湖南省部分學校2024屆高三上學期第三次聯考數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

;且，則p的否定是（）

1.已知命題p：3x￡（。」）,%'

3

A.Vxe(O,l),*3彳金B.*e(O,l),Vwg

D.Vxg(O,l),VN#

C.Vxe(O,l),

2.定義集合A+3==已知集合4={4,8},B={1,2,4},貝UA+3

的元素的個數為（）

A.3B.4C.5D.6

3.已知函數〃尤）=33-2》-^的圖象在x=a（a>0）處的切線的斜率為左①），則（）

A.左（。）的最小值為6B.左（。）的最大值為6

C.左（。）的最小值為4D.左⑷的最大值為4

4.已知某公司第1年的銷售額為。萬元，假設該公司從第2年開始每年的銷售額為上

一年的1.2倍，則該公司從第1年到第11年（含第11年）的銷售總額為（）（參考數

據：取1.2"=7.43）

A.35.15〃萬元B.33.15〃萬元C.34.15。萬元D.32.15〃萬元

5.設函數的定義域為R,且/（x+1）是奇函數，〃2x+3）是偶函數，則（）

A.〃O）=OB."4）=0C."5）=0D./（-2）=0

6.設//0,g],且tana+tan〃=—則（）

I2JI2Jcosp

ITTTTT7C

A.2a+jff=^B.=1C.2/3-a=^D.2/3+a=-

7.已知函數〃彳）=儂[一曰，g（x）=sin^4x+^,貝廣曲線y=/（x）關于直線x="

對稱”是“曲線y=g（x）關于直線工="對稱”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.對稱性是數學美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能給人以美感，激

發學生對數學的興趣.如圖，在菱形ABCZ）中，ZABC=120°,AB=2,以菱形ABC。

的四條邊為直徑向外作四個半圓，P是四個半圓弧上的一動點，若。P=2ZM+〃￡＞C,

則彳+〃的最大值為（）

C.5D.-

2

二、多選題

9.已知函數/(x)=lg]——x+貝IJ()

A.的最小值為1B.HxeR,f(l)+/(x)=2

C./(log92)>/^D./(嚴

10.若正項數列｛%｝是等差數列，且%=5,則（）

A.當。3=7時，。7=15B.%的取值范圍是［5/5）

C.當%為整數時，%的最大值為29D.公差”的取值范圍是（0,5）

11.若函數“X）的定義域為。，對于任意網W。，都存在唯一的馬使得

〃%）/伍）=1，則稱"X）為“A函數”，則下列說法正確的是（）

A.函數/（x）=ln尤是“A函數”

,、1,、1

B.已知函數/（%）,冗j的定義域相同，若/（x）是“A函數”，則而y也是“A函

C.已知/（x）,g（x）都是“A函數”，且定義域相同，則〃x）+g（x）也是“A函數

冗冗

D.已知機＞0,若〃”=〃z+sin尤，xe-萬，5是“A函數"，則加=夜

12.定義在（0,+s）上的函數〃x）的導函數為（⑴，〃》）＞0且

礦（無）［/（尤）丁-尤］恒成立，則（）

A.7（1）/（2）［/（1）-1/（2）］＞/（1）-/（2）

B.Vae（0,-Hx＞）,函數y=/［）+/］）（*＞。）有極值

試卷第2頁，共4頁

C.〃1)〃2)〃1)W"2)一”2)

D.3?e（0,+1%＞）,函數y="^+4~式無＞。）為單調函數

三、填空題

13.設向量AB=（尤,2x）在向量AC=（3,~4）上的投影向量為—AC,則彳=.

14.若cos2a=j,貝!Jsin3a=.

四、雙空題

15.若關于x的不等式f+7a＜（7+a）x的解集恰有50個整數元素，則。的取值范圍

是,這50個整數元素之和為

五、填空題

16.如圖，已知平面五邊形ABCDE的周長為12,若四邊形AB/組為正方形，且BC=CD,

則當△BCD的面積取得最大值時，AB=.

六、解答題

17.ABC的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知acosB-2Z?cosA=b+c.

⑴求tanA；

（2）若“=J萬，A5c的面積為2e，求ABC的周長.

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，24,底面ABCD,底面ABC。為正方形，PA=AB,

E,F,M分別是尸8,CD,尸。的中點.

p

⑴證明：瓦7/平面B4D

⑵求平面4WP與平面EMF的夾角的余弦值.

19.已知數列｛%｝滿足q+4產+幺士爺烏++q+。2：+%=.2".

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵求數列的前〃項和S..

