-2024學年潮州市饒平二中高一數學下學期開學考試卷卷面滿分150分，考試時間120分鐘2024.02一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合則（

）A． B． C． D．2．下列函數中，在定義域內既是單調函數，又是奇函數的是（

）A．B．C． D．3．以下四個命題中，是假命題的是（）A．若，且為銳角，則B．“”是“”的必要不充分條件C．若命題：，，則的否定為：，D．若，則4．函數圖象的大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

5．已知實數，則函數的零點所在的區間是（）A． B． C． D．6．已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．對于直角三角形的研究，中國早在商朝時期，就有商高提出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯才提出并證明了勾股定理．如果一個直角三角形的斜邊長等于5，則這個直角三角形周長的最大值等于（

）．A． B．10 C． D．8．已知是定義在上的奇函數，且，若，，則實數的取值范圍（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數，則（

）A．為偶函數 B．最小正周期為，在區間單調遞減C．最大值為2 D．圖象關于直線對稱10．對于給定的實數，關于實數的一元二次不等式的解集可能為（）A． B．C． D．11．已知定義在上的函數的圖象是連續不斷的，且滿足以下條件：；，當時，都有；.則下列選項成立的是（

）A．B．若，則C．若，則D．，，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數是定義在上的偶函數，并且當時，，那么.13．當（填入恰當的數）時，函數在上遞增．14．在中，已知邊上的高等于，當角時，；當角時，的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．求以下式子的值(1)；(2)16．（1）已知角終邊上有一點的坐標是，其中，求的值．（2）證明恒等式：．17．研究表明，過量的碳排放會導致全球氣候變暖等問題，因而減少碳排放具有深遠的意義．為了響應國家節能減排的號召，2023年某企業計劃引進新能源汽車生產設備．通過市場分析，全年投入固定成本2500萬元，每生產（單位：百輛）新能源汽車需另投入成本（單位：萬元），且如果每輛車的售價為5萬元，且假設全年內生產的車輛當年能全部銷售完．（注：利潤＝銷售額－成本）(1)求2023年的利潤（萬元）關于年產量x（百輛）的函數關系式；(2)當2023年的年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大？并求出最大利潤．18．已知函數（其中），將其圖象上所有的點向左平移個單位長度得到的新函數圖象關于原點對稱．(1)求所有可能取值組成的集合；(2)若函數在單調遞減，求在的值域．19．對于定義在區間上的兩個函數和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的．(1)若，，則與在區間上是否“友好”；(2)現在有兩個函數與，給定區間．①若與在區間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數與與在區間上是否“友好”．1．D【分析】根據題意，解一個一元二次不等式和一個一元一次不等式即得集合，再利用集合的交集定義即得.【詳解】由集合中不等式可解得：，即,由集合中函數有意義，可得：，，即，則.故選：D.2．A【分析】根據解析式可直接判斷出單調性和奇偶性.【詳解】對于A：為奇函數且在上單調遞增，滿足題意；對于B：為非奇非偶函數，不合題意；對于C：為非奇非偶函數，不合題意；對于D：在整個定義域內不具有單調性，不合題意.故選：A.3．D【分析】由同角三角函數的關系驗證選項A；根據包含關系結合充分條件必要條件的定義判斷選項B；由特稱命題的否定判斷選項C；由不等式的性質判斷選項D.【詳解】對于選項A：若，則，由為銳角，，解得，故A選項為真命題；對于選項B：因為是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件，故B選項為真命題；對于選項C：由特稱命題的否定可知：的否定為：，，故C選項為真命題；對于選項D：若，則，，故D選項為假命題.故選：D.4．A【分析】結合指數函數單調性以及特殊點即可判斷.