2022-2023學年湖北省黃岡市高二下學期4月聯考數學試題

一、單選題

1.已知直線4：(加-2)x-3y-1=。與直線/2：mx+(m+2)y+l=。相互平行，則實數6的值是()

A.-4B.1C.-1D.6

【答案】A

【分析】根據直線平行則它們的法向量也互相平行可解，需要驗算.

【詳解】∕1：(m-2)x-3y-1=O,.?.n1=(m-2,-3),

I2:λ∕ιx+(m÷2)y÷l=O,/.n2=(m,∕π÷2),

nJln2,:.(m-2)(∕n÷2)=-3m,

解之：機=-4』經檢驗〃z=-4

故選：A.

2.已知函數y=4'(x)的圖象如圖所示(其中/(X)是函數/O)的導函數)，則下面四個圖象中，

y=∕(χ)的圖象大致是()

y↑

y↑y

?V√Q?2bT尹V

4IA

C.ZPJ一D._-∕?/

/O1X/DlL

【答案】C

【分析】先利用函數y=Mr'(X)的圖象求得函數/(χ)的單調區間,進而得到正確選項.

【詳解】由題給函數y=0?'(χ)的圖象，可得

當χ<-ι時，χf'ω<o,則r*)>o,則/(χ)單調遞增;

當一l<x<O時，√(x)>0,則J"(x)<O,則/(χ)單調遞減；

當O<xvl時,xf'(x)<0,則:(x)<0,則。工)單調遞減;

當x>l時，√(x)>0,則/'(x)>0,則f(χ)單調遞增；

則/(χ)單調遞增區間為(F,T),(l,+∞);單調遞減區間為(-1,1)

故僅選項C符合要求.

故選：C

3.正項數列｛qJ的前〃項和為S,,,且S5=10,Sio=50,若直線L3x+4y+4τ+4M-3=0("∈N)與

圓C:(x-l)2+y2=WU(“,>0)相切，則Su=()

A.90B.70C.120D.100

【答案】C

【分析】根據圓的方程確定圓心與半徑，由直線與圓相切可得2αz,=α,τ+αjl+∣,即可判斷數列也｝為

等差數列，根據等差數列的前〃項和性質即可求得幾的值.

【詳解】圓C的圓心為(1,0),半徑r=∣q,,由直線/：3彳+4丫+,%+4用-3=0(〃€武)與圓相切得：

回、，，八、K"??,4,gg???B+O+%τ+α,H∣-3∣____22Crl

圓心(1,0)到直線/的距離d=j--------Λ'~[=r=-a?,整理得—%=?！?即

√32+42555

2?=?-∣+?÷∣>

所以｛%｝為等差數列.

在等差數列｛%｝中，Ss，S10-S5,九-5K)成等差數列，

所以2(S∣O-S5)=S5+S∣5-SUI,貝Ij2x(50-10)=10+S--50,BRS15=120.

故選：C.

4.已知函數/。)=太3一]/-〃比不，則函數/(幻在(0,÷∞)上單調遞增的一個充分不必要條件是()

4422

A.a<——B.a?—C.a<-D.a≤-

9933

【答案】A

【分析】根據題設條件轉化為(。)No在(。，+8)上恒成立，即α≤3d-3f在(。,+8)上恒成立，令

g(x)=3d-3χ2,χ>0,利用導數求得g(x)單調性和最小值，結合題意，即可求解.

3

【詳解】由函數f(x)=χ3-Jχ2-α[nχ,可得函數/(x)的定義域為(0,+∞),

且尸(X)=3χ2一3χ,,

X

因為函數f(X)在(0,+8)上單調遞增，即/'(X)≥0在(0,+8)上恒成立，

即3/-3X-4≥0在(0,+∞)上恒成立，即ɑ≤3√-3X2在(0,+∞)上恒成立，

X

令g(x)=3χ3-3χ2,χ>o,可得/(χ)=9χ2-6x=3x(3x-2),

?

當x∈(0,.時，g'(χ)<O,g(χ)單調遞減；

當X€(§,+8)時，g,(x)>O,g(x)單調遞增，

所以g(x)mm=g(l)=-1,所以〃？

結合選項，可得時函數/(X)在(0,+8)上單調遞增的一個充分不必要條件.