20.某商場在6月20日開展開業酬賓活動.顧客憑購物小票從6?20這15個號碼中依

b

次不放回地抽取2個號碼，第1個號碼為m第2個號碼為4設X是不超過士的最大

a

整數，顧客將獲得購物金額X倍的商場代金券(若X=0,則沒有代金券)，代金券可

以在活動結束后使用.

(1)已知某顧客抽到的a是偶數，求該顧客能獲得代金券的概率；

(2)求X的數學期望.

Q3

21.以坐標原點為對稱中心，坐標軸為對稱軸的橢圓過點C(0,-l),D(-1-7.

(1)求橢圓的方程.

⑵設尸是橢圓上一點(異于C。)，直線「CPD與x軸分別交于M,N兩點.證明在無軸

上存在兩點AB，使得是定值，并求此定值.

1

22.已知函數/(,=e「+lnx-j有兩個零點再，號*

(1)求。的取值范圍；

(2)證明：xl+x2>2a.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.A

【分析】根據題意，由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結果.

【詳解】因為命題玄40,1),丁邛，則其否定為Vxe(O,l),/邛.

故選：A

2.B

【分析】根據題中條件，直接進行計算即可.

【詳解】因為A={4,8},3={1,2,4},

所以A+B={1,2,4,8},故A+3的元素的個數為4.

故選：B.

3.C

【分析】求導，結合基本不等式即可求解.

【詳解】Z：(?)=r(?)=9fl2+-4-2>2^9-2=4,當且僅當/=!時，即”走時，等號

a93

成立，所以的最小值為4.

故選：C

4.D

【分析】根據題意，由條件可得數列{q}(i=L2,,11)是首項為a,公比為1.2的等比數歹U，

結合等比數列的前w項和公式，代入計算，即可得到結果.

【詳解】設第4，=1,2,,11)年的銷售額為為萬元，

依題意可得數列{4}。=1,2,,11)是首項為a,公比為1.2的等比數列，

則該公司從第1年到第11年的銷售總額為4-'n)="(L2"-1)=。(743-1)=32.15°萬

1-1.20.20.2

元.

故選：D

5.C

【分析】由奇函數、偶函數的性質求解即可.

【詳解】因為/(x+1)是奇函數，所以〃T+1)=—〃X+1),則/⑴=0.

答案第1頁，共14頁

又/（2x+3）是偶函數，所以〃—2x+3）=〃2x+3）,所以〃5）=/（1）=0.

故選：C.

6.A

【分析】根據同角三角函數關系式及兩角和的正弦公式及誘導公式對題中條件進行化簡，即

可求得.

【詳解】因為tana+tan〃=—'■三，

cosp

—,sinasinB1

所以——+—R—5，

cosacospcosp

所以sinacos尸+cosasin夕=cosa,

即sin（a+4）=sin—a].

又般（0,,,

所以a+分■一a,即2a+4=]

或a+/?+]-a=7c,即尸=]（舍去）.

故選：A.

7.A

【分析】分別求出兩個函數的對稱軸的集合，利用兩個集合的關系即可判斷.

【詳解】令加一5=4兀（匕￡Z）,得根=看+左1兀（匕￡Z）,

所以曲線＞=〃%）關于直線％=合+勺兀（占￡Z）對稱.

令4根+看=]+左2兀（左2GZ）,得根=限+號氏化GZ）,

所以曲線產g（x）關于直線》=合+竽化eZ）對稱.

因為｛根|根=合+用兀（用eZ）｝｛m\m=^+^（k2eZ）｝

所以“曲線y=〃x）關于直線x=m對稱”是“曲線y=g⑺關于直線x=m對稱”的充分不必要

條件.

故選：A.

8.A

【分析】就4+〃=。和X+4W0分類討論，后者可根據對稱性只需考慮尸在對應的半

答案第2頁，共14頁

圓弧上，前者4+〃Wl,后者九+〃21,而后者可建系處理.

【詳解】連接AC.

若;1+必=0,貝!jop=XD4-XOC=/lCA，

若力不為零，則。尸//CA，這與題設矛盾，若%為零，則尸與。重合.

若X+〃力0,貝=￡>C,

%+〃A+//A+//

設^—DA+-^—DC=DS,故DP=(/+〃)DS,且S,A,C三點共線.

由對稱可知只需考慮尸在A。,AB對應的半圓弧上.

當尸在AD對應的半圓弧上(除。外)時，S總在。尸的延長線上，

故此時幾+〃W1.

