第七章復數（知識歸納+題型突破）1.了解數系的擴充過程；2.理解復數的概念、表示法；3.掌握復數的分類及復數相等的充要條件.4.理解可以用復平面內的點和向量來表示復數及它們之間的一一對應關系；5.掌握實軸、虛軸、模等概念以及用向量的模來表示復數的模的方法.6.通過對復數的幾何意義的學習，培養學生數學抽象、數學運算、數學建模等數學素養.7.掌握復數的代數形式的加、減運算及其幾何意義。8.掌握復數代數形式的乘法和除法運算，培養數學運算的核心素養；9.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律，提升數學運算的核心素養。知識點1：復數的概念（1）復數的概念我們把形如的數叫做復數,其中叫做虛數單位,滿足.全體復數所構成的集合叫做復數集.復數的表示:復數通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復數的實部與虛部.（2）復數相等在復數集中任取兩個數，，（），我們規定.知識點2：復數的分類對于復數(),當且僅當時,它是實數；當且僅當時,它是實數0；當時,它叫做虛數；當且時,它叫做純虛數.這樣,復數()可以分類如下:知識點3：復數的幾何意義（1）復數的幾何意義——與點對應復數的幾何意義1：復數復平面內的點（2）復數的幾何意義——與向量對應復數的幾何意義2：復數平面向量知識點4：復數的模向量的模叫做復數)的模，記為或公式：，其中復數模的幾何意義：復數在復平面上對應的點到原點的距離；特別的，時，復數是一個實數，它的模就等于(的絕對值).知識點5：共軛復數（1）定義一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數；虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.（2）表示方法表示方法：復數的共軛復數用表示，即如果，則.知識點6：復數代數形式的加法運算及其幾何意義（1）復數的加法法則設，，（）是任意兩個復數，那么它們的和：顯然：兩個復數的和仍然是一個確定的復數（2）復數加法的幾何意義如圖，設在復平面內復數，對應的向量分別為，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即：，即對角線表示的向量就是與復數對應的向量.所以：復數的加法可以按照向量的加法來進行.知識點7：復數代數形式的減法運算及其幾何意義（1）復數的減法法則類比實數集中減法的意義，我們規定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復數叫做復數減去復數的差，記作注意：①兩個復數的差是一個確定的復數；②兩個復數相加減等于實部與實部相加減，虛部與虛部相加減.（2）復數減法的幾何意義復數 向量知識點8：()的幾何意義在復平面內,設復數，（）對應的點分別是，,則.又復數.則,故，即表示復數在復平面內對應的點之間的距離.知識點9：復數代數形式的乘、除法運算（1）復數的乘法法則我們規定，復數乘法法則如下：設,是任意兩個復數，那么它們的乘積為，即（2）復數的除法法則（）由此可見，兩個復數相除（除數不為0），所得的商是一個確定的復數.知識點10：共軛復數的性質設，（）①；②為實數；③且為純虛數④；⑤，，題型一：復數的有關概念例題1．（2024·吉林白山·統考一模）復數，則的虛部為（

）A． B． C．2 D．例題2．（2024·全國·高一假期作業）復數，則（

）A．的實部為 B．的虛部為C．的實部為 D．的虛部為例題3．（2023下·上海奉賢·高一校考期末）“”是“復數是純虛數”的（

）條件.A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分又不必要鞏固訓練1．（2024上·云南昆明·高三云南師大附中校考階段練習）已知，則的虛部是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高一假期作業）下列關于復數的說法一定正確的是（

）A．是虛數 B．存在x使得是純虛數C．不是實數 D．實部和虛部均為13．（2023上·廣東湛江·高二校考階段練習）已知復數，則的實部是（

）A．2 B．0 C． D．題型二：復數的相等例題1．（2024·全國·高一假期作業）已知是虛數單位，，則（

）A． B． C．2 D．例題2．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）設，則復數的模為（

）A． B． C．1 D．例題3．（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習）已知復數，，則．鞏固訓練1．（2024上·安徽·高三合肥市第八中學校聯考開學考試）已知，則（

）A．1 B． C．3 D．2．（2023上·四川成都·高三校考階段練習）設，其中是實數，則（

）A．1 B． C． D．23．（2024·全國·高一假期作業）設復數滿足，則.題型三：復數比較大小例題1．（2024·全國·高一假期作業）已知，．若，則的值為（

