3.3拋物線（精練）1．（2023春·陜西西安）已知為拋物線上一點，則的焦點坐標為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】將點的坐標代入拋物線的方程可得，解得，所以，拋物線的方程為，其焦點坐標為.故選：D.2．（2023春·河南省直轄縣級單位·高二校考階段練習）拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是（

）A． B． C． D．0【答案】B【解析】設，由拋物線方程化為，得焦點，準線，由拋物線定義可得，解得，故選：B.3．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學校考模擬預測）已知直線與拋物線，則“與只有一個公共點”是“與相切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當“與只有一個公共點”時，如圖，直線與拋物線的對稱軸平行，與拋物線只有一個公共點，但是此時與不相切.所以“與只有一個公共點”是“與相切”的不充分條件；當“與相切”時，與只有一個公共點，所以“與只有一個公共點”是“與相切”的必要條件.綜上，“與只有一個公共點”是“與相切”的必要不充分條件.故選：B4．（2023春·上海虹口·高二上海市復興高級中學校考期中）已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【解析】點在拋物線上，易知當直線斜率不存在時不滿足；當直線斜率時，易知滿足條件；當直線斜率存在且時，設直線方程為，即，，整理得到，，，解得，直線方程為.綜上所述：滿足條件的直線有2條.故選：C5．（2023春·安徽滁州·高二統考期末）拋物線的焦點為F，點，P為拋物線上的動點，則的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．【答案】A【解析】如圖，過點P作PH垂直于準線，垂直為H，根據拋物線的定義，所以當A，P，H三點共線時最小，此時.故選：A．

6．（2023·河北滄州·統考三模）設P為拋物線C：上的動點，關于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，

因為，且關于P的對稱點為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點，所以.當P在線段AF上時，取得最小值，且最小值為.故選：A7．（2023·北京·北京四中校考模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，設準線與軸交點為

拋物線的焦點為，準線：又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，則，所以拋物線的方程為.故選：C.8．（2023·全國·高三專題練習）拋物線的焦點是F，點A是該拋物線上一點，O是坐標原點，的外接圓的圓心在C上，且該圓周長等于，則p的值是（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】設的外接圓的圓心為，設外接圓的半徑為，則，解得，則，根據拋物線的定義及圓心B在C上得，即，又圓心在的垂直平分線上，則，所以，即，故選：B.9．（2023·全國·高三專題練習）設點F是拋物線的焦點，l是該拋物線的準線，過拋物線上一點A作準線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準線l于點C，若，，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，所以可得，由拋物線的定義得所以是等邊三角形，所以，所以拋物線的方程是．故選：B10．（2023春·四川成都）截至2023年2月，“中國天眼”發現的脈沖星總數已經達到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學校科技小組制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】如圖，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，建立平面直角坐標系，則設拋物線的方程為，由題可得拋物線上一點，代入拋物線方程可得，所以，即拋物線方程為，則拋物線的焦點坐標為，故頂點到焦點的距離為.故選：A.11．（2023秋·全國·高三校聯考開學考試）過拋物線的焦點的直線交于兩點，若直線過點，且，則拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為直線過點，所以直線的方程為.由得，.

設，則.因為，整理得，解得，所以拋物線的準線方程是.故選：D.12．（2023秋·高二課時練習）直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．3【答案】C【解析】設A，B兩點的坐標為，，將直線方程與拋物線方程聯立得，則，解得，由已知得，解得或（舍去）．故選：C.13．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中）已知拋物線，直線交該拋物線于兩點．若線段的中點坐標為，則直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，，故，由于線段的中點坐標為，故由拋物線對稱性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直線的斜率為.故選：C14．（2023·重慶渝中）（多選）已知拋物線的焦點在直線上，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由于焦點在直線上，則當焦點在y軸上時，令，所以焦點坐標為：，設方程為，由焦點坐標知，所以拋物線的方程為：當焦點在x軸上時，令，所以焦點坐標為：，設方程為，由焦點坐標知，所以拋物線的方程為：，故選：BC.15．（2023春·廣西河池·高二統考期末）（多選）已知拋物線的焦點在直線上，直線與拋物線交于點（為坐標原點），則下列說法中正確的是（

）A．B．準線方程為C．以線段為直徑的圓與的準線相切D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【解析】對于A中，由直線，可化為，可得直線過定點，因為拋物線的焦點在直線上，可得，則，所以A正確；對于B中，由拋物線的準線方程為，所以B錯誤；對于C中，過點作準線的垂線，垂足分別為，的中點為點，過點作準線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對于D中，設，聯立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.16．（2023春·江西九江·高二校考期末）（多選）已知拋物線的焦點為，其準線與軸相交于點，經過點且斜率為的直線與拋物線相交于點，兩點，則下列結論中正確的是（