當尸在A3對應的半圓弧上，S總在DP之間，故此時彳+〃21

建立如圖所示的平面直角坐標系，

則A（-L0）,AC:y=^x+^-,D（0網,

設P（cos6,sin。）（一直<^<0）,

當6?=一］時，|os|=|x^=竽，而|DP|=I+G,

答案第3頁，共14頁

,1+A/33+65

止匕時〃=亞=^<.

當"3時’則":”,

行一sin62月

y=-------------x+

cos6r

由■可得尤

s=^3G-sing'

)=在X+W---1-------

333cos。

點ccq6+6-sin。

2石

r

DP\

綜上,I=i

max

故選：A

【點睛】思路點睛：與向量的線性表示有關的最值問題中，如果考慮基底向量前系數的和的

最值，則可利用三點共線構造系數和的幾何意義，這樣便于求最值.

9.ACD

【分析】根據對數函數的單調性即可求解AB,由二次函數的性質，結合對數的運算，即可

求解CD.

2

【詳解】〃x)=lg+10>lgio=l,當且僅當x時，/(X)取得最小值1,A正

確.

因為當且僅當X=；時，〃X)取得最小值，且最小值為1,所以"1)>1,所以/⑴+“X)>2,

B錯誤.

答案第4頁，共14頁

因為。<1幅2=獸<獸=；,所以loggZ-；>；，又且“X）在上單

1g91g832632612）

調遞減，在:+小單調遞增，所以川咀2）>小，C正確.

因為9°」=3°2〉3°」8〉1,所以9°」一2>3°」8>3,所以，D正確.

222

故選：ACD

10.ABC

【分析】對于A根據等差數列的定義求出公差d的值，即可求出的；又數列｛瑪｝是正項等差

數列，根據q=5-d>0,及d，0,即可求出公差d的取值范圍，繼而可以判斷BCD.

【詳解】當。3=7時，公差d=2,%=%+44=7+8=15,A正確.

因為｛〃,｝是正項等差數列，所以q=5-d>。，即d<5,且d》。,

所以公差d的取值范圍是[0,5）,D錯誤.

因為%=5+24,所以。4的取值范圍是設,15）,B正確.

%=5+5de[5,30）,當％為整數時，%的最大值為29,C正確.

故選：ABC.

11.BD

【分析】題干給出了“A函數”的定義，按照定義，判斷函數是否是“A函數”，其中一定注意

/（力NO在定義域中恒成立，選項中不正確的舉出反例，正確的嚴格按照“A函數”的定義證

明即可.

【詳解】對于選項A,當王=1時，〃不）=0,此時不存在巧，使得〃王）/（%）=1.A不

正確;

對于選項B,由/'（￡）,黃J的定義域相同，若/（X）是“A函數”，則對于任意當e￡>,都存

在唯一的使得/（七）/伍）=1，則對于任意占eD,都存在唯一的使得

111

Tw-Tw,所以面也是“函數"?B正確；

對于選項C,不妨取f(x)=x,g(x)」,XG(0,+oo),令尸(x)=/(尤)+g(x)=x+222,

九X

則尸&）/（馬）》4,

答案第5頁，共14頁

故f(x)+g(x)不是“A函數”.C不正確;

兀兀

對于選項D,因為/(%)=m+sinx,xe,是“A函數”，

所以/+sin%wO在上恒成立.又機>0,所以加一1>0,且(m+sin玉)(m+sin%2)=l,

TTTTTTTT|

即對于任意玉￡，都存在唯一的馬￡一：，不，使得、皿/二一「m,

22J|_22Jm+smxj

因為加一1?加+sin的<m+1,所以一--------m<—^---m,

m+1m+sinx{m—1

艮|J--——m#sinx---一m

m+12m-1

--------m>-1

'"J解得，〃=0.D正確.

由,

--------m<1

、m-l

故選：BD

12.AD

1

【分析】法一：構造函數g(x)=W+(尤>。)，考查其單調性，可判斷B,D;利用其單

f(x)

調性知g(l),g(2)的大小關系可判斷A,C；法二：取〃x)=Mx>0),逐項驗證即可.

〃元)+

【詳解】解法一：設函數g(x)=如>°)

X

4(元)一/(X)礦(無)"(X)了一［〃切3一曲,(同

則g'(x)=<0,

."⑺丁叩(”了

所以g(x)在(。,+⑹上單調遞減，故B錯誤，D正確.

從而g⑴〉g(2),即半+擊〉卓+病，

因為/(x)>0,所以/(1)>0,f(2)>0,

所以/。)/(2)/(1)-1/(2)>/(1)-/(2),故C錯誤，A正確.

