成角的余弦值為()

【正確答案】A

【分析】取BBl的中點Q,AC的中點p,由題可得N。GP為BN與A〃所成角，結合條件及

余弦定理即得.

【詳解】取BBl的中點Q,AC的中點P,

則BN∕∕C∣Q,AM//C1P,

???NQGP為3N與AM所成角，

由題可知直三棱柱ABC-AqG為正棱柱,

設8C=2,則AM=BN=6，PQ=2,

5+5-43

在△產℃中，可得c。SNPGQ=2；GX石=M

3

.??BN與AM所成角的余弦值為《?

故選：A.

8.已知圓G：(x-3f+(y+4)2=l與CZ:(x-4y+(y-α+3)2=9恰好有4條公切線，則實

數(shù)。的取值范圍是()

A.(-∞,θ)u(4,+∞)B.(-O0,l-?/e)(1+指,+<?)

C.(0,4)D.(-∞,T)53,+∞)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)兩圓有4條公切線，得到兩圓外離,然后根據(jù)外離列不等式，解不等式即可得

”的取值范圍.

【詳解】因為圓Cj(x-3y+(y+4)2=l與G：(》一力+3-“+3『=9恰好有4條公切線,

所以圓Cl與C?外離，所以J(α-3y+(α-3+4)2>4,解得。>3或α<-l,即實數(shù)。的取值

范圍是(f?,T)53+c0).

故選：D.

9.如圖，過拋物線V=2px(P>0)的焦點廠的直線/交拋物線于點A、B,交其準線于點C,

若忸q=2忸尸且∣"∣=6,則。的值為()

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】B

【分析】分別過點A、8作準線的垂線，垂足分別為點E、D,設忸?|=。，根據(jù)拋物線的

定義以及直角三角形的性質可求得ZBCD=30,結合已知條件求得α=2,分析出F為AC的

中點，進而可得出P=IFq=即可得解.

【詳解】如圖，分別過點A、8作準線的垂線，垂足分別為點E、D,

設忸尸∣=”,則由已知得忸C=2α,由拋物線的定義得忸q=α,故NBCD=30,

在直角三角形ACE中，?AF?=6,IAa=6+34,

因為2∣AEl=IACI,則6+34=12,從而得α=2,

所以，ICM=忸C]+忸q=3α=6=∣A尸則F為Ae的中點，從而P=IFGI=g∣AE∣=3.

故選：B.

10.已知橢圓C:三+X=I的兩焦點分別為耳，F(xiàn)2,尸為橢圓上一點，且4戶工=60。，則

126

△耳P6的面積等于（）.

A.6B.2√3C.4√3D.6√3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理解得∣m∣?∣p圖=8,結合三解形面積公式即可求解.

【詳解】由與尸是橢圓上一點，.?.∣PK∣+IPvI=2α=4√5,

兩邊平方可得IP用2+|「層『+2|尸制IPKI=48,即伊耳『+∣PΛ∣2=48-2∣Pξ∣∣Pfζ∣,

由于/耳尸乙=60,I耳段=2c=2幾，.?.根據(jù)余弦定理可得,=歸勺:?;24

22rf∣∣κz2∣

綜上可解得IP耳I忖閭=8,.?.△￡產鳥的面積等于（歸耳|歸用sin60。=2百,

故選：B

11.圓/+y2+4χ-i2y+l=0關于直線OV-by+6=0(G>0,b>0)對稱，則的最小值是

ab

)

2032n16

A.2√3Bd.—C.—D.—

333

【正確答案】C

【分析】先求出圓的圓心坐標，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得。+3/2=3,然后由

-+∣=∣（α+3?）fi+∣L展開利用均值不等式可得答案.

ab3?abJ

【詳解】由圓W+y2+4χ-I2y+l=0可得標準方程為（x+2y+（y-6）2=39,

因為圓Y+丁+4x-12y+l=0關于直線4r—勿+6=0（。＞0,匕＞。）對稱,

??.該直線經過圓心(一2,6),gp-2^z-6?+6=0,.?.^÷3?=3(a>0,?>0),

、

.?.2∣=∣(3?)1+——3a+——3b+C9

+Λ+ba

當且僅轉寧,即"吟時取等號，

故選：C.

