北京順義區南法信中學2023年高一數學理模擬試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.(5分)集合A={x|-2<x<2},B={x|0WxW2},則ACB=()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2]D.[0,2)

參考答案：

D

考點：交集及其運算.

專題：計算題.

分析：在數軸上表示A、B兩集合，再求交集.

解答：利用數軸，

.*.ACB={x|0Wx<2}

故選D

點評：本題考查交集及其運算.利用數軸進行集合的交、并、補混合運算直觀、形象.

2.設全集U=MUN={1,2,3,4,5},MA={2,4},則

N=()

A{1,2,3}B{1,3,5}C{1,4,5}D{2,3,4}

參考答案：

B

略

3.在等差數列口*}中,若%+4+%+%+%=450,貝|j%+%等

于

A.45B.75C.180

D.300

參考答案：

C

略

4.以線段AB：x+y—2=0(0WxW2)為直徑的圓的標準方程為()

A.(x+l)2+(y+l)2=2B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.(x+l)2+(y+l)2=8D.(x-l)2+(y-l)2=8

參考答案：

B

5.已知集合A={X|X2-2X-3<0},集合B={X|2*I>1},則?屈=()

A.[3,+8)B.(3,+8)c.(-8,-i]u[3,+8)D.(-°°,-1)U(3,

+8)

參考答案：

A

【考點】IF：補集及其運算；4B：指數函數的單調性與特殊點；74：一元二次不等式的解

法.

【分析】根據集合A是二次不等式的解集，集合B是指數不等式的解集，因此可求出集合

A,B,根據補集的求法求得CBA.

【解答]解：A={x|x2-2x-3<0}={x|-l<x<3},

B={x12x+1>1}={x|x>-1},

CBA=[3,+8).

故選A.

6.設函數f(x)在(-8,+oo)上是減函數，貝！J()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2+l)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2)<f(a)

參考答案:

B

【考點】函數單調性的性質.

【專題】函數的性質及應用.

【分析】配方法，先確定變量的大小關系，利用函數的單調性可得.

112

【解答】解：-a=(a-1)2+1>0,

a2+l>a.

?函數f(x)是(-8,+OO)上的減函數，

f(a2+l)<f(a).

故選B.

【點評】本題考查函數的單調性，涉及配方法的應用，屬中檔題.

7.函數f(x)=x2的大致圖象是()

參考答案：

A

【考點】函數的圖象；腰函數圖象及其與指數的關系.

【專題】函數的性質及應用.

【分析】篩選法：利用幕函數的性質及函數的定義域進行篩選即可得到答案.

1

【解答】解：因為-可<0,所以f(x)在(0,+8)上單調遞減，排除選項B、C；

又f(x)的定義域為(0,+8),

故排除選項D,

故選A.

【點評】本題考查塞函數的圖象及性質，屬基礎題，篩選法是解決選擇題的常用技巧，要

掌握.

8.下面程序輸入X=兀時的運算結果是（）

inputx

ifx<0then

y=-2；

else

ifx=0then

y=0；

else

y=2；

endif

endif

printy

end

A.~2B.0C.nD.2

參考答案:

D

9.在數列gj中，07=絹式。為非零常數），且前“項和為則實數￡的值

為（）

2_2

A.3B.3C.-1D.1

參考答案：

C

略

10.在aABC中，A=60°,B=75°,a=10,則c等于（）

IPV6

A.W2B.10V2C.3D,5>/6

參考答案：

C

【考點】正弦定理；余弦定理.

【分析】求出C,利用正弦定理直接求出C即可.

【解答】解：由題意，在aABC中，A=60°,B=75°,a=10,所以0180°-75°-

60°=45°.

10X當

c_a10注

根據正弦定理得：sinC-sinA,即c=~=3

故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

y=10g)a

11.若函數I5為減函數，則4的取值范圍是—

參考答案：

12.某學校有教師300人，其中高級教師90人，中級教師150人，初級教師60人，為了

了解教師健康狀況，從中抽取40人進行體檢.用分層抽樣方法抽取高級、中級、初級教

師人數分別為、、；

參考答案：

12.40.8

402222

—=—9Ox—=12.150x—=40.60x—=8

試題分析：抽取比例為30015,所以151515

考點：分層抽樣

13.已知直線3x+4y—3=0與6x+my+1=0互相平行，則它們之間的距離

是______________

參考答案：

14.已知集合”=他13},N={x|x=3a,afeA/；則

.

參考答案：

(0,1,3,9)

15.函數,=、碼G的定義域為，值域為.

參考答案：

[汨如+同

(i€Z)

[0,1]

由題意，可知smx之0,根據正弦函數圖象，得2丘三x=(2k+imkGZ),即函數丫的定義域為

|2kx(2k-Dz|(keZ),此時0三sinx三1,則函數y的值域為f0.I],從而問題可得解.

16.在aABC中，已知a=7,b=8,c=13,則角C的大小為.

參考答案：

2冗

~3~

【考點】余弦定理.

【分析】由題意和余弦定理可得cocC,由三角形內角的范圍可得.

【解答】解：?.?在△ABC中a=7,b=8,c=13,

2,,2_2

a+b-c

.,.由余弦定理可得cosC=2ab

72+82-132工

=2X7X8=-l,

2-

VCG(0,n),.\C=3

2-

故答案為：丁

0,訪有理教

17.狄利克雷是德國著名數學家，函數D(x)=1%*為無理數被稱為狄利克雷函數，下

面給出關于狄利克雷函數D(x)的五個結論：

①若x是無理數，則D(D(x))=0；

②函數D(x)的值域是[0,1]；

③函數D(x)偶函數；

④若T#)且T為有理數，則D(x+T)=D(x)對任意的xdR恒成立；

⑤存在不同的三個點A(x,,D(xi)),B(X2，D(x2)),C(x3,D(x3)),使得

△ABC為等邊角形.