）A．B．C．的取值范圍是D．時，以為直徑的圓經過點【答案】AD【解析】由題意可得：拋物線的焦點為，準線，則，設直線的方程為，，，聯立方程得，消去得，可得，解得且，故Ｃ錯誤；則，故A正確；可得，易知同號，所以，故B錯誤；因為，，所以，當時，，此時為直角，即以為直徑的圓經過點，故D正確.故選：AD.

17．（2023春·陜西安康·高二校考期中）已知點，點在拋物線上運動，點在圓上運動，則的最小值.【答案】4【解析】設圓心為，則為拋物線的焦點．設，則，要使最小，則需最大，，且，，當且僅當，即時取等號，的最小值是4．故答案為：4．

18．（2023秋·高二單元測試）已知是拋物線上的動點，點在軸上的射影是點，點的坐標是，則的最小值為．【答案】【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，延長交準線于點，如圖所示．根據拋物線的定義知，，所以，當且僅當點為線段與拋物線的交點時，等號成立．

故答案為：.19．（2023·上海虹口·華東師范大學第一附屬中學校考三模）已知是拋物線的焦點，P是拋物線C上一動點，Q是曲線上一動點，則的最小值為．【答案】【解析】由拋物線，可得焦點坐標為，準線方程為，又由曲線，可化為，可得圓心坐標為，半徑，過點作，垂足為，過點作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，根據拋物線的定義，可得，要使得取得最小值，只需使得點與重合，此時與重合，即，當且僅當在一條直線上時，所以的最小值為.故答案為：.20．（2023春·廣東韶關·高二校考階段練習）有一個隧道內設雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為m.【答案】3.8【解析】由題意，如圖建系：則，，，，如圖可設，拋物線方程為，將代入，可得，求得，故拋物線方程為，將代入拋物線方程，可得，.故答案為：3.8.21．（2023春·安徽·高二統考期末）已知拋物線的焦點為，過的動直線與拋物線交于兩點，滿足的直線有且僅有一條，則．【答案】2【解析】設交點坐標為，過的直線為，與拋物線聯立可得，，故．，故當時，動直線有且僅有一條，即，故．故答案為：2.22．（2023春·四川資陽·高二統考期末）已知拋物線：的焦點為，過點作的一條切線，切點為，則的面積為【答案】/【解析】過點作的一條切線，該切線的斜率必定存在，可設為，則切線方程為：，由可得即，所以，故，所以，而，故的面積為.

故答案為：23．（2023·高二課時練習）已知點P是曲線上任意一點，，連接PA并延長至Q，使得，求動點Q的軌跡方程．【答案】【解析】設動點Q的坐標，點P坐標，，因為，所以，，可得，，代入得，整理得，所以動點Q的軌跡方程為．24．（2023秋·重慶·高二校聯考期末）已知拋物線的焦點為，到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求拋物線的標準方程；(2)過動點作拋物線的切線（斜率不為0），切點為，求線段的中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：雙曲線的一條漸近線為，又拋物線的焦點的坐標為，

由題可得：，解得，故拋物線方程為：.（2）解：設過點與拋物線相切的直線方程為，聯立拋物線方程可得，則，又，則，所以，，

設點的坐標為，則，即，代入，可得，又，故；則點的軌跡方程為：.25．（2023春·廣東深圳·高二校考期中）已知拋物線的焦點為.(1)求；(2)過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，若求直線方程.【答案】(1)4(2)或【解析】（1）解：根據題意，拋物線的焦點為，可得，所以.（2）解：由（1）知，拋物線方程為，因為直線與拋物線交于兩點，所以直線斜率不為，又由焦點為，可設所求直線方程為，聯立方程組，整理得，則，設，可得，則又因為，即，解得，即，所以所求直線方程為或.1．（2023·福建三明）設拋物線焦點為，準線與對稱軸交于點，過的直線交拋物線于，兩點，對稱軸上一點滿足，若的面積為，則到拋物線準線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】假設焦點在軸上，不妨設拋物線方程為，由題意得，，若過點的直線斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，設過點的直線方程為，，與拋物線聯立得，設，則，因為，設，則，即，將代入中得，，如圖所示，可知，，因為∽，所以，故，即，解得，則到拋物線準線的距離為，