【詳解】由題意，所以當時，單調遞增，且，當時，單調遞減，且，且當從左邊趨于0時，趨于，當從右邊趨于0時，趨于1.故選：A.5．B【分析】利用零點存在定理即可判斷出函數的零點所在的區間.【詳解】實數，在定義域上遞增，則，，，，，則，則函數在內必有零點.故選：B6．C【分析】利用誘導公式化簡得，再利用齊次式代入求值即可.【詳解】因為，所以得則故選：C7．C【分析】先由勾股定理得，再利用基本不等式易得，由此得到，問題得解.【詳解】不妨設該直角三角形的斜邊為，直角邊為，則，因為，所以，即，當且僅當且，即時，等號成立，因為，所以，所以該直角三角形周長，即這個直角三角形周長的最大值為.故選：C.8．D【分析】利用所給條件求出的最小正周期，再轉化到給定的函數值求范圍即可.【詳解】由，是定義在上的奇函數，可得，故的最小正周期為4，且已知，故，，，已知，則，解得.故選：D9．ABD【分析】先由，再利用函數的奇偶性定義判斷.【詳解】解：因為的定義域為，又，且，所以為偶函數，故A正確,的最大值為，故C錯誤；當時，，故的圖象關于對稱，故D正確.的最小正周期為，且當時，，結合余弦函數的單調性可得在上為減函數，故B正確，故選：ABD.10．CD【分析】對進行分、和討論即可.【詳解】當時，此時解集為；當時，此時解集為；當時，此時解集為；故選：CD.11．ACD【分析】根據函數的單調性，奇偶性以及最值的應用，對每個選項進行注意判斷，即可選擇.【詳解】因為函數定義在上的函數，所以由：，得函數為偶函數．又因為由知：，，當時，都有，所以函數在上單調遞減．對：因為函數為偶函數，所以，而函數在上單調遞減，因此，即，故正確；對：因為定義在上的偶函數在上單調遞減且連續，且，所以，解得或，故錯誤；對：因為，函數為偶函數，所以．因為函數為偶函數，在單調遞減，當時，令，解得；當時，令，解得，所以由，得或，故正確；對：由知：是函數的最大值，因此，，使得，故正確.故選：．12．【分析】根據題意，結合對數的運算，以及，即可求解.【詳解】由函數是定義在上的偶函數，且時，，又由.故答案為：.13．1（答案不唯一，只需即可）【分析】由題意可知：的單調遞增區間為，結合單調性分析求解.【詳解】因為的單調遞增區間為，若函數在上遞增，則，可取.故答案為：1（答案不唯一，只需即可）.14．##【分析】第一空：由銳角三角函數結合兩角和的正切公式即可得解；第二空：注意到，結合基本不等式得，由此即可進一步得到，注意取等條件是否成立.【詳解】設為邊上的高，所以，如圖所示：又因為，所以，又，所以，，，所以；因為，，又，所以垂足落在線段上，故都是銳角，所以均大于0，因為，即，等號成立當且僅當，所以；所以，因為，所以，所以當且僅當時，有.故答案為：；.【點睛】關鍵點睛：第二空的關鍵是發現，由此結合基本不等式以及兩角和的正切公式即可得解.15．(1)(2)【分析】（1）根據指、對數運算求解即可；（2）根據兩角和差公式運算求解即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.16．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據角終邊上的點坐標求、，進而求即可；（2）利用二倍角正余弦公式、同角的弦切關系，即可證恒等式.【詳解】（1）當時，點到原點的距離為，由三角比的定義得：，，∴；（2）證明：．17．(1)(2)100百輛，最大利潤為1800萬元．【分析】（1）根據給定的函數表達式結合利潤的求法即可得到函數關系；（2）分和,再分別利用二次函數的性質和基本不等式求出其最值，再比較即可.【詳解】（1）∵∴當時，，當時，．故（2）由（1）得當時，，∴；當時，，當且僅當，即時等號成立，故．∵，故當2023年的年產量為100百輛時，該企業所獲利潤最大，最大利潤為1800萬元．18．(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變化得，進一步得是奇函數，由此得，結合即可得解.（2）由復合函數單調性得，且，結合得，進一步得函數，結合余弦函數有界性分析求解.【詳解】（1）由題意，將其圖象上所有的點向左平移個單位長度得到的新函數解析式為，由題意是奇函數，則，解得，且，所以所有可能取值組成的集合為.（2）由（1）可知：或，而時，有，且關于單調遞增，若函數在上關于單調遞減，由復合函數單調性可知或在上單調遞減，可得，且，即，解得，又因為，則，所以，因為，則，可得，所以在的值域為．19．(1)與在區間上是“友好”的(2)①；②答案見解析【分析】（1）按照定義，只需判斷在區間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設存在實數，使得與與在區間上是“友好”的，即，即，只需求出函數在區間上的