）A．2 B．3 C．2或3 D．不存在例題2．（2022·高一課時練習）復數，，若，則實數m=，對應的點位于第象限.鞏固訓練1．（2024·全國·高一假期作業）設為復數，若，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·高一課時練習）已知復數，(a，b∈R)，若，則的取值范圍是.題型四：復數分類例題1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）已知復數滿足，，若為純虛數，則（

）A．0 B． C．1 D．2例題2．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）設復數，，當為時，為純虛數.例題3．（2023下·新疆省直轄縣級單位·高一校考期末）實數取什么數值時，復數分別是：(1)實數？(2)純虛數？鞏固訓練1．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習）若，則“”是復數“為純虛數”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·陜西咸陽·校考模擬預測）已知復數是純虛數，則實數的值為（

）A． B．1或6 C． D．13．（2023上·青海玉樹·高三校考階段練習）已知復數．當實數取什么值時，復數是：(1)虛數；(2)純虛數；題型五：復數的模例題1．（2024上·重慶長壽·高三統考期末）設復數，則復數的共軛復數的模為（

）A．7 B．1 C．5 D．25例題2．（2023上·北京·高三中關村中學校考階段練習）在復平面內，復數對應的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學校考階段練習）.鞏固訓練1．（2023·廣東·校聯考二模）（

）A． B． C．3 D．2．（2023上·上海松江·高三統考期末）已知復數（其中是虛數單位），則3．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學校考階段練習）已知，則.題型六：復數模的最值問題例題1．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯考階段練習）已知復數滿足，當的虛部取最小值時，（

）A． B． C． D．例題2．（2023下·陜西咸陽·高二校考期中）已知，，則的取值范圍為.例題3．（2023下·內蒙古呼和浩特·高一內蒙古師大附中校考期末）對于給定的復數，若滿足的復數對應的點的軌跡是圓，則的取值范圍是.鞏固訓練1．（2023下·河南鄭州·高一校聯考期中）已知復數z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．2．（2023下·廣東廣州·高一校考期中）已知，且，為虛數單位，則的最小值是.3．（2023下·安徽淮南·高一淮南第三中學校考期末）已知復數滿足條件，則的最大值為.題型七：復數的四則運算例題1．（2024·陜西寶雞·統考一模）已知復數，為z的共軛復數，則在復平面表示的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知復數的共軛復數為，且，則（

）A． B．1 C．2 D．3例題3．（2024·全國·高三專題練習）若復數，則（

）A． B． C．4 D．5鞏固訓練1．（2024·全國·模擬預測）若，則等于（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高三專題練習）若復數，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·高一假期作業）實數滿足，則．題型八：共軛復數例題1．（2024上·全國·高三階段練習）復數滿足（為虛數單位），則的共軛復數的虛部是（

）A． B．1 C．i D．例題2．（2024上·云南·高二統考期末）復數（為虛數單位），則復數的共軛復數為（

）A． B． C． D．例題3．（2024上·遼寧丹東·高三統考期末）復數，則（

）A． B．C． D．鞏固訓練1．（2024·全國·模擬預測）已知復數，則（

）A． B． C． D．2．（2024上·河南周口·高三統考階段練習）已知復數滿足，則的共軛復數（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西榆林·統考一模）設，則（

）A． B．C． D．題型九：待定系數法求復數例題1．（2024上·重慶·高三統考期末）已知復數，若，則（

）A． B． C． D．例題2．（2024·全國·高三專題練習）若復數滿足，則（為虛數單位）的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知為虛數單位，且，則的最大值是．鞏固訓練1．（2024上·吉林白城·高三校考階段練習）若復數滿足為純虛數，則（

）A．3 B． C． D．32．（2024·四川成都·石室中學校考模擬預測）若復數R)滿足，其中為虛數單位，則（??）A． B． C． D．3．（2024·全國·高三專題練習）若復數滿足，則．題型十：一元二次方程的復數根例題1．（2023下·湖南·高二臨澧縣第一中學校聯考期中）若復數為方程（m，）的一個根，則該方程的另一個根是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·高一單元測試）定義：若，則稱復數是復數的平方根.根據定義，復數的平方根為（

）A．， B．，C．， D．，例題3．（2023·上海·高三專題練習）已知