解法二：取〃x)=x(x>0),滿足/(x)>0且礦(x)[”切2一無2[切\則

/(1)/(2)[/(1)-1/(2)]>/(1)-/(2),

答案第6頁，共14頁

f（x\a

3aG（0,+8）,函數+（x>0）為單調函數.

X〃尤）

故選：AD.

【點睛】關鍵點睛：構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.

13.1

【分析】利用向量在向量上的投影向量計算公式建立方程，解出即可.

【詳解】向量AS=（x,2x）在向量AC=（3,T）上的投影向量為

ABACAC3尤一8尤“八則_g=3x-8x

—i——j—,?——?=-------------AC解得x=l.

ACAC2525

故答案為：1.

14,在2出

99

【分析】根據同角關系以及二倍角公式，和差角公式即可求解.

【詳解】因為a]。,]],所以力40,兀），所以sin2c=Jl-（cos2a）2=當，

因為cos2c=2cos2￡-l=：,所以cosa=底，sina=—,

3I2；33

所以sin36r=sin（2cr+a）=sin2acosa+cos2asina=?

故答案為：—

9

15.H4,T3）（57,58]-925或1625

【分析】討論。的范圍，解出不等式，結合題意確定。的范圍及解集中的整數解，再利用等

差數列求和公式求和即可.

【詳解】不等式d+7a<（7+a）x等價于不等式（X-4）（X-7）<0.

當。=7時，（*-。）（》一7）<0的解集為0,不合題意；

當a<7時，（x-a）（x-7）<0的解集為（a,7）,

則50個整數解為-43,-42,5,6,

所以-44<a<~43,這50個整數元素之和為1絲=一925；

2

當a>7時，（x-a）（x—7）<。的解集為（7,4）,

則50個整數解為8,9,56,57,所以57<aV58,

答案第7頁，共14頁

這50個整數元素之和為（8+57）x50=1625.

2

綜上，。的取值范圍是[T4,T3）（57,58],這50個整數元素之和為-925或1625.

故答案為：[T4,-43）（57,58]；-925或1625

,,27-3V17

io.-------------

8

【分析】根據幾何關系構造函數關系式利用導數求函數的最值.

【詳解】過點C作C尸，雙），垂足為設AB=X（尤＞0）,則3D=AE=OE=x,

3

VBC=CD,：.3AB+2BC=12,則8C=6——尤，

2

由3c＞0,8C+CD＞BD,得0＜x＜3.

在△BCF中，CF='BC2-BF?=j2d-18x+36-

記△3CD的面積為S,則S=.CP=走一9二+18尤2.

22

設函數=x4-9x3+18x2,貝ij/r(x)=4x3-27x?+36x=x(4x2-27x+36),

令/⑺=0,得x=0或尤=27±;S當0＜彳＜27一冊時,用x）＞。；

當27-:如＜了＜3時,/，（力＜0.故當x=27一;后時,取得最大值,

則S取得最大值，此時42=27-3四.

故答案為：27-3a.

8

【點睛】利用導數求最值的方法就是先求出函數的極值，若極值有多個，則需要比較各極值

與端點值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值；若函數只有一個極大（小）值,

則這個極大（小）值就是函數的最大（小）值.

17.(1)tanA=-2^2

答案第8頁，共14頁

(2)5+717

【分析】(1)根據正弦定理得cosA=-g,從而求得tanA；

(2)根據面積公式和余弦定理即可求得ABC的周長.

【詳解】(1)因為acos5-2Z?cosA=Z?+c,所以由正弦定理可得

sinAcosB—2sinBcosA=sinB+sinC.

XsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以一3sin5cosA=sin5.

因為sinBwO,所以cosA=-g.

又A￡(O,TI),所以sinA=2f,tanA=-2^2-

(2)ABC的面積S=」/?csinA=——be=2A/2?貝!|Z?c=6.

23

24

由余弦定理：/=b2+c2-2bccosA=b2+c2+—Z?c,得(b+c)9=a2+—be=25,

所以A+c=5,故.ABC的周長為5+JF7.

18.(1)證明見解析

*

【分析】(1)取B4的中點N,證明及7/DN后可得線面平行；

(2)以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，用空間向量法求二面角.

【詳解】(1)證明：取外的中點N,連接EN,DN,因為E是尸2的中點，所以EN//AB,

EN=~AB.

2

又底面ABC。為正方形，P是CD的中點，所以EN//DF,EN=DF,所以四邊形ENZ加為

平行四邊形，所以EF//DN.

