32(1)有界性設函數f(x)的定義域為D，數集X?D.若存在正數M，使得|f(x)|≤M對任一x∈X都成立，則稱函數f(x)在X上有界.::::(2)單調性設函數f(x)的定義域為D，區間I?D.若對于區間I上的任意兩點x及1x，當x<x時，恒有f(x)<f(x)，則稱函數f(x)在區間I上是單調增加21212:::::::::的；當x<x時，恒有f(x)>f(x)，則稱函數f(x)在區間I上是單調減少1212:::::::::的.(3)奇偶性設函數f(x)的定義域D關于原點對稱.若對于任一x∈D，f(?x)=f(x)恒成立，則稱f(x)為偶函數.若對于任一x∈D，f(?x)=?f(x)恒成立，則稱:::::::f(x)為奇函數.:::::::(4)周期性設函數f(x)的定義域為D.若存在一個正數l，使得對于任一x∈D有x±l∈D，且f(x+l)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數，l稱為f(x)的周:::::::::::期.通常我們所說的周期函數的周期是指最小正周期.:::::::::::::?????冪函數：y=xa(a是常數).指數函數：y=ax(a>0且=對數函數：y=logx(a>0且aa?1).=1).?a三角函數：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx.反三角函數：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx.定義設{x}為一數列，若存在常數a，對于任意給定的ε>0(不論它多么小)，總存在n正整數N，使得當n>N時，不等式|x?a|<ε都成立，則稱常數a為數n:::::::列{x}的極限，或者稱數列{x}收斂于a，記為limx=a，或x→a(n→∞).n::::::::::::n::::::::::::::::nn:ε?N定義：im∞xn=a等價于?ε>0，?正整數N，當n>N時，有|xn?a|<ε.(1)唯一性若數列{xn}收斂，則該極限唯一.(2)有界性若數列{xn}收斂，則該數列有界.(3)保號性若limx=a，且a>0(或a<0)，則存在正整數N，當n>N時，有nx>0(或x<0).nn推論如果數列{x}從某項起有x≥0(或x≤0)，且limx=a，那么a≥0(或nnnna≤0).(4)收斂數列與其子數列之間的關系如果數列{x}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂，且極限也是a.n由以上性質可知：如果數列{x}有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數n列{x}是發散的.n?????????????:::::::::??????→????????????(?)???????????????????00??????????ε>0????????????δ>0??????????0<|???|<δ?????????(?)??????|?(?)??|<ε???????0???(?)??→????????????(?)=????(?)→???→???00?0ε?δ???????(?)=?????ε>0??δ>0??0<|???|<δ???0??0|?(?)??|<ε????????→∞???????????(?)?|?|?????????????????????????ε>0?????????????>0??????????|?|>??????????(?)??????|?(?)??|<ε??????????(?)??→∞???????????(?)=????(?)→???→∞???ε?????????(?)=?????ε>0???>0??|?|>????|?(?)??|<ε??????????(?)=???????0<|???|<δ????δ<?<????000??0???????(?)??→?????????????(?)=???(?)=???00:::::::???→00????????(?)=???????0<|???|<δ???<?<?+δ???00?0???????(?)??→?????????????(?)=???(?)=??+00:::::::??+0→???(?)??→?????????????????????????0???????????(?)=????(?)???+00?0??1,?<0,?=0,?????(?)=?????→0??(?)???????,+1,?>0.?????????????(?)?????????(?)?????????????00???????????????(?)????????(?)=????????>0?δ>0??????000<|???|<δ???|?(?)|≤??0???????????????(?)????????(?)=????>0???<0?????????00δ>0????0<|???|<δ????(?)>0???(?)<0??0?????????????(?)??→????→∞?????????????(?)???→???00?→∞????????::::::::????????????(?)???????????????|?|????????????????0?????????????????????δ???????????????0<|???|<δ??|?|>??????????(?)??????|?(?)|>??????0?(?)???→????→∞????????0:::::::::??????????????????(?)