故選：A.

5.新高考數學中的不定項選擇題有4個不同選項，其錯誤選項可能有。個、1個或2個，這種題型

很好地凸顯了“強調在深刻理解基礎之上的融會貫通、靈活運用，促進學生掌握原理、內化方法、舉

一反三”的教考銜接要求.若某道數學不定項選擇題存在錯誤選項，且錯誤選項不能相鄰，則符合要

求的4個不同選項的排列方式共有()

A.24種B.36種C.48種D.60種

【答案】B

【分析】當錯誤選項恰有1個時，直接全排列即可；當錯誤選項恰有2個時，利用插空法求解.最后

將兩種情況相加即可.

【詳解】當錯誤選項恰有1個時，4個選項進行排列有A：=24種；

當錯誤選項恰有2個時，先排2個正確選項，再將2個錯誤選項插入到3個空位中，有A；A；=12種.

故共有24+12=36種.

故選：B.

22

6.如圖，在平面直角坐標系XOy中，已知橢圓C∣：?+?=ι(4>4>o)與雙曲線c?：

a?4

22

）有相同的焦點

±%=13>0,b2>0F1,G的漸近線分別交G于A，C和8,。四點，若多

邊形A8ECE>G為正六邊形，則Cl與G的離心率之和為()

【答案】C

【分析】結合正六邊形的幾何性質以及離心率即可求出結果.

【詳解】因為多邊形耳為正六邊形，設正六邊形的邊長為機，

所以tanN806=石=g,=2,

F?F,2mrzlr-

???%二4J二"=---h=｛3-T,.?ec+ea=^÷1,

'AFl+AF2"7+√3"?JQ

故選：C.

7,設等比數列｛4,,｝中，/，/使函數/(x)=V+3%x2+/x+d在X=T時取得極值0,則為的值是

()

A.±√3SE±3√2B.√J或3石C.±3√2D.3√2

【答案】D

【分析】由極值點和極值可構造方程組求得生，%,代回驗證可知,為=：滿足題意；結合等比數列性

質可求得結果.

2

【詳解】由題意知：f'(x)^x+6aix+a7,

八)在1處取得極值…M))UM步°，

%=2

解得:或

當%=1,%=3時，∕,(X)=3√+6X+3=3(X+1)2≥0,

?/(x)在R上單調遞增，不合題意；

,2

當為=2,a7=9時，∕(x)=3X+12X÷9=3(X÷1)(X÷3),

?，.當x∈(-00,-3)∣(-1,+∞)時，∕<x)>0；當x∈(-3,-l)時，r(x)<O;

?/(X)在(f,—3),(T,+∞)上單調遞增，在(—3,7)上單調遞減，

.X=T是〃％)的極小值點,滿足題意；

,

..aj=a3a1=18,又〃5與生，%同號，二%=3&-

故選：D.

8.若存在/4-1,2],使不等式不+卜2-1)1政玄+62%-2成立，則。的取值范圍是()

e2

A.B.?)

2e

【答案】D

22

【分析】x0+(e-l)l∏fl>?^-+e?-2?(e-l)ln^≥^-2,令看=人構造函數

/(0=(e2-∣)∣nr-2∕+2,從而問題轉化為存在小??,使得/C)≥0成立.

求導判斷單調性求得當l≤t≤e?時，∕ω≥0,進而得到=Ve?且=≥1,即可求解.

e^e

22

[詳解]?+(e~—1)InQ≥—ξ-+ex0—2O(e—1)Ina-(e—-l)x0≥2

<=>(e2-l)l∏67-(e2-?)?ne?≥--2<^>ie2-?]?n-≥--2

令三=/,βp(e2-l)ln∕-2r+2≥0,

因為??e∣-l,2],所以/￡fr,

_e_e_

令∕Q)=(∕-Dlnf-2f+2.

則原問題等價于存在fe[0,??],使得∕C)≥0成立.

