學考專題09平面向量考點歸納考點歸納向量的概念相等向量：大小相等，方向相同相反向量：大小相等，方向相反單位向量：模長為1的向量零向量：長度為0，方向任意，規定：0向量與任意向量平行（垂直）共線向量：平行向量向量的加減法（1）向量加法的三角形法則，平行四邊形法則+=+=（2）向量的減法向量的運算兩點間的向量坐標公式：，，終點坐標始點坐標向量的加減法，，向量的數乘運算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數量積向量的夾角向量的投影向量的平行關系向量的垂直關系向量模的運算真題訓練真題訓練一、單選題1．（2023·廣東·高三學業考試）化簡：（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據向量的線性運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】根據向量的線性運算法則，可得.故選：D.2．（2023·廣東·高三統考學業考試）在平行四邊形ABCD中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量的加減法法則可求出結果.【詳解】在平行四邊形中，．故選：B．3．（2023·廣東·高三統考學業考試）在四邊形ABCD中給出下列四個結論，其中定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據向量的運算法則對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，因為，而不一定相等，所以C不正確；對于D，，故D正確.故選：D.

4．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）在△ABC中，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據平面向量的線性運算即可得出答案.【詳解】解：.故選：D.5．（2023·廣東·高三學業考試）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用向量線性運算的坐標表示求解作答.【詳解】因為向量，，則故選：C6．（2023·廣東·高三統考學業考試）已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據向量平行的運算規則計算x，再根據向量的加法法則求解.【詳解】，，.故選：A.7．（2023·廣東·高三學業考試）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量數量積的坐標表示公式直接進行求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：A8．（2023·廣東·高三學業考試）已知平面向量，，且，則（

）A． B．2C．1 D．0【答案】B【分析】根據平面向量垂直的坐標表示可得答案.【詳解】因為，所以，可得.故選：B.9．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）在中，，為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】根據向量數量積為0可得，即可得出結論.【詳解】解：因為，所以，則在中，，，所以為直角三角形.故選：A.10．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）已知向量，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據向量數量積的坐標運算公式和向量模的坐標運算公式進行計算即可.【詳解】由題意得，.

故選：C11．（2023·廣東·高三統考學業考試）已知向量，則（）A．(4，3) B．(5，1)C．(5，3) D．(7，8)【答案】B【分析】根據向量的坐標運算即得.【詳解】∵，∴．故選：B.12．（2023·廣東·高三統考學業考試）設都是單位向量,且,則向量,的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據等式將移到另一端,兩邊同時平方,由都是單位向量可求出,的夾角.【詳解】解析:由,可知,故,∴.設,的夾角為,即,又,∴.故選::A13．（2023·廣東·高三統考學業考試）已知向量，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量加法的坐標運算計算．【詳解】由題意，故選：B．14．（2023·廣東·高三統考學業考試）已知向量，，若，則銳角α為（

）A．30° B．60° C．45° D．75°【答案】A【分析】利用向量平行列方程，即可求出銳角α.【詳解】因為，所以sin2α，∴sinα＝±．又α為銳角，所以α＝30°．故選：A15．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）已知平面向量，且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】由等價于，即可計算出答案.【詳解】因為，所以解得：，故選：D.16．（2023·廣東·高三學業考試）已知平面向量，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據平面向量的共線的坐標表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，因為，可得，解得.故選：A.17．（2023·廣東·高三統考學業考試）已知向量，不共線，若，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線【答案】B【分析】利用向量的線性運算、向量的共線的充要條件進行求解判斷.【詳解】對于A，因為，，若A，B，C三點共線，則存在實數使得，則，無解，所以A，B，C三點不共線，故A錯誤；對于B，∵，∴，又∵A是公共點，∴A，B，D三點共線，故B正確；對于C，因為，，所以，若A，C，D三點共線，則存在實數使得，又，所以，無解，所以A，C，D三點不共線，故C錯誤；對于D，若B，C，D三點共線，則存在實數使得，又，，所以，無解，所以B，C，D三點不共線，故D錯誤；故選：B.二、填空題18．（2023秋·廣東佛山·高三統考學業考試）已知向量，若，則．【答案】【分析】根據平面向量數量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數量積的坐標表示，設，，注意與平面向量平行的坐標表示區分．19．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）已知向量．若，則．【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.20．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）已知向量，滿足，，則.【答案】【分析】先根據求出，故求出，求出【詳解】，所以，因為，所以，所以，，所以故答案為：21．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）已知向量與的夾角為，且，，則的值為．【答案】－6【分析】由數量積的定義計算．【詳解】．故答案為：．22．（2023·廣東·高二統考學業考試）已知向量，且，則【答案】【分析】根據向量平行的坐標表示即得.【詳解】因為，且，所以由，解得．故答案為：.23．（2023·廣東·高三統考學業考試）已知向量和的夾角為，，，則.【答案】【分析】利用平面向量數量積的定義可求得的值.【詳解】由平面向量數量積的定義可得.故答案為：.24．（2023·廣東·高三學業考試）已知向量，，若，則．【答案】4【分析】由向量數量積的垂直表示求解即可.【詳解】因為，所以，得.故答案為：.25．（2023秋·廣東·高三統考學業考試）已知，滿足，，，則與的夾角的余弦值為.【答案】【分析】直接利用平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】解：設與的夾角為，因為，，，所以，所以與的夾角的余弦值為．故答案為：.26．（2023·廣東·高三統考學業考試）若等邊三角形ABC的邊長為4，E是中線BD的中點，則【答案】1【分析】根據平面向量的加減表示，利用一組基底表示向量，結合數量積的運算性質，可得答案.【詳解】∵等邊三角形ABC的邊長為4，E是中線BD的中點，，∴，.∴.故答案為：.27．（2023·廣東·高三學業考試）已知向量滿足，，，則與的夾角的余弦值為.【答案】【分析】根據題意，結合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】因為向量滿足，，且，可得，所以與的夾角的余弦值為.故答案為：28．（2023·廣東·高三統考學業考試）在中，，，，是所在平面內任意一點，則的最小值是.【答案】【分析】利用余弦定理和勾股定理可知，以為坐標原點建立平面直角坐標系，設，利用平面向量的坐標運算可將所求式子化為，由此可確定最小值.【詳解】由余弦定理得：，，即.以為坐標原點可建立如下圖所示的平面直角坐標系：則，，，設，，，，，，，，即的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數量積的最值的求解問題，解決此類問題通常可以采用建立平面直角坐標系的方式，利用平面向量的坐標運算來進行求解.29．（2023·廣東·高三統考學業考試）已知、、為圓上的三點，若，則與夾角的大小為.【答案】/【分析】作出圖形，連接、，分析四邊形以及的形狀，可得出結果.【詳解】連接、，如下圖所示：因為，則四邊形為平行四邊形，因為，則平行四邊形為菱形，因為，故為等邊三角形，所以，，故，即與夾角的大小為.故答案為：.三、解答題30．（2023