???????1???????????)?(?)???????(?)=0????????1?)??有界函數與無窮小的乘積是無窮小.如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B；))))A(3)若又有B?==.B?設有數列{x}和{y}.如果limx=A,limy=B,那么nnn(1)lim(x±y)=A±B；n(2)lim(x·y)=A·B；nn(3)當y??0時，limx=A.nnnyB【【例1】求limxx.例2】求lim3.2x12,定理(單調有界準則)單調有界數列必有極限.具體地說，單調增加且有上界或者單調減少且有下界的數列必有極限.定理(夾逼準則)對于數列{x}，{y}，{z}，若存在正整數n，當n>n時，有x≤y≤z，nnn00nnn且limx=limz=a，則limy存在且等于a.nnn對于函數極限，也有類似的準則.x??lim=1；x0()xlim1+=e.1x?x.【例】求lim1x02()x【例2】求lim1?1.x=0，lim為這個變化過βα記α和β為同一個自變量的變化過程中的無窮小量，且α程中的極限.12345.若lim=0，則稱β是比α高階的無窮小量，記作β=o(α).βα.若lim=∞，則稱β是比α低階的無窮小量.βα.若lim=c=?0，稱β與α是同階無窮小量.βα.若lim=c=?0，k>0，則稱β是關于α的k階無窮小量.βαk.若lim=1，則稱β與α是等價窮小量，記作α～β.同階無窮小量不一定βα是等價無窮小量.當x→0時，?????sinx～x.tanx～x.arcsinx～x.1?cosx～x.122(1+x)α?1～αx(α=0).?【例1】求limx.xx031x)3?.1例2】求lim2【10定義(連續)設函數y=f(x)在點x的某一鄰域內有定義，若limf(x)=f(x)，則稱函數f(x)在00x0點x連續.0::::ε?δ定義：f(x)在點x連續等價于?ε>0，?δ>0，當|x?x|<δ時，有00|f(x)?f(x)|<ε.0若limf(x)=f(x)存在且等于f(x)，即f(x)=f(x)，則稱函數f(x)在點x左連??00000?::::0續；若limf(x)=f(x)存在且等于f(x)，即f(x)=f(x)，則稱函數f(x)在點+0+000::xx+0→x右連續.0::::::定義(間斷)設函數f(x)在點x0的去心鄰域內有定義.若f(x)滿足下列情形之一：??在x=x0沒有定義；在x=x有定義，limf(x)不存在或者limf(x)存在但limf(x)=f(x0)，?0xxx000則稱f(x)在x=x不連續，x為f(x)的間斷點.00第一類間斷點：f(x)與f(x)均存在.?+00f(x).例如：f(x)=x1.x=1為f(x)的可去間斷點.可去間斷點滿足f(x)=?+02??10x1,≤0,x=0為f(x)的跳躍間跳躍間斷點滿足f(x)?f(x).例如：f(x)=?+002,x>0.斷點.第二類間斷點：f(x)，f(x)至少有一個不存在.?+00?+0π2?無窮間斷點滿足f(x)，f(x)至少有一個為∞.例如：f(x)=tanx.x=±為0f(x)的無窮間斷點.注意：tanx在x=±的左、右極限不相等.π2limtanx=+∞，limtanx=?∞.→?)?→?)+(π2(π2?振蕩間斷點滿足在該間斷點附近，函數值在某兩個有限的數值之間變動無限多次.例如：f(x)=sinx.x=0為f(x)的振蕩間斷點.定理設函數y=f[g(x)]是由函數u=g(x)與函數y=f(u)復合而成，U(x)?D.若函g0數u=g(x)在x=x連續，且u=g(x)，而函數y=f(u)在u=u連續，則復合0000函數y=f[g(x)]在x=x0也連續.【例】討論函數y=sinx的連續性.若兩者中存在不連續者，則復合函數的連續性不能確定.下面給出連續的例子.???內層不連續，外層連續，復合函數連續.內層連續，外層不連續，復合函數連續.內層不連續，外層不連續，復合函數連續.定義(最大值、最小值)對于在區間I上有定義的函數f(x)，若存在x∈I，使得對于任一x∈I都有0f(x)≤f(x)(f(x)≥f(x))，則稱f(x)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值).000::::::::::::::::定理(有界性與最值定理)在閉區間上連續的函數在該區間上有界且一定能取得它的最大值和最小值.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號(即f(a)·f(b)<0)，則在開區間(a,b)內至少有一點ξ，使f(ξ)=0.定理(介值定理)設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在這區間的端點取不同的函數值f(a)=A，f(b)=B，則對于A與B之間的任意一個數C，在開區間(a,b)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b).推論在閉區間[a,b]上連續的函數f(x)的值域為閉區間[m,M]，其中m與M依次為f(x)在[a,b]上的最小值與最大值.【例】證明方程x3?4x2+1=0在區間(0,1)內至少有一個根.