_e~e

e2-?(e~—1)—2/

/⑺=JL-2=?——>一

tt

令/'Q)<0,即(e2-l)-2f<0,解得

9[

令/")>0,即(e?-l)-2f>0,解得O<f<告1,

(2-l^lCe2-I、

所以/⑺在0e,--上單調遞增，在%一,+8上單調遞減.

又因為/⑴=OJ?)=(，-I)Ine2—2e2+2=2e2—2—2e2+2=0

-e2—12

而τ71<-------<e，

2

???當l≤∕≤e?時，∕ω>0.

若存在fe使得/⑴20成立.

ee

只需彳≤e?且=≥1,解得α4e4且。≥1,

eee

所以,4α≤e4.

e

故。的取值范圍為I',1.

e

故選：D

【點睛】思路點睛：構造函數是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數的結構特點，以及數與數

之間的內在聯系，合理構造函數，利用導數判斷單調性是解題的關鍵.

二、多選題

9.下列四個關系式中，一定成立的是()

l

A.A^l=A-?B.A：=〃A口C.3C；-2C；=I48D.C；+C；+C：++C：°=328

【答案】BC

【分析】根據排列數的計算可判斷A,B,根據組合數的計算以及性質可求解C,D.

.(n-l)!.(n-1)!ι

【詳解】^'：=T一々,故A錯誤，n^：：=nj_4=?r%t=A;,故B對，

(z?-/n)!(n-my.[n-m)?Γ

3C^-2C;=3χ^^-2χ型=168-20=148,故C對，

3×2×12x1

由M+c>τ=c2可得:c：+c；+c：++c：o=-i+c；+C+c：++e?ɑ?e?-1=329,故D錯誤

故選：BC

10.下列命題埼用的是()

A.若方程/+：/+〃ɑ-2?+3=0表示圓，則機的取值范圍是(7》,-&)(√2,-κo)

B.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和X軸都相切，則該圓的標準方程是

(x-l)2+(y-l)2=l

C.已知點P(x,y)在圓C"2+V-6x-6y+14=0,予的最大值為1

22

D.己知圓Clιx+∕-2x-6y-l=0;filC2ιx+∕-10Λ-12γ+45=0,圓G和圓G的公共弦長為

2√7

【答案】ABC

【分析】根據二元二次方程表示圓的充要條件可構造不等式求得A錯誤；設圓心C(f,l)(f>0),利

用直線與圓相切可構造方程求得圓心坐標，由此可得B錯誤；將:可看作點P(χ,y)與坐標原點連線

的斜率，根據切線方程的求法可求得上的最大值，知C錯誤；兩圓作差可得公共弦所在直線方程，

X

由圓的一般方程確定圓心和半徑，由垂徑定理得公共弦長，知D正確.

【詳解】對于A,若該方程表示圓，則裙+4T2>0,解得：m<-2√Σ或〃?>2應，

即m的取值范圍為(7,—2√Σ)u(2√Σ,+∞),A錯誤；

對于B,圓C的半徑為1且與X軸相切，；.設圓心C(f,l)(f>0),

圓心C到直線4x-3y=0的距離4=與回=1,解得：r=2或f=-g(舍)，

.?.圓心C(2,l),半徑為1,???圓C的標準方程為(x-2『+(y-l)2=l,B錯誤；

對于C,"可看作點P(χ,y)與坐標原點連線的斜率，

由圓的方程可知：圓心C(3,3),半徑r=gj36+36-56=2,

當過原點的直線與圓U∕+y2-6χ-6y+14=0相切時，可設其方程為：y=kx,

???圓心C到直線y=H的距離d=gU=2,解得：卜=9主2

病+15

工的最大值為9+2?，C錯誤；

X5

+6

對于D,?K<-^-ιζ-'=θ°得??4X+3―3=。，

[x2+y2-IOx-12y+45=0

即兩圓公共弦所在直線方程為：4x+3y-23=0；

由圓Cl方程知：圓心CI(1,3),半徑r=；j4+36+4=VTT,

???圓心Cl到直線4x+3y—23=0的距離d=林+丁.=2,

兩圓的公共弦長為2折二7^=2√7,D正確.

故選：ABC.