假設焦點在軸上，不妨設拋物線方程為同理可得，故到拋物線準線的距離為，綜上，到拋物線準線的距離為.故選：B2．（2023春·安徽滁州·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，當點在第一象限時，過點分別向準線作垂線，垂足為，作，垂足為，則軸，設，則，，由拋物線的定義得，則有，在中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，，，∴，于是直線l的傾斜角為，斜率．當點在第四象限時，根據拋物線的對稱性可得斜率為.故選：D．3．（2023·江西贛州）已知拋物線C：的焦點，直線與該拋物線交于A，B兩點（點A在第一象限），以AB為直徑的圓E與拋物線C的準線相切于點D.若，則點E到y軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】過作垂直于準線為

拋物線的焦點為，所以，即，拋物線為準線方程為，設直線的方程為，與拋物線的方程聯立，可得，設,，,，可得，則，所以的中點為，，由圓與準線相切，可得，兩邊平方，化簡可得，即直線的方程為，可得直線經過焦點，則由圓與準線相切于，可得，由準線，且，可得，即，由，可得，即有，，直線的斜率為，所以，則所以點E到y軸的距離為.故選：D.4．（2023春·云南楚雄·高二統考期末）過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】因為圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，而拋物線的通徑與軸垂直，所以圓的這條通徑與軸垂直，且圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，因為圓的圓心為，半徑為，所以該圓與軸垂直的通徑的右端點為，即拋物線經過點，則，即.故選：C.

5．（2023春·內蒙古·高二校聯考期末）已知A，B，M，N為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點F，O為坐標原點，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨設，且．因為的面積為，所以，代入拋物線的方程可得，則．又因為直線過點，所以直線的方程為：，化簡可得：．由，得，所以，則．直線的方程，同理可得．因為，所以四邊形的面積為．

故選：D.6．（2023·河南·統考三模）已知拋物線的準線為，焦點為F，過點F的直線與拋物線交于，兩點，點P在l上的射影為，則下列結論錯誤的是（

）A．若，則B．以PQ為直徑的圓與準線l相切C．設，則D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條【答案】D【解析】由拋物線的準線為，則，故，由題意，故A正確；拋物線的準線，且，以為直徑的圓的半徑，線段的中點坐標為，則線段的中點到準線的距離為，所以為直徑的圓與準線相切，故B正確；拋物線的焦點為，則，當且僅當三點共線時，取等號，所以，故C正確；當直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個交點，當直線斜率存在時，設直線方程為，聯立，消得，當時，方程得解為，此時直線與拋物線只有一個交點，當時，則，解得，綜上，過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線有3條，故D錯誤.故選：D

7．（2023春·貴州六盤水·高二統考期末）已知直線與拋物線：交于，兩點，過，分別作的切線交于點，若的面積為，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】由得，．因為，，，故．由，則，拋物線經過點的切線方程是，將代入上式整理得，同理得到拋物線經過點的切線方程是．解方程組得，所以．所以到直線的距離，的面積，所以故選：A8．（2023春·福建福州·高二福建省福州屏東中學校考期末）（多選）上甘嶺戰役是抗美援朝中中國人民志愿軍進行的最著名的山地防御戰役.在這場戰役中，我軍使用了反斜面陣地防御戰術.反斜面是山地攻防戰斗中背向敵方、面向我方的一側山坡.反斜面陣地的構建，是為了規避敵方重火力輸出.某反斜面陣地如圖所示，山腳，兩點和敵方陣地點在同一條直線上，某炮彈的彈道是拋物線的一部分，其中在直線上，拋物線的頂點到直線的距離為100米，長為400米，，，建立適當的坐標系使得拋物線的方程為，則（

）

A． B．的準線方程為C．的焦點坐標為 D．彈道上的點到直線的距離的最大值為【答案】ABD【解析】如圖所示，建立以為坐標原點，軸平行于，軸垂直于.此時，，，拋物線的方程為，即，解得，故A正確；拋物線的方程為，準線方程為，焦點坐標為，故B正確，C錯誤；因為，，故，所以直線的方程為即，不妨設上一點為，，當該點處的切線與直線平行時，其到直線的距離最大.由可得，故，解得，此時點到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.