12.已知F-居分別為雙曲線C：鳥―衛(wèi)=1(a>0,%>0)的左，右焦點，以FlK為直徑

ab

的圓與雙曲線C的右支在第一象限交于A點，直線A%與雙曲線C的右支交于B點，點馬恰

好為線段AB的三等分點(靠近點A),則雙曲線C的離心率等于()

A.√2B.√5C.姮D.

32

【正確答案】C

【分析】設IA用=x,?BF2?=2X,根據(jù)雙曲線的定義可得I純∣=2α+x,∣M∣=2α+2x,在

RtABf；中由勾股定理列方程可得X=；“，在Rt力百用中由勾股定理可得關于α,C的方程,

再由離心率公式即可求解.

【詳解】設IA片∣=x,貝!]∣8E∣=2x,

由雙曲線的定義可得：IA用=IMl+24=2a+x,忸制=忸閭+24=2α+2x,

因為點A在以片人為直徑的圓上，所以NKAB=90,

所以IA4『+|A8『=忸周2,Bp(2?+X)2+(3x)2=(2a+2x)2,解得：X=I。,

在"K居中，IA用=2q+x=§a,MKI=I'〃，|耳劇=2c,

由所『+|0『=忻/?可得(+)+停α)=(2c)2,即176=9/,

所以雙曲線離心率為e=

二、填空題

13.若命題“heR,使得52+2奴7≥()”為假命題，則實數(shù)α的取值范圍是

【正確答案】(-1,0]

【分析】將題意的命題轉化條件為“TxeR,0χ2+20x-l<0”為真命題，結合一元二次不等

式恒成立即可得解.

【詳解】因為命題FXWR,使得or?+2以τ≥()”是假命題，

所以其否定“TxeR,蘇+2奴-1<0”為真命題，

即ax2+2ax-?<0在R上恒成立.

當。=0時，不等式為τ<o,符合題意；

Γ?<0

當α≠0時，貝IJ需滿足jA_4a2+4a<0，解得一

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(T,0].

故答案為?(T,0]

->2

14.若雙曲線「—2=1的離心率為2,則此雙曲線的漸近線方程.

ab

【正確答案】y=±7Ix

【分析】根據(jù)離心率得出c=24,結合儲+從=?2得出"力關系，即可求出雙曲線的漸近線

方程.

【詳解】解：由題可知，離心率e=￡=2,即C=為，

a

y,a2+b2=c2=4a2,即〃=3合，貝!|"=6,

a

故此雙曲線的漸近線方程為y=±√3x.

故答案為.y=±0x

15.過拋物線C：V=6x的焦點的直線/交C于，兩點，若IABl=9,則線段48中點的橫坐

標為.

【正確答案】3

3

【分析】分別過4,B作準線工=-N的垂線，垂足為A,B，,過AB的中點M作準線的垂線

于W,則IMM[=；(IAAI+1BBl)=?∣,再根據(jù)IMM]=%+|求得

【詳解】如圖，拋物線V=6x的焦點為F(I,θ｝準線為x=-∣,分別過A,8作準線的垂

線，垂足為A,B',

則有I崗=IAFl+忸可=IA4[+?BB,?=9,

過AB的中點M作準線的垂線，垂足為AT,

則MM'為直角梯形ABB1A中位線，

1Q

則IMMI=削M+Ml)=],

即??+]3=?∣9,所以M的橫坐標為3.

故3.

16.在三棱錐P-ABC中，PA=PC=AC=AB,ABl平面P4C,三棱錐P-ABC的頂點都

在球。的球面上.若三棱錐P-ABC的體積為?,則球。的表面積為.