因為所仁平面以，ZWu平面B4。，所以廝〃平面B4D

(2)以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，

不妨設AB=2,則磯1,0,1),尸(1,2,0),40,0,2),D(0,2,0),M(0,1.1).

答案第9頁，共14頁

從而EM=(-1,1,O),=AF=(1,2,0).

為+2%=0

設平面AMP的法向量為加=(3,%,zj,則'n'令X=1,得〃z=(-2,l,-l).

%+=0

x2+y2-z2=0

設平面EMF的法向量為〃=(/,%,z?),則工_n，令為=1,得〃=(1,1,2).

一工2+>2=0

故平面與平面EMF的夾角的余弦值為g.

19.(l)a?=n(n+3)-2,rf

(2)S?=(?+2)-2"-1-l

【分析】(1)根據遞推關系作差即可求解，

(2)根據錯位相減法即可求和.

【詳解】(1)當〃=1時，％=2.

當〃22時，“1+的++"■=".2"--1).2“T=(〃+1)?2"T,

n

即％+/++a“=力(〃+1),2"?,

當”=1時，上式也成立，

當〃=1時，也符合4=〃(〃+3>2"-2,所以4=〃5+3).2'-2.

答案第10頁，共14頁

(2)由(1)知冬=("+3)?2"-2.

n

Sn=4x2^+5x2°++(〃+3>2”-2,

2S?=4x2°+5x21+.+5+3)?2"T,

貝Ij—S”=2+(2°+2++2"-2)一(〃+3)?2"T=2+(2'T一1)一(〃+3)?2"T=—(〃+2)?2"一+1,

所以S“=e+2)2"T—1.

20.(1)1

⑵H

【分析】（1）由條件概率公式求解即可；

（2）求出X的可能取值及其對應的概率，再由數學期望公式求解即可.

【詳解】（1）當&>。時,該顧客能獲得代金券.設、是偶數”為事件A,為事件8,

(2。-6)+(2。-8)++(2。-18)工」

''A：21015

4

8x143所以可叫力磊

P(4=15

82

15

所以當顧客抽到的a是偶數時，該顧客能獲得代金券的概率為g.

（2）X可能的取值為0,\,2,3.

當X=0時，b<a,貝i]P（X=0）=；.

當X=1時，a+l<b<2a—l,若々211,貝！Ja+l<Z?<20.

對每一個。，6有20-a種不同的取值，則（a,6）共有9+8++1=45種可能的取值.

若6VaV10,對每一個a,b有。一1種不同的取值，貝l]（a,6）共有5+6+7+8+9=35種可能

的取值，

所以尸"=1）=尋=1.

均5"I

當X=2時，2aV6V3。-1.

若aN7,則2a<6V20.對每一個a,b有21—2。種不同的取值，貝U（冬。）共有7+5+3+1=16

答案第11頁，共14頁

種情況.

/、73小\16+611

若。=6,貝也2Wb<17,(a,6)共有6種可能的取值.所以尸(X=2)=^^=加.

A］、1UD

當X=3時，3a4644a-1,(a⑼只有(6,18),(6,19),(6,20)這3種情況，所以

P(X=3)=—=—.

'721070

衣18111

以E(X)—n0x—F14x----F2ox------F3ax—=-1-3--3-——19.

')2211057021030

21.(1)^-+/=1;

⑵證明見解析，定值為-12.

【分析】(1)根據給定條件，設出橢圓方程，利用待定系數法求解即得.

(2)設出點P,A,8的坐標，利用向量共線探討出點M,N的坐標，再求出并確定

A,3的坐標，再計算即得.

q=i

【詳解】⑴設橢圓方程為*+〃=],貝！?649?解得P=W,

——p-\----q=1

〔25254=1

丫2

所以橢圓的方程為2+V=L

4

則CM=OM，D,CP=(%,%+1),由CM〃CP，得尤“(%+1)=々，而%+13°，于是%=——>

十］

83833383

+

DN=(XN+-,-),DP=(X0+-，3；0+-),同理(/++-)=-(^O~)而為+1w。，于是

3

一3%—8%

則7VA=(根—----,0),MB=(n--,0)

%+|%+】

答案第12頁，共14頁

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..襁=("上)(加-5*一5%)=(伙+"%)(5〃%+8%+3所3%),

%+1v+。(%+1)(5%+3)

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令5沖0+8%+3瓶=-3伙-3〃，而？(%，%)是橢圓上的動點，則5切+8=-3〃3m=-3〃，得

n=4,m=-49

于是地?NA=Hij[=-3[(