9．（2022秋·江西南昌·高二校考期中）（多選）已知是拋物線內一動點，直線過點且與拋物線相交于兩點，則下列說法正確的是（

）A．時，的最小值為B．的取值范圍是C．當點是弦的中點時，直線的斜率為D．當點是弦的中點時，軸上存在一定點，都有【答案】ABD【解析】拋物線的焦點，準線方程為，對于A，當時，點與重合，設直線的方程為，，由消去x并整理得，則，，當且僅當時取等號，所以當時，的最小值為，A正確；

對于B，顯然點在直線上，由選項A知，當時，可得，由點在拋物線內，知，所以的取值范圍是，B正確；對于C，當點是弦的中點時，設，，若，直線的斜率不存在，若，則直線的斜率，C錯誤；對于D，由選項C知，當時，線段的中垂線斜率為，方程為，即，此直線過定點，當時，線段的中垂線為，過點，所以線段的中垂線恒過定點，即當點是弦的中點時，軸上存在一定點，都有，D正確.故選：ABD10．（2023·云南昭通·校聯考模擬預測）（多選）已知A，B是拋物線：上兩動點，為拋物線的焦點，則（

）A．直線AB過焦點F時，最小值為4B．直線AB過焦點F且傾斜角為時，C．若AB中點M的橫坐標為2，則最大值為5D．【答案】BC【解析】對于A項，過點分別作準線的垂線，垂足分別為，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，準線與軸的交點為，設直線的傾斜角為，畫圖為：

根據拋物線的定義：，從圖可知，，，在中，，所以，同理，則，故當時，故最小值為，此時垂直于軸，所以A不正確；對于B項，由A可知，，故B正確；對于C項，，當且僅當直線過焦點時等號成立，所以最大值為5，故C正確；當直線過焦點時，，當直線不過焦點時，不是定值，舉例當時，此時，，即，，，故D錯誤；故選：BC.11．（2023·福建寧德·校考模擬預測）（多選）已知動點M的坐標滿足方程，直線：，過點且方向向量為的直線與動點M的軌跡交于A，B兩點，則（

）A．動點M的軌跡是一條拋物線B．直線與動點M的軌跡只有一個交點C．D．【答案】CD【解析】將兩邊平方可得，當時，，這表示拋物線，當時，，表示射線，故動點M的軌跡是一條拋物線和一條射線，故A錯誤，聯立，當時，令，所以直線與動點M的軌跡有兩個交點，分別為，故B錯誤，由題意可知直線的方程為，由于直線與射線無交點，所以，設，所以，由于直線經過拋物線的焦點，所以，故C正確，由于，故D正確，故選：CD12．（2023春·云南大理·高二統考期末）（多選）過拋物線上一點作兩條相互垂直的直線，與的另外兩個交點分別為，則（

）A．的準線方程是B．過的焦點的最短弦長為2C．直線過定點D．若直線過點，則的面積為24【答案】AC【解析】將代入中得，即，則拋物線為，所以的準線方程是，故A正確；拋物線的焦點為，可設過的焦點的直線為，聯立，可得，設交點為，則，，所以，即過C的焦點的最短弦長為4，故B不正確；設，，直線為，聯立，可得：，所以，，又，所以，因為，，即，所以，化簡整理得，即，得，所以直線為，所以直線過定點，故C正確；若直線過點，則，即，，所以，，直線為，即，所以，點到直線的距離為，所以，故D不正確.故選：AC.13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考三模）（多選）拋物線C：，AB是C的焦點弦（

）A．點P在C的準線上，則的最小值為0B．以AB為直徑的所有圓中，圓面積的最小值為9πC．若AB的斜率，則△ABO的面積D．存在一個半徑為的定圓與以AB為直徑的圓都內切【答案】ABD【解析】由題意可知：拋物線C：的焦點，準線，對于選項A：根據拋物線的性質可知：以AB為直徑的圓與準線相切，若點P是以AB為直徑的圓與準線的切點，則，所以；若點P不是以AB為直徑的圓與準線的切點，則為銳角，所以；綜上所述：的最小值為0，故A正確；對于選項B：設直線，聯立方程，消去y得，則，可得，當時，取到最小值6，此時以AB為直徑的圓的面積最小，最小值為，故B正確；對于選項C：若AB的斜率，則，直線，即，由選項B可得：，點到直線直線的距離，所以△ABO的面積，故C錯誤；對于選項D：由選項B可知：以AB為直徑的圓的圓心為，半徑，設圓的圓心為，半徑，若圓與圓內切，則，即，整理得，因為對任意的恒成立，則，解得，即圓心為，半徑的圓恒與以AB為直徑的圓都內切，故D正確；故選：ABD.14．（2023春·云南臨滄·高二校考期末）（多選）已知拋物線，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為A、B，下列說法正確的是（