定義(導數)設函數y=f(x)在點x的某個鄰域內有定義，當自變量x在x處取得增量?x00(點x+?x仍在該鄰域內)時，相應地，因變量取得增量?y=f(x+?x)?f(x)；000若當?x→0時，?y與?x之比的極限存在，則稱函數y=f(x)在點x處可導，0::::并稱這個極限為函數y=f(x)在點x處的導數，記為f′(x)，即00::::??xyf(x+?x)?f(x)0,f(x)=lim=lim0′0?x?0?0x??yfx也可以寫成y′|x，或()?.?xxxxxx0==00(2)(xμ)′=μx1(1)(C)′=0cosxsec2x(4)(cosx)=?sinx(3)(sinx)′=(5)(tanx)′=(7)(secx)′=′(6)(cotx)=?cscx′2secxtanx(8)(cscx)=?cscxcotx′(9)(a)=x′(>0,axlnaaa?(10)()=exex′(11)(logx)=′(>0,=1)(12)(lnx)′=a11axax(13)(arcsinx)′=1(15)(arctanx)′=(14)((16)(arccosx)=?′1√222arccotx)=?1′112xx)左導數f′(x)=lim；00h?00?xx)右導數f′(x)=lim.00+0h0+函數f(x)在點x處可導的充分必要條件是左導數與右導數都存在且相等.0【例】設f(x)可導，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，則f(0)=0是F(x)在x=0處可導的()(A)充分必要條件.(B)充分條件但非必要條件.(C)必要條件但非充分條件.(D)既非充分條件又非必要條件.函數y=f(x)在點x處的導數f′(x)在幾何上表示曲線y=f(x)在點00M(x,f(x))處的切線斜率，即00f(x)=tanα,′0其中α是切線的傾角.3.【例】求曲線y=x的通過點(0,?4)的切線方程2定理如果函數u=u(x)及v=v(x)都在點x具有導數，那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點x具有導數，且(1)(u±v)=u±v，′′′(2)(uv)=uv+uv，(3)u′=u′v′(v′′′()=0).?vv2【例】證明：(uv)′=u′v+uv′.???????=?(?)????????????!(?)=0????????=?(?)??1?????={?|?=?(?),?∈?}?????????1??1??)]!=?=.?1[?(?)???!???????=??????∈[?π,π]????????=?????????????????22(???????)=√?!112???????=?(?)????????=?(?)???=?(?)??????????=?[?(?)]???????????????????????????=?!(?)·?!(?)?=·.????????=?????????????????=?????1?????????????????????????????????????????????????????????=???????????????????????????????????????????=?????!?=(??))=???))?.()??????=?2?????(20)???????(?,?)=0??????(?)?????????????????????????????????+????=0??????????????"?=?(?),????????????(?)?ψ(?)????????!(?)=0???=ψ(?)%&??#$?????????????ψ!(?)?!(?)???????/.??2?=/=,==??2????????2??????2#$'(?2?????ψ(?)???(?)????ψ(?)?(?)?ψ(?)?(?)1!!!!2===·=·??2?????!(?)?(?)]![ψ(?)?(?)?ψ(?)?(?)!!!!.?(?)]3![??=??????),(?????????????????????=?(?)???=?(1?????)????????=?(?)??=?(?)??????????????????????????????????????????????????????????????:::::::::::??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????140?????????????????????????????????????????=?(?)????????????+???????????????00??=?(?+??)??(?)00??????=???+?(??),???????????????????=?(?)?????????????0::::????=?(?)?????????????????????????=????0:::::???=?(?)?????????????????????????=:::::::::::?!(?)???????????????????????????????=?????::::::::::::::???=?(?)?????????=?!(?)??.???????=?3??=2???=0.02?????????????=?(?)??????????(?,?)?????????????00????????????(?+??,?+??)??????????00?)??+?(??)???=?(?)????=?!(!?00???????→????→∞????????(?)??(?)?????????????)??????????????????????????????????:::::)?→?:(?→∞)???0?∞∞?????????????????????0??????????????→??????(?)??(?)????????????????????