II.已知正方體ABC。-AAGA的棱長為2,M為。。的中點，N為正方形ABCO所在平面內一動

點，則下列命題正確的有（）

D）_______________C1

"

:'

Q、

,?,、

丫

/?7一

、N

A.若MN=2,則MN的中點的軌跡所圍成圖形的面積為兀

B.若MN與平面ABC。所成的角為方，則N的軌跡為圓

C.若N到直線8B∣與直線OC的距離相等，則N的軌跡為拋物線

D.若AN與48所成的角為g,則N的軌跡為雙曲線

【答案】BCD

【分析】設MN中點為從DM中點為。，連接P。，計算出PQ可知P的軌跡為圓可判斷A；根據

已知算出。M可判斷B；根據拋物線定義可判斷C；以D4、DC、?？谒谥本€分別為X軸、y軸、

Z軸，利用向量的夾角公式計算可判斷D.

【詳解】對于A,設MN中點為H,OM中點為Q,連接HQ,則"Q//ZW,且HQ=g0N,

如圖，若MN=2,則所以OV2=MM-￡>”=4-1=3,ON=JL則HQ=乎，所以點H的軌跡

是以。為圓心，半徑為且的圓，面積S="?=當，故A錯誤；

24

Z

OTC1

則“v-兀-3，所以N的軌跡是以。為圓心，半徑

tan—

3

為立■的圓，故B正確;

3

對于C,點N到直線B片的距離為8N,所以點N到定點B和直線Z)C的距離相等，且B點不在直線

OC上，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故C正確;

對于D,如圖，以D4、OC、OR所在直線分別為X軸、y軸、Z軸，建立空間直角坐標系，設N(X,y,0),

O1(0,0.2),A(2,0,0),8(2,2,0),

D、N?AB的|

所以AN=(X,y,-2),AB=(0,2,0),cos60

DMAB-√√+y2+4×2^2

化簡得3y2-∕=4,B[JT-T所以N的軌跡為雙曲線，故D正確;

故選：BCD.

V*

12?對于函數小)=貳，下列說法正確的是()

A./(x)在(0,e)上單調遞減，在(e,+8)上單調遞增

當VΛ時，

B.0<%2<1x∣?Inx2>x2?InX1

C.若函數y=f(W)-上有兩個零點，則&<0

2

D.設g(x)=x+α,若對VxeR,上2∈(l,+∞),使得g(xJ=y(Λ2)成立，則α2e

【答案】BD

【分析】利用函數的定義域判斷A選項的正確性；利用/(x)的單調性來判斷B選項的正確性；結

合y=∕(W)的圖象來判斷C選項的正確性；通過求/(X)和g(x)在給定區間上的取值范圍來判斷D

選項的正確性.

【詳解】對于A選項，f(X)=丘的定義域為(0,l)∣(1,—),所以A選項錯誤.

對于B選項，f(M=(InjV廣當OVXVl時，/(x)<0,f(x)遞減.

由于0<x1vz<ι,所以,

Inx1Inx2

由于In玉VOJn9<O,(lnx1)?(lnx2)>O,

所以由1?>舟兩邊乘以得Inx2>X2Inx,,所以B選項正確?

對于C選項，令y=f(∣H)-k=0J(IH)=&,

由于"")=荔尸'所以在區間(°」)，(Le)J(X)<°J(x)遞減；

在區間(e,E)J(X)>Oj(X)遞增.

當O<x<l時，/(χ)=-^-<0;當x>l時，/(χ)=-^->0;f(e)=e.

InxInx

函數y="∣χ∣)是定義域為(—,-1)5-1，。)5。，1)51，”)的偶函數.

由此畫出y=f(W)的圖象如下圖所示，

由圖可知，直線y=e與y=∕(∣x∣)的圖象有兩個交點，即當jt=e時，

函數y=f(∣χ∣)j有兩個零點，所以C選項錯誤.

對于D選項，由上述分析可知，x2∈(l,+χ>),則g(x2)e[e,+∞),

XIeR,g(xj",要使'對％eR,?e(1,+∞),使得g(%)=f伍)成立”，

則需"Ne,所以D選項正確.

故選：BD

【點睛】利用導數研究函數的單調性，首先要求函數的定義域，單調性必須在定義域這個大前提下

進行求解.求解恒成立、存在性問題，可轉化為求最值或取值范圍來進行求解.