其中正確結論的序號是.

參考答案：

②③④

【考點】分段函數的應用.

【分析】①，根據函數的對應法則，可得不管X是有理數還是無理數，均有f(f(x))

=1,從而可判斷①；

②，根據函數奇偶性的定義，可得f(X)是偶函數，可判斷②；

③，根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質，得f(x+T)=f(x),可判斷③；

返返返返

④，取X1=-3,X2=O,x3=3,可得A(3,0),B(0,1),C(-3,0),恰

好AABC為等邊三角形恰好構成等邊三角形，可判斷④.

【解答】解：①???當x為有理數時，D(x)=1；當x為無理數時，D(x)=0,

...當x為有理數時，D(D(x))=D(1)=1；當x為無理數時，D(D(x))=D(0)

=L

即不管X是有理數還是無理數，均有D(D(x))=1,故①不正確；

②???有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，

對任意xCR,都有D(-x)=D(x),故②正確；

③若x是有理數，則x+T也是有理數；若x是無理數，則x+T也是無理數，

???根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T,D(x+T)=D(x)對x￡R恒成立，故

③正確；

返返

④取xi二-3,X2=0,X3=3,可得D(xi)=0,D(X2)=1,D(X3)=0,

返返

.?.A(~,0),B(0,1),C(-3,0),恰好AABC為等邊三角形，故④正確.

即真命題是②③④，

故答案為：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(本小題滿分11分)如圖：PA_L平面ABCD,ABCD是矩形，PA=AB=1,PD與平面ABCD

所成角是30°,點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.

(1)求三棱錐E-PAD的體積；

(2)點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由;

(3)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PELAF

(4)當BE等于何值時，二面角P-DE-A的大小為45°.

參考答案:

/=2尸4s3=1尸4(J愈43)=g

(1)三棱錐E-上4。的體積3326.--3分

(2)當點E為3c的中點時，EF與平面FXC平行.

?.?在AF8C中，E、9分別為3C、尸8的中點，.?.￡9〃尸C又助＜Z平面

PAC,而尸Cu平面尸2c〃平面

PAC.......5分

(3)證明：:P4_L平面BEu平面4BCZ),

EBJ.P4.又EBLAB.ABC\AP=A,AB.為尸u平面尸43,._L平面哂

又,4Fu平面以5,

又尸/=/S=l,點尸是尸8的中點，AFLPB,

B

又PBc\BE=B,PB,BEu平面PBEAFI平面PBE

vPEu平?P63AFIPE......8分

(III)過工作4G_LD用于G,連尸G,又；DELP月,

則。EJ?平面24G,

則NFG4是二面角F-ZJE-4的平面角，

.?.NFGM=4夕，：尸。與平面/8CD所成角是3CT,.?.NF￡M=30*,

:.AD=超,PA=AB=\.

.\AG=l,DG=^2,設BE=x,則GE=x,CE=J-x,

在RMDCE中,(點+x)、(癢x)'+l\得BE=x=6->li.......11分

19.(12分)某學校900名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，抽

取其中50個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組［13,14L第二組［14,

15),--第五組［17,18］,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

(1)若成績小于14秒認為優秀，求該樣本在這次百米測試中成績優秀的人數；

(2)請估計學校900名學生中，成績屬于第四組的人數；

(3)請根據頻率分布直方圖，求樣本數據的眾數和中位數.

參考答案：

（I）樣本在這次百米測試中成績優秀的人數=1xO-06x50=3（人）

----（4分）

（II）學校900名學生中，成績屬于第四組的人數=1x0.32x900=288（人）

--------------（8分）

0=155

（III）由圖可知眾數落在第三組［15.16）,是2

因為數據落在第一、二組的頻率=lxO,06+lx0.16=0.22<0.5

數據落在第一、二、三組的頻率=1x096+1x0.16+1x0.38=0.6>0.5

所以中位數一定落在第三組05,16）中.

假設中位數是x,^^1X006+1X0.16+（X-15）X0.38=0.5

299

x=—?157368^1574

解得中位數19----------------------（12分）

rrr"C\I，1=---

20.已知a,6是同一平面內的兩個向量，其中a=（L2）,2且a+%與

垂直，⑴求&名；（2）求|a-b|,

參考答案:

解：(i)v(o+2b)±(2a-b)A(a+2b)?(2a-K)=0即:

_一.2

2a+3a*b-2b=0

又

:第=5.『同=；；g=?2

2

(2)解法

8e[0,用：.3=八

la-bl=(a-i)=a-2a*b+b=5+5+—=—

解法二：III，44

略

21.已知A={x|%2—QX+〃2-]9=0},B={xlx2—5X+6=0},C={x|x2+2x—8=0},且

0M(AC18),anc=0,求a的值.

參考答案：

?.?8={x|f-5x+6=0}={2,3},

。={獷+2無-8=0}={—4,2},

.?.由Anc=0知，-41A,2lA；

由0室(AAB)知，3eA.

*,-32—3a+〃2—19—0,解得〃=5或〃=—2.

當〃=5時，A={X|%2—5X+6=0}=B,與AAC=0矛盾