4

【正確答案】21萬

【分析】依題意設Λ4=PC=AC=45=",根據(jù)錐體的體積求出。，即可求出外接圓

的半徑r,設三棱錐P-ABC外接球的半徑R,貝∣J(2R)2=(2,?y+A82,即可求出外接球的表

面積；

【詳解】解：依題意設A4=PC=AC=Afi=",則VP=JS僧c?AB=^^,即

I-r?D?-3/1?1-j

3

[χla2χ3Xa=見I,解得。=3,設△APC外接圓的半徑為「，貝/'==7=26,

3224smJ

棱錐P-ABC外接球的半徑R,則(2R)2=(2rf+A序=21,所以球。的表面積

S球=4乃/?2=21;F；

故21〃

三、解答題

17.設命題p：實數(shù)X滿足χ2-4∕nr+3M≤0,其中加>0；命題q：(x÷2)(x-3)≤0.

⑴若加=2,且。入4為真，求實數(shù)X的取值范圍；

(2)若是力的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.

【正確答案】⑴[2,3](2)(0』

【分析】(1)解二次不等式χ2-4mx+3r∏2≤0,其中m>0解得m≤x43m,解

(x+2)(x-3)≤0.得：-2≤x≤3,取m=2再求交集即可；

⑵寫出命題所對應的集合，命題p：A=[m,3m],命題q：B=[-2,3],由17是「p的充

分不必要條件，即P是q的充分不必要條件，則A是B的真子集，列不等式組可求解.

【詳解】解：(1)?X2-4mx+3m2≤0(其中m>0；

解得m≤X≤3m,

Xm=2,S∣J2≤x≤6,

由(x+2乂x—3)≤0.得：—2≤X≤3,

又P為真，則〈一人,

2≤x≤6

得：2≤x≤3,

故實數(shù)X的取值范圍為[2,3]；

(2)由⑴得:命題p：A=[m,3m],命題q：B=[-2,3],

由是fp的充分不必要條件，即P是q的充分不必要條件，

A是B的真子集，

m≥-2

所以，3m≤3,即O<m≤l.

/M>O

故實數(shù)m取值范圍為.(0』

本題考查了二次不等式的解法，復合命題的真假，命題與集合的關系，屬于簡單題.

18.已知圓C的圓心在第一象限內，圓C關于直線y=3χ對稱，與X軸相切，被直線y=χ截

得的弦長為2".

⑴求圓C的方程；

(2)若點尸(-2,1),求過點P的圓的切線方程.

【正確答案】(I)(X—iy+(y-3)2=9

⑵X=—2或5x+12y—2=O

【分析】(1)結合點到直線的距離公式、弦長公式求得"Br,由此求得圓C的方程.

(2)根據(jù)過P的圓的切線的斜率是否存在進行分類討論，結合點到直線的距離公式求得切

線方程.

【詳解】⑴由題意，設圓C的標準方程為：(x-4+(y-6)2=∕,(a>0,b>0),

圓C關于直線y=3x對稱，.?∕=34

圓C與X軸相切：.,.廠=b=34…①

點c(α,o)到y(tǒng)=%的距離為:

圓C被直線y=χ截得的弦長為2√7,??,2=42+(√η?

結合①有：9/=2/+7,.?.∕=ι,

4>0,A—1,r=b=3Λ=3,

圓C的標準方程為.(x-1)?+(y-3)2=9

(2)當直線/的斜率不存在時，x=-2滿足題意

當直線/的斜率存在時，設直線/的斜率為上,則方程為yT=%(χ+2).

又圓C的圓心為(1,3),半徑r=3,

由馬"

解得一V

所以直線方程為y-l=-?(x+2),即5x+12.y-2=0

即直線/的方程為x=—2或5x+12y-2=0.

19.在四棱錐P-ABC。中，平面RIB_L平面ABC￡>,NABC=NBCD=90°,PC=PD,PA

=AB=BC=I,CD=2.

