第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第4課時(shí)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似的判定定理；2.掌握利用兩角來判定兩個(gè)三角形相似的方法；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3.掌握判定兩個(gè)直角三角形相似的方法.問題1

觀察學(xué)生與老師的直角三角板（30°與60°），會(huì)相似嗎？測(cè)量一下，得出你的猜想.觀察與思考導(dǎo)入新課問題2兩個(gè)人畫出兩個(gè)三角形，使三個(gè)角分別為60°，45°,75°.①分別量出兩個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)度；②這兩個(gè)三角形相似嗎?講授新課如圖，△ABC與△A′B′C′中，∠A=∠A′,∠B=∠B′，探究下列問題：（1）請(qǐng)你借助刻度尺度量AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的長(zhǎng)，并計(jì)算出它們的比值.由此，你能得到什么？CAA'BB'C'合作探究?jī)山欠謩e相等的兩個(gè)三角形相似一我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形是相似的（2）試證明△ABC∽△A′B′C′.

證明：在△ABC的邊AB（或AB的延長(zhǎng)線）上，截取AD=A′B′，過點(diǎn)D作DE//BC，交AC于點(diǎn)E，則有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE由此得到相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

如圖，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC.

AEFBCD證明:∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.

∴△ADE∽△EFC.（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）練一練典例精析例1.如圖，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°,∠E=80°

,∠F=60°

．求證：△ABC∽△DEF.

AFECBD證明：∵在△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵在△

DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.

∴△ABC∽△DEF（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）.例2

如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P,求證:PA·PB=PC·PD.證明:連接AC，DB.∵∠A和∠D都是弧CB所對(duì)的圓周角∴∠A=_______同理∠C=_______∴△PAC∽△PDB∴______

即PA·PB=PC·PD∠D∠B如圖，

∠ABD=∠C,AD=2，AC=8，求AB的長(zhǎng).

ABCD解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，

∴△ABD∽△ACB.∴AB:AC=AD:AB.∴AB2=AD·AC.∵AD=2，AC=8，∴AB=4.做一做判定兩個(gè)直角三角形相似二如圖，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°.CAA'BB'C'探究歸納根據(jù)前面的判定定理，不難得知當(dāng)

或

時(shí)，Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'.∠A=∠A′∠B=∠B′由此得到一個(gè)判定直角三角形相似的方法：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.思考：對(duì)于兩個(gè)直角三角形，我們還可以用“HL”判定它們?nèi)龋敲矗瑵M足斜邊和一直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似嗎？如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,

.求證:Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.CAA'BB'C'目標(biāo)：證明：設(shè)____________=k.由

，得

∴∴＿＿＿＿＿＿＿＿∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.勾股定理CAA'BB'C'由此得到另一個(gè)判定直角三角形相似的方法：斜邊和一直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.當(dāng)堂練習(xí)1．如圖，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，則圖中相似三角形共有(

)A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)C證明：∵△ABC的高AD、BE交于點(diǎn)F，∴∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE

=∠BFD(對(duì)頂角相等).∴△FEA

∽△FDB，∴2.如圖，△ABC

的高AD、BE交于點(diǎn)F．求證：

3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6,AD=2,則AC=.

BD=.

BC=.18

DBCA4.如圖，∠1=∠2=∠3，求證：△ABC∽△ADE．證明：∵∠BAC=∠1+∠DAC

,∠DAE=∠3+∠DAC，∵∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC

，∠E=180°－∠3－∠AOE.

又∵∠DOC=∠AOE（對(duì)頂角相等），∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE

兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似利用兩角判定三角形相似課堂小結(jié)直角三角形相似的判定27.2.1相似三角形的判定第4課時(shí)1.理解定理“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”；2.能靈活地選擇定理判定相似三角形.這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小有什么a關(guān)系？三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定相似嗎？三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等.觀察你與老師的直角三角尺,相似嗎？畫一個(gè)三角形，使三個(gè)角分別為60°，45°,75°.①分別量出兩個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)度；②這兩個(gè)三角形相似嗎?即：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形_______．相似一定需三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等嗎？相似三角形的判別方法：如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．如果兩個(gè)三角形僅有一對(duì)角是對(duì)應(yīng)相等的，那么它們是否一定相似嗎？

CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用數(shù)學(xué)符號(hào)表示：相似三角形的判別(兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.)【例1】弦AB和CD相交于⊙o內(nèi)一點(diǎn)P，求證：PA·PB=PC·PD.ABCDPO證明:連接AC、BD∵∠A、∠D都是所對(duì)的圓周角，∴∠A=∠D.同理:∠C=∠B.∴△PAC∽△PDB.即PA·PB=PC·PD.【例2】如圖所示，在兩個(gè)直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判斷這兩個(gè)三角形是否相似．

C'B'A'CBA解析：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），∴△ABC∽△A′B′C′（兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．）ABCED在△ABC中，D、E分別是AB、AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE∥BC，試說明△ABC與△ADE相似．解析:

∵DE∥BC（已知）∴∠AED＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠EAD＝∠CAB.（對(duì)頂角）∴△ADE∽△ABC.（兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩個(gè)三角形相似.）ABCDEABCDE21OCBADOCDABABCDE常見的相似圖形ABDC圖11.填一填（1）如圖1，點(diǎn)D在AB上，當(dāng)∠

＝∠

時(shí)，

△ACD∽△ABC.（2）如圖2，已知：點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足

條件

，就可以使△ADE與原△ABC相似.ABCE圖2ACD

B

(或者∠ACB＝∠ADC)DE//BCD(或者∠C＝∠AED)(或者∠B＝∠ADE)2．如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的長(zhǎng)．解析：∵DE:EA=2:3∴DE：DA=2：5∵EF∥AB∴△DEF∽△

DAB∴DE：DA=EF：AB2：5=4：ABAB=10CD=103.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，試說明△ADE∽△EFC.AEFBCD解析:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（兩直線平行同位角相等）∠AED＝∠C.（兩直線平行同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．）解析：

∵∠A=∠A，∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2，AC=8∴AB=4.4.已知如圖，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB.ABCD解析：（1）△ABC與△FOA相似,因?yàn)橹本€l垂直平分線段AC，所以∠AFO=∠CFO=∠BAC，又∠AOF=∠ABC＝90°，所以△ABC與△FOA相似.（２）四邊形AFCE是菱形，⊿AOE≌⊿COF，所以AE＝CF，又AE＝CE，AF＝CF，所以，