2023~2024學年度第一學期九年級數學科中段考試卷（時間100分鐘，滿分120分）一、單項選擇題（每小題3分，共36分）1.把化為一般形式，得（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，根據一元二次方程的一般形式為，即可解答．【詳解】解：把化為一般形式，得：，故選：A．2.拋物線的對稱軸為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質，熟練運用對稱軸公式．也可以運用配方法寫成頂點式求對稱軸．先根據拋物線的解析式得出、的值，再根據其對稱軸方程即可得出結論．【詳解】解：拋物線中，，對稱軸是直線．故選：B．3.點關于原點的對稱點為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了了關于原點對稱的點的坐標．根據兩點關于原點對稱，則兩點的橫、縱坐標都是互為相反數，可得答案．【詳解】解：點關于原點的對稱點為，故選：C．4.下列方程中有實數根的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查根的判別式，一元二次方程（a≠0）的根與有如下關系：①當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當時，方程無實數根．熟知此部分知識是解題關鍵．分別計算出每個方程根的判別式的值，再進一步判斷即可．【詳解】解：A．此選項方程根的判別式，此方程沒有實數根，不符合題意；B．此選項方程根的判別式，此方程沒有實數根，不符合題意；C．此選項方程根的判別式，此方程沒有實數根，不符合題意；D．此選項方程根的判別式，此方程有兩個不相等的實數根，符合題意；故選：D．5.把化為頂點式，得（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數的頂點式形式，熟練掌握二次函數的頂點式是解題關鍵．直接用配方法將二次函數解析式化成頂點式即可求解．【詳解】解：，故選：B．6.下列車標，不是中心對稱圖形的為（）A.H B.N C.W D.X【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，根據把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，對四個選項進行分析．【詳解】解：選項A、B、D均能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，選項C不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，故選：C．7.已知，有兩等實根，則（）A.4 B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．根據一元二次方程根的判別式等于0，即可求得的a值．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數根，∴，解得，故選：D．8.如圖為，則（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數決定拋物線的開口方向和大?。寒敃r，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；②一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置：當與同號時（即，對稱軸在軸左；當與異號時（即，對稱軸在軸右．（簡稱：左同右異）③常數項決定拋物線與軸交點．拋物線與軸交于．【詳解】解：拋物線開口向下，與軸交點在軸的上方，，，，，故選項A正確；故選：A．9.將點順時針轉，所得的點為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查坐標與圖形的性質、旋轉變換等知識，解題的關鍵是理解題意，數形結合．點在第一象限，到原點的距離為，將它順時針旋轉，所得的點在第四象限，且到原點的距離為，由此就可得到所求點的坐標．【詳解】解：將點繞順時針旋轉90°，所得的點在第四象限，到原點的距離為，因而該點的坐標為．故選：A．10.若的，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查因式分解法解一元二次方程，由一元二次方程的兩根分別為，，得到，根據二次項系數為1可得答案．【詳解】解：關于的一元二次方程的兩根分別為，，．故選：B．11.如圖的拋物線的解析式為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查待定系數法求二次函數解析式，由圖知拋物線頂點：，故設，又因為交軸于，代入解析式即可．【詳解】解：圖知拋物線頂點：，故設，又拋物線交軸于，，解得：，拋物線解析式為：，故選：C．12.直線關于原點對稱的直線為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了關于原點的點的坐標，掌握關于原點對稱的點的特征是解答本題的關鍵．若兩條直線關于原點對稱，則這兩條直線平行，即值不變；與軸的交點關于原點對稱，即值互為相反數．【詳解】解：直線關于原點對稱的直線為．故選：D．二、填空題（每小題4分，共16分）13.的根為__________．【答案】，．【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程直接開平方法，方法是根據平方根的意義開平方即可得出答案．【詳解】解：，，．故答案為：，．14.將拋物線向右平移4個單位長度，所得的拋物線為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查二次函數圖象的平移．熟練掌握平移規律，是解題的關鍵．根據平移規律，左加右減，進行解題即可．【詳解】解：拋物線向右平移4個單位長度得：；故答案為：．15.若，__________．【答案】2【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程和分式的求值，先解方程，再把在值代入式子計算即可．【詳解】解：，，解得，．故答案為：2．16.將拋物線繞原點旋轉，所得的拋物為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象的旋轉變換，在繞拋物線頂點旋轉過程中，二次函數的開口大小和頂點坐標都沒有變化，繞其頂點旋轉后，拋物線的開口方向相反．根據關于原點對稱的兩個點的坐標關系直接寫出函數解析式即可．【詳解】解：將拋物線繞原點旋轉，所得的拋物為，整理得：；故答案為：三、解答題（本題滿分68分）17解方程（1）（2）【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，（1）利用解一元二次方程因式分解法進行計算，即可解答；（2）利用解一元二次方程公式法進行計算，即可解答．【小問1詳解】解：，，，或，，；【小問2詳解】，整理得：，，，，．18.設．（1）求曲線與y軸的交點．（2）求曲線與x軸的交點．（3）作出大致圖象（三點法）．【答案】（1）二次函數圖象與軸的交點坐標是（2）圖象與軸的交點坐標為，（3）畫圖見解析【解析】【分析】本題考查的是二次函數基本知識，涉及到函數與坐標軸的交點、二次函數圖象．（1）令得：，即可得到二次函數圖象與軸的交點坐標；（2）令，即，解方程可得答案，（3）利用描點法畫二次函數圖象．小問1詳解】解：∵∴當時，這個二次函數圖象與軸的交點坐標是．【小問2詳解】令，即，解得：，圖象與軸的交點坐標為，．【小問3詳解】列表………00…描點畫圖如下：．19.如圖，等邊繞點B旋轉角度，得到．（1）若順時針旋轉，則多大？（2）旋轉完成后，與誰重合？【答案】（1）（2）與重合．【解析】【分析】（1）由旋轉的性質可得，可得；（2）由旋轉的性質可得．本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．【小問1詳解】解：是等邊三角形，，，等邊繞點旋轉角度，得到，，，；【小問2詳解】，與重合．20.在關于x的方程中，求證：（1）若，則原方程有實根．（2）若a與c異號，則原方程有兩異實根．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．（1）證明根的判別式即可；（2）證明根的判別式即可．【小問1詳解】證明：若，則方程為，，原方程有實根；【小問2詳解】證明：、異號，，，，原方程有兩異實根．21.面積為2的正方形，如圖．（1）寫出A、B、C、D的坐標．（2）把邊繞某點旋轉到與重合，怎么轉？（3）將邊平移到與重合，怎么平移？【答案】（1），，，；（2）線段繞點順時針旋轉與線段重合；（3）把線段先向右平移1個單位，再向下平移1個單位與線段重合．【解析】【分析】（1）先求出正方形的邊長，進而可得出的長，據此得出結論；（2）根據，兩點的坐標即可得出結論；（3）根據兩點的坐標即可得出結論．本題考查的是點的坐標、平移與旋轉，熟知各坐標軸上點的坐標特點是解題的關鍵．【小問1詳解】解：正方形的面積為2，，，，，，，，；【小問2詳解】邊繞某點旋轉到與重合，，，線段繞點順時針旋轉與線段重合；【小問3詳解】邊平移到與重合，，，把線段先向右平移1個單位，再向下平移1個單位與線段重合．22.頂點為且過原點的拋物線，如圖所示．（1）求其解析式．（2）動矩形的頂點B、C在拋物線上，A、D在x軸上，設，矩形的周長為l，求l隨t變化的函數關系式．若l有最值，求之，否則說明理由．【答案】（1）（2）當時，有最大值10．【解析】【