(1)證明：用_L平面A88；

(2)求點C到平面PBO的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)國

3

【分析】(1)因為平面PABJ"平面ABCZ),證得BC工平面R4B,得到BCl月4,取8的

中點M,證得AM,CO,進而證得CZ)，平面得到CD_LP4,結合線面垂直的判

定定理，即可證得P4_L平面45CO；

(2)設點C到平面PBD的距離為h,根據(jù)Vje=V5，求得〃的值，即可求得點C到平

面「比)的距離.

【詳解】(1)證明：因為平面以_平面ABCr),AB為平面A4B與平面ABa)的交線，

且3C_LA8,所以BCl平面R4B,

又因為PAU平面P4S,所以BC上P4,

取CD的中點M,連接A",PM,BD,

因為A3〃CW且AB=CM,ZBCD=90°,

所以四邊形ABC用為矩形，所以A"LCD,

又因為PC=PD,且M為C。的中點，所以PMJ_CD,

又由AM,EWU平面PAW,所以CD，平面PAM,

因為P4u平面所以Cz)_LR4,

又因為BCU平面A8CO,CZ)U平面48CO,且BCcCO=C,

所以以J_平面ABeD

(2)解：設點C到平面尸BD的距離為力，

v

因為L-BCD=C-PBD，可得gsBCD.PA=gsPBD?*

又由SHa>=；xlx2=l,R4=l,

在Z?PBZ)中，PB=O,PD=也,BD=√5,BD2=PB'+PDr,

所以NB叨=90。，所以SMBD=gx顯布=與，

則LlXI=LX逅x〃，解得〃=且，即點C到平面依。的距離為逅.

33233

22

20.設雙曲線C:]-方=l(α>08>0)的左、右焦點分別為"，玲，且田閭=4,一條漸

近線的傾斜角為60°.

(1)求雙曲線C的標準方程和離心率；

(2)求分別以K,K為左、右頂點，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標準方程.

222

【正確答案】(1)x2-^=l,2(2)—+?=1

343

【分析】（I）結合c=√TTK=2,，=退聯(lián)立即得解；

（2）由題意"=c=2,//=Z?二百，即得解.

22

【詳解】（1）由題意，?FlF2?=2c=4.'.c=y∕a+b=2

又2=tan6CP=6

a

解得：ci=1,?=?/?

故雙曲線C的標準方程為：x2-^=l,離心率為e=2=2

3a

22

（2）由題意橢圓的焦點在X軸上，設橢圓方程為孑+*=1（4'>//>0）

??√=c=2,?,=?=√3

即橢圓方程為：—+?=?

43

21.在四棱錐P-ABC￡>中，24_L底面A8CE>,ABLAD,ADHBC,AD=3BC,點E在

棱P￡>上，且滿足PE=g尸。.

⑴證明：CE〃平面的；

（2）若PA=AB=Ar>=3,求點B,E到平面PAC的距離之和.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵通

5

【分析】（1）根據(jù)線線的平行關系做出平面BCE與平面ABP的交線，再由線線平行證得線

面平行；

（2）運用錐體的體積法計算點面距離即可.

【詳解】

(1)證明：在”上取一點尸，使得PB=gpA,連接B尸，EF.

PEPF1i

因為PE=三尸。，所以上=J=g,所以所〃4)且E產=[AO,

3PDPA33

又BC/iAD,AD=3BC,所以BC=JAO,

3

所以BC=EF,BCHEF,所以四邊形BC砂是平行四邊形，

所以CE//BF,又CEZ平面RW,BPu平面R43,所以CE〃平面R43.

(2)因為%=AB=AD=3,PE=；PD,

2

所以三棱錐E-AC。的局為]PA=29

所以?fτco=gxgxAOxA3x2=；xgx3x3x2=3,

τ7171BC+AD11+3a

又/YB8=]X—2—XA8XPA=]X-^-X3X3=6,

所以YE一PAC+^H-PAC=Vp_ABCD-^E-ACD=6~?=?.

22

又SPAC=~PA?AC=，X3X?/?÷?=3^^,

pac2