三、填空題

13.在平行六面體ABCO-ABCA中，E,F分別是棱GR,Bq的中點，記AB=°,AD=b,AAt=c,

則EF等于(用a，b.C表示).

【分析】連接C/,利用空間向量的線性運算求解.

【詳角簞】連接G尸，Ef=ECl+ClP=^AB+ClBt+BtF=^a-b-^c,

故答案為：—<2—?——C

22

22

14.已知雙曲線1=10>0)的右焦點F?與拋物線f=2px(p>0)的焦點F相同，且過點

∕,(√6.1),則點Q(1,-2√Σ)到拋物線的焦點廠的距離I=.

【答案】3

【分析】先求出雙曲線的方程和右焦點坐標，再求出拋物線的焦點坐標和準線方程，即得解.

22

【詳解】因為雙曲線,-￡=1e>0）過點（而,1）,

所以1一A=L所以"'I,得b=∣.

又因為/=3,所以〃=班.所以雙曲線的半焦距C=百斤=2.

所以雙曲線的右焦點心為（2,0）,

所以拋物線的焦點尸為（2,0）,準線方程為X=-2.

所以點。（1,-20）到拋物線的焦點F的距離IQq="27）2+/I=3.

故答案為：3

15.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個底面圓周和圓錐的頂點均在體

積為36兀的球面上，若圓柱的高為2,則圓錐的側面積為.

【答案】4娓Tt

【分析】根據題意畫出該幾何體的軸截面，如圖，設。是球心，E是圓錐的頂點，EC是圓錐的母線,

求出球的半徑，從而可求出。瓦QC,進而可求得圓錐的側面積.

【詳解】其中，。是球心，E是圓錐的頂點，EC是圓錐的母線，

4

由題意可知鏟K=36兀，解得R=3,

由于圓柱的高為2,OD=?,DE=3-1=2,OC=JF二7=2點，

母線EC=J2-8=26,

圓錐的側面積為S=πDCEC=2√2×2√3π=4√6π.

故答案為：4?∕δπ

16.已知函數/(x)的定義域。為(-8,0)U(O,內)，/(x)在(y,0)上單調遞減，且對任意的

xl,x2^D,都有/(痞)=/(石)+/伍)-1,若對任意的XG(I,+∞),不等式/(㈤-F(InX)⑴-1

恒成立，則實數。的取值范圍是.

【答案】a>-^a<--

ele

【分析】利用特殊值法求/(1)=1,/(-1)=1,利用奇偶函數概念研究/(X)的奇偶性，再利用單調

性化簡不等式，參變分離、構造新函數法，再利用導數的性質進行求解即可.

【詳解】令王=々=1，W∕(l)=∕(l)+∕(1)-1,得/(1)=1,

令*=*2=-i,得"l)=2∕(τ)-l,則/(T)=I,

令XI=X(Xe。)，X2=-1,有"-x)=∕(x)+∕(-I)-1,得〃-X)=/⑴，

又函數/(x)的定義域。為(-8,0)U(0,茁)關于原點對稱，所以/(x)是偶函數，

因為/(x)在(-。,0)上單調遞減，所以f(x)在(0,+8)上單調遞增.

不等式〃")一/(InX)1可化為/(G)>∕(lnx),

則有/(阿)>川InX

因為函數"χ)在(0,+8)上單調遞增，所以網>MM，

又x>l,所以IHX>lnx,即時>邛，

設MX)=((X>i),則|。|>〃(X)g,

因為“(x)=L詈，故當Xe(I,e)時，A,(x)>O,MX)單調遞增，

當x∈(e,+α?)時,Λ,(x)<O,MX)單調遞減，

所以〃(x)≤∕z(e)=1,所以時>1,所以a>g或α<-'.

故答案為：a〉,或“<-L

ee

【點睛】關鍵點點睛：先判斷出函數的奇偶性，進而判斷函數的單調性，通過構造新函數利用導數

的性質進行求解是解題的關鍵.