）A． B．當時，C．當時，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點【答案】BD【解析】因為為準線上的點，所以，解得，故A錯；根據拋物線方程得到，則，設切點坐標為，，則，整理得，同理得，所以，為方程的解，，所以，則，故B正確；由B選項得，所以，故C錯；由B選項得，又，聯立得，同理得，所以直線AB的方程為，恒過點，故D正確．故選：BD．

15．（2023春·江蘇常州·）（多選）已知拋物線，為坐標原點，點為直線上一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A．拋物線的準線方程為 B．直線一定過拋物線的焦點C．線段長的最小值為 D．【答案】ACD【解析】由拋物線可知，焦點坐標為，準線方程為，故選項A正確；設，顯然直線存在斜率且不為零，設為，方程為，與拋物線方程聯立，得，因為是該拋物線的切線，所以，即，且的縱坐標為：，代入拋物線方程中可得的橫坐標為：，設直線存在斜率且不為零，設為，同理可得：，且的縱坐標為：，橫坐標為，顯然、是方程的兩個不等實根，所以，因為，所以，因此選項D正確；由上可知：的斜率為，直線的方程為：，即，又，所以，所以，即，所以直線AB一定過，顯然該點不是拋物線的焦點，因此選項B不正確，由題意知，直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為，，，由得，所以，，所以，當且僅當時等號成立，故選項C正確；故選：ACD

16．（2023·福建南平·統考模擬預測）（多選）已知點，拋物線的焦點為F，過F的直線l交C于P，Q兩點，則（

）A．的最大值為B．的面積最小值為2C．當取到最大值時，直線AP與C相切D．當取到最大值時，【答案】AC【解析】拋物線的焦點，準線方程為，設，顯然直線不垂直于軸，設直線的方程為：，由消去x得：，則，

對于A，顯然，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，的面積，當且僅當時取等號，B錯誤；對于C，由選項A知，當最大時，點，此時直線方程為，由消去x得：，，直線AP與C相切，C正確；對于D，由選項C知，當最大時，軸，顯然，即，，D錯誤.故選：AC17．（2023春·安徽宣城·高二統考期末）（多選）已知拋物線，準線為，過焦點的直線與拋物線交于兩點，，垂足為，設，則（

）A．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線恰有2條B．已知曲線上的兩點到點的距離之和為10，則線段的中點的橫坐標是4C．的最小值為D．的最小值為4【答案】BCD【解析】對于A，因為在拋物線外，顯然過與拋物線相切的直線有2條，當此直線與x軸平行時，與拋物線也是僅有一個公共點，所以過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條，故A錯誤；對于B，設，則，即，則線段的中點的橫坐標為，故B正確；對于C，，（當點在線段上時，取等號），故C正確；對于D，設，設直線的方程為，由，得，易得，則，，（當且僅當時，等號成立），故D正確；故選：BCD

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18．（2023春·安徽黃山·高二統考期末）（多選）已知拋物線，過焦點的直線交拋物線于兩點，分別過作準線的垂線，垂足為，為坐標原點，，則（

）A．B．若，則的面積為C．若為拋物線上的動點，則的取值范圍為D．若，則直線的傾斜角的正弦值為【答案】ACD【解析】對于A，由拋物線的性質可知，所以，，又因為軸，所以，，所以，，則有，得證，所以A正確；對于B，設，由，可得，所以，代入拋物線的方程可得，可得，所以，所以B不正確；

對于C，過作垂直于準線于，由拋物線的性質可得，所以，則，當直線與拋物線相切時，最大，此時最小，設直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即，由，可得，即直線的傾斜角為或，當點與原點重合時，此時，，則，所以．所以C正確；對于D，由焦點，設直線的方程為，代入拋物線的方程可得，即，設，，其中，，則，，，，連接，可得，則整理可得即，解得，則直線的斜率為，即，所以，故D正確．故選：ACD．19．（2023秋·福建莆田·高二莆田華僑中學校考期末）（多選）已知拋物線與圓交于、兩點，且，直線過的焦點，且與交于、兩點，則下列說法中正確的是（

）A．B．C．存在某條直線，使得D．若點，則周長的最小值為【答案】ABD【解析】由對稱性得點在拋物線上，所以，解得，故A選項正確；設直線和雙曲線交于兩點，設直線方程為，代入拋物線方程可得：，，所以，所以：故B選項正確；則，當且僅當時等號成立，故C錯誤；如圖，過點作準線的垂線，垂足為，交軸于，取的中點為，過點作軸的垂線，