(?)??(?)?????(?)=0?!!!?)#??????#???????????)????(?)?!(?)?!(?)???=???.?(?)?????????∞????∞????????????????(?)=∞?????(?)=∞???????????????????(?)??(?)?????(?)=0?!!!?)#??????#??(?????)??)????(?)?!(?)?!(?)???=???.?(?)????x????∞?????(?)=∞??y????????????????????????∞??→????????????30??????????(?>0)???∞????????????????????(?)?????????????????????????????00????(?)!!?(?)=?(?)+?(?)(???)+0(???)+···!200002!()?(?0)?+(?)+?(),?????!0????(?)=?((???))??0????????????????????(?)????????(?)????+1?????????∈?(?)??000?(?)!!?(?)=?(?)+?(?)(???)+0(???)+···!200002!()?(?0)?+(?)+?(),?????!0??ξ)????(?)=(+1)??(?)1?ξ?+?0?????????0??=0???????????0=0?????????????!!(0)?(0)()??(?)=?(0)+?!(0)?+···+?2+···+?+?(?).?2!?!?????????????2??!??=1+?++···++?(?).2!3(1)??+(1)?,-????=??+···+??+???.223!?2,-?=1?+···+??+???.222!(2)!23(1)?1??(1+)=??(1+)?=1+++?···+?+?(?).23?(??+().(??··???+1)??????2+···+2!????????????????????????????????30????????????????????(?)?[?,?]?????(?,?)??????(?,?)??!(?)≥0????????????????(?)?[?,?]?????????????????!(?)≤0??????????????????????????????(?)????????????????(?)???????????????????(?)=2?3?9?2+12??3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(?)???????????????????????<??1212,-122?????????=()???????????????????????=()???????????????<>(1(2)2(2)2??????,-1?(?????122???????????????????(?)?[?,?]?????(?,?)????????(?,?)??!!(?)>0?????=?(?)?[?,?]????(?,?)??!!(?)<0?????=?(?)?[?,?]????????????=??????????????=?(?)???????????????????=?(?)????(?,?(?))000???????????????(?,?(?))????????00????????????????(?)???????????????????(?,?(?))????=?(?)000??????(?0)=0??????????????????(?)?????????????????(?)???!!00???????(?,?(?))??=?(?)??????!!(?)??????????000(?,?(?))???=?(?)????00????????????=?(?)?????????????(?)=0?!!00?(?)=0???(?,?(?))??=?(?)????!000??????????????(?)??0????????????(?)?!!?????(?)=0????????????????????????!!?!!(?)???????????????????????????????????????(?)!!0??????????????????????????(?,?(?))?000??????????????(?,?(?))?????00???????=?4??????????????(?)????????(?)????????????(?)??????000??,-?(?)<?(?)??(?)>?(?),00???(?)????(?)???????????????????????????0::::::::::::????????????????????:::::::::::???????(?)?????????????????!(?)=0.000??????????????????????????????????(?)????????????????(?,δ)????000?????∈(??,?)???(?)>0???∈(?,?+δ)???(?)<0???(?)?!!0000????????0?????∈(??,?)???(?)<0???∈(?,?+δ)???(?)>0???(?)?!!0000????????0??????∈(?,δ)???(?)?????????????(?)??????!00?????????????????????????????????????????????????(?