四、解答題

17.某興趣小組有9名學生，若從這9名學生中選取3人，且選取的3人中恰好有一名女學生的概

率哈

(1)該小組中男生、女生各有多少人？

(2)9名學生站成一排，要求男學生必須兩兩站在一起，有多少種站隊的方法？(要求用數字作答)

【答案】(D男生4人，女生5人

(2)432(X)

【分析】(1)設該小組中男生有X人，則女生有(9-x)人，然后根據題目提供的概率列方程求解；

(2)第一步:將4名男生平均分成2組；第二步:5名女生站好隊，然后將2組男生在相鄰女生間及

女生隊列的兩端共6個位置中任取2個位置排列；第三步:2組男生中每組男生排列，最后利用分步

乘法計數原理可得答案.

數原理可得答案

【詳解】(1)設該小組中男生有X人，則女生有(9-x)人，

從這9名學生中選取3人，且選取的3人中恰好有一名女學生的概率是三，

14

.cy=5

"C；一14'

解得x=4,

即男生有4人，女生有5人.

(2)第一步：將4名男生分成2組，每組2人，共有*=3種；

第二步：5名女生站好隊，然后將2組男生在相鄰女生間及女生隊列的兩端共6個位置中任取2個

位置排列，共有A；A：=36()()種，

第三步：2組男生中每組男生排序，共有(AJ=4,

故一共有3x3600x4=43200種方法.

18.設曲線〃X)=X"〃eN")在點(1,1)處的切線/與X軸的交點的橫坐標為斗,令q=Ig?.

⑴若數列｛%｝的前〃項和為S“，求為;

b

(2)若切線/與)，軸的交點的縱坐標為力,bn=-yn,cn=bn-2??,求數列｛%｝的前"項和7”.

【答案］⑴—2

⑵？；,=(〃—1)x2"“+2

【分析】(1)根據導數的幾何意義，求出y=∕(χ)在(1,1)處切線的切線方程，即可得

?=lg∕7-lg(n+l),然后利用裂項相消求和法即可求解;

(2)由題意，可得c,,=d?2%="?2?,利用錯位相減法即可求解.

【詳解】(1)解：???∕(χ)=Xn(X)=("+i)χ",

.?.y=∕(χ)在(1,1)處切線斜率∕=∕'(1)="+1,切線方程為y—1=(〃+I)(X-1),

Mγι

令…，得XLEP則/=愴%=|gQ=|g〃_lg(〃+l),

ΛS99=οl+α2++agg=lgl-lg2+lg2-lg3++lg99-lgl00=Igl-IglOO=-2；

(2)解：令X=0,得％

h

cn=bn-2"=n-2",

2

ΛTn=↑×2+2×2++zι?2"Φ

L,n+l

2TII=1×2++(n-l)?2'+∕z?2(2)

①一■②得=2+22++2"-n×2"+t=2(；_：)_〃x2"S=-2+2"+'-n×2π+'>

Λ^=(∕ι-l)×2,,+l+2.

19.如圖，線段AA是圓柱。6?的母線，ABC是圓柱下底面：。的內接正三角形，M=AB=3.

(1)劣弧BC上是否存在點D，使得。Q〃平面AA8?若存在，求出劣弧8。的長度；若不存在，請

說明理由.

(2)求平面CBa和平面BAA夾角的余弦值.

【答案】(1)存在，劣弧Bz)的長度為叵

6

⑵嚕

【分析】(1)利用面面平行得到線面平行即可求得點。位置，再根據.?ΛβC是，:，。的內接正三角形

及A8=3,即可求得/BOD以及。的半徑，從而可得劣弧BD的長度；

(2)分別求得平面C80∣和平面BAA的法向量，即可求得二面角的余弦值.

【詳解】(1)如圖過點。作AB的平行線0。交劣弧BC于點。，連接。。，

因為。?〃AA，AAU平面AAB,Oaa平面AAB,則。01〃平面44田

同理可證。?！ㄆ矫鍭AB,OOi?OD=O,且OaU平面OOQ,OZ)U平面OOQ

所以平面AAB〃平面Oq?,又因為QQU平面OoQ,所以OQ〃平面Λi48

故存在點。滿足題意.