過作垂直于準線，垂足為，所以的周長為，當且僅當點的坐標為時取等號，故D選項正確．故選：ABD．20．（2023春·廣東韶關·高二統考期末）（多選）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，設線段的中點為P，以線段為直徑的圓P交y軸于M，N兩點，過P且與y軸垂直的直線交拋物線于點H，則（

）A．圓P與拋物線的準線相切 B．存在一條直線l使C．對任意一條直線l有 D．有最大值，且最大值為【答案】ACD【解析】若直線軸，則直線l與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意．設點、，設直線的方程為，聯立，整理可得，，因為，，，所以，從而到準線的距離為，而圓P的直徑為，所以，故圓P與拋物線的準線相切，選項A正確；由韋達定理可得，，，，所以不存在一條直線l使，選項B不正確；因為，，，所以，從而，所以，由拋物線的定義可得，從而，選項C正確；

因為，，，所以圓P的直徑為，則，點P到y軸的距離為，∴，所以當時，最小，最小值為，D正確．故選:ACD．21．（2023春·江西宜春·高二灰埠中學校考期末）（多選）已知拋物線：的焦點到準線的距離為2，則（

）A．拋物線為B．若，為上的動點，則的最小值為4C．直線與拋物線相交所得弦長最短為4D．若拋物線準線與軸交于點，點是拋物線上不同于其頂點的任意一點，，，則的最小值為【答案】BCD【解析】因為拋物線：的焦點到準線的距離為2，所以，從而拋物線的方程是，所以A錯誤；設到準線的距離為，由題可知準線為，則，故B正確；拋物線的焦點為，直線過焦點，由，可得，設直線與拋物線交點為，則，所以直線與拋物線相為所得弦長，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，不妨設點在第一象限，過點向準線作垂線，垂足為，則，連接，在中，設，則，要求的最小值，即最小，即最小，所以當直線與拋物線相切時，角最小，設切線方程為存在，且，由，聯立得，令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正確.故選：BCD.22．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學校考期末）（多選）已知過點的直線交拋物線于，兩點，設，，點是線段的中點，則下列說法正確的有（

）A．為定值－8 B．的最小值為4C．的最小值為 D．點的軌跡方程為【答案】ACD【解析】由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程為，顯然，兩點在軸的兩側，設，且，，聯立，整理可得，顯然，，，，，所以A正確；所以，當且僅當時取等號，所以B不正確；因為，，所以，當且僅當時取等號，所以C正確；由題意可得的中點，設，則，消參可得，整理可得，所以D正確．故選：ACD．23．（2023春·江西九江·高二江西省湖口中學校考期末）（多選）拋物線的焦點是，準線與軸相交于點，過點的直線與相交于，兩點（點在第一象限），，為垂足，，為垂足，則下列說法正確的是（

）A．若以為圓心，為半徑的圓與相交于和，則是等邊三角形B．若點的坐標是，則的最小值是4C．D．兩條直線，的斜率之和為定值【答案】AD【解析】因為以為圓心，為半徑的圓與相交于和兩點，所以，又，所以為等邊三角形，故A正確；

因為，等號當且僅當，，三點共線時成立，所以當，，三點共線時，取最小值3，故B錯誤；

設直線的方程是，代入并消去得，設，，則，.由，，得，所以，即，故C錯誤；，，所以，故D正確.故選：AD.

24．（2023·陜西咸陽·統考模擬預測）寫出一個與直線相切，且與圓外切的圓的方程.【答案】（答案不唯一，只需滿足即可）【解析】如下圖所示：設所求圓的圓心為，圓的圓心為，半徑為，設圓的半徑為，則，且圓心到直線的距離為，所以，點到點的距離等于點到直線的距離，所以，點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，設點的軌跡方程為，則，可得，所以，圓心的軌跡方程為，則，所以，圓心的坐標可表示為，則圓的半徑為，所以，圓的方程為，故滿足條件的一個圓的方程為.故答案為：（只需滿足即可）.25．（2023春·浙江臺州·高二統考期末）已知直線與拋物線及曲線均相切，切點分別為，若，則【答案】4【解析】顯然直線的斜率存在，設直線：，聯立，消去得，則且，即，代入，得，得，得，則，則.聯立，消去得，則，且，即，將代入，得，得，得，又，所以，則，則，由，得，解得，所以或，當時，不合題意，舍去；當時，.綜上所述：.故答案為：.26．（2023春·內蒙古·高二校聯考期末）已知A，B，M，N為拋物線上四個不同的點，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點F，O為坐標原點，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為