因為AfiC為底面。的內接正三角形，

所以NbAC=X,即N48O=NBoO=&，

36

又因為AB=3,

3_Γ

所以。的半徑為；二一'，

Zsm——

3

π

所以劣弧84的長度為五χ2%χ石=叵.

2π6

(2)如圖取BC的中點為〃，連接M4,以Affi為X軸，M4為V軸，過"作。?平行線為Z軸，建

立空間直角坐標系，又因為AA=AB=3,設AB中點為N.

故M(0,0,0),嗚,O,OJ,A0,孚O,cf-∣,O,θLO0,專,0

f/TA

易知平面AAB的法向量°、=了3生,。

設平面CBa的法向量為“=(χ,y,z),

又因為Ma=0,與3,MB=(1,0,0

n?MO?=0-y+3z=0

故，即V2令y=2百得〃=(0,2石,-1)

n?MB=0

-X=O

2

易知平面CBOt和平面BAAf夾角為銳角,

3

n?ON2回

所以平面CBOl和平面84A夾角的余弦值為

20.已知橢圓E*+1=l(α＞方＞0)過點A∣q

⑴若橢圓E的離心率ee(θ,;,求6的取值范圍;

(2)已知橢圓E的離心率e=且，仞,N為橢圓E上不同兩點，若經過M,N兩點的直線與圓『+v

2

相切，求線段MN的最大值.

【答案】(1)*,咚

_22√

(2)2

代入橢圓方程，可得從=!-片，由e∈(θ,J,可求人的取值范圍;

【分析】(1)把點A1,

4I2_

(2)由離心率和(1)中結論，求得橢圓方程，分類討論直線MN的位置，聯立方程組，利用弦長

公式結合不等式的性質求MN的最大值.

13hl3,2R匚N??b~3cι~-C372

【詳解】⑴F1，在橢圓/=1,有今+—=人，所以Zr=—÷-=——z—+—=一一e-

4/4/44

1”7)37

χvo<^≤-,所以∕=?7-∕e,"?'O<b<a,二be.

242,4

(2)由(1)可知Z√=2?-/,又e=B,b>O,

42

所以h=l,α=2,橢圓E：《+y2=i.

4

因為直線MN與Y+;/=1相切，故AMN≠0.

若直線MN的斜率不存在，不妨設直線MN為：x=l,代入橢圓方程可得此時線段IMN?=6

若直線MN的斜率存在，可設直線MN的方程為：y=kx+m(k≠O).

由直線MN與χ2+y2=l相切，故才庶=1,可得：加2=1+比

y=kx-?-tn,

2

2后「I8km4m-4

聯立x2得(1+4公卜2+84"+4，〃2一4=0,所以公+々=一寸片"匯市

線段

2

8km42-44√l+?2

IMNl=JI+F.I-4ffly∣4k2m2—(1+4?2^W2-1)=

1+4Fl+4k2~1+4A:2

4"Ji+/)./

又因為∕√=ι+%2,所以IMNI==2.

1+4爐V(l+4λ2)21+4/

當且僅當次2=42+1,故當公=g時，IMNl的最大值為2.

綜上所述：當Z=±亞時，線段MN的最大值2.

2

21.已知各項都是正數的數列｛q｝,前〃項和S,,滿足υ=2S,,-qGeN)

(1)求數列也｝的通項公式.

⑵記￡,是數列］JI的前〃項和，Q11是數列一匚的前〃項和.當〃≥2時，試比較《與Qn的大小.

ISJI%-1J

【答案】(1)"”=〃

⑵勺＜2,

【分析】(I)根據S“與對的關系，結合等差數列的通項公式進行求解即可；

(2)根據裂項相消法，結合等比數列前”項和、二項式定理進行求解即可.

2

【詳解】(1)當〃=1時，6Z1=2S1-al=al,所以〃∣=1或q=。(舍去)，

當n≥2時，有］

兩式相減得%-T=2all-an+a,—=?！?a?_t,

整理得(4+?-,)(?-0n-ι)=?+%,

因為｛%｝的各項都是正數，所以α.-q,τ=ι,

所以｛%｝是首項為1,公差為1的等差數列，

所以%=1+1?("-1)=”;

(2)由(1)得S,,=&辿，則==