202年普通高等學校招生全國統一考試（新高考I卷）數學一、單選題.設集合，，則（）A.B.C.D.答案：B解析：，選B.2.已知，則（）A.B.C.D.答案：C解析：，選C..已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A.B.C.D.答案：B解析：設母線長為，則.4.下列區間中，函數單調遞增的區間是（）A.B.C.D.答案：A解析：單調遞增區間為：，令，故選A.5.已知，是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）A.B.C.D.答案：C解析：由橢圓定義，，則，故選C.6.若，則（）A.B.C.D.答案：C解析：，故選C.7.若過點可以作曲線的兩條切線，則（）A.B.C.D.答案：D解析：設切點為，∵，∴，則切線斜率，切線方程為，又∵在切線上以及上，則有，整理得，令，則，∴在單調遞減，在單調遞增，則在時取到極小值即最小值，又由已知過可作的兩條切線，等價于有兩個不同的零點，則，得，又當時，，則，∴，當時，有，即有兩個不同的零點.∴.8.有個相同的球，分別標有數字，從中有放回的隨機取兩次，每次取個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是”，則（）A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立答案：B解析：由題意知，兩點數和為的所有可能為：，，，，，兩點數和為的所有可能為：，，，，，，∴，，，，，，，，故，B正確，故選B.二、多選題9.有一組樣本數據，由這組數據得到新樣本數據，其中，為非零常數，則（）A.兩組樣本數據的樣本平均數相同B.兩組樣本數據的樣本中位數相同C.兩組樣本數據的樣本標準差相同D.兩組樣本數據的樣本極差相同答案：C、D解析：對于A選項：，，∴，∴A錯誤；對于B選項：可假設數據樣本中位數為，由可知數據樣本的中位數為，∴B錯誤；對于C選項：，∴C正確；對于D選項：∵，∴兩組樣本數據極差相同，∴D正確。0.已知為坐標原點，點，，，，則（）A.B.C.D.答案：A、C解析：，，∴A正確；，，,∴B錯；，，∴C正確；，，∴D錯..已知點在圓上，點，，則（）A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當最小時，D.當最大時，答案：A、C、D解析：由已知易得直線的方程為.圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，則到的距離的取值范圍為，又，則A正確，B錯誤，由圖易得，當在點處時，與圓相切，此時最小，，，∴，同理當在點處，最大，此時.故C、D正確.2.在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（）A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面答案：B、D解析：對于A，當時，，∴，此時在線段上運動，此時的周長不為定值，A錯.對于B，當時，，此時在線段上運動,平面，點到平面的距離即為點到平面的距離，為定值，B正確.對于C，當時，，分別取，的中點，此時在線段上運動，要使，只需在平面上的射影與垂直，此時在或的位置，有兩個，C錯誤.對于D，時，，分別取的中點，則在線段上運動，∵正三棱柱中，，，要使得平面，只需在平面上的射影與垂直，有且只有一個點即為點時，滿足題意，D正確.三、填空題.已知函數是偶函數，則.答案：解析：因為為偶函數，則，即，整理則有，故.4.已知為坐標原點，拋物線的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且.若，則的準線方程為.答案：解析：因為垂直軸，故點坐標為，又因為，則，即，故，則準線方程為.5.函數的最小值為.答案：解析：當時，，，時，，時，，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，函數單調遞減，綜上，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數最小值為.6.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規格為的長方形紙，對折次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推.則對折次共可以得到不同規格圖形的種數為；如果對折次，那么.答案：解析：（）易知有，，，，，共種規格.（2）由題可知對折次共有種規格，且面積為，故，則，記，則，故，則，故.四、解答題7.已知數列滿足，.（）記，寫出，，并求數列的通項公式；（2）求的前項和.答案：見解析；解析：（），，，，∴是以為公差的等差數列，∴.（2），，∴.8.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有，兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.類問題中的每個問題回答正確得分，否則得分；類問題中的每個問題回答正確得分，否則得分.已知小明能正確回答類問題的概率為，能正確回答類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（）若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.答案：見解析；解析：（）若小明先回答問題，記為小明累計得分，則的取值可能為：，，，因為各題互相獨立，由分步完成原理得，，，列表如下：則的數學期望.（2）若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的取值可能為，，，因為各題互相獨立，由獨立性原理知，，，列表如下：先答類，則的數學期望為：，由（）知，∴小明先選B類問題作答.9.記的內角的對邊分別為.已知，點在邊上，.（）證明：；（2）若，求.答案：見解析；解析：（）由，根據正弦定理可得，∴，又，∴，∴.（2），，又由（），，，∴，∴，，∴或，或（舍），∴.20.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（）證明：；（2）若是邊長為的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.答案：見解析解析：（）平面平面，平面平面，∵，為中點，∴，平面，∴平面，平面，∴.（2）方法一：取中點，∵為正三角形，∴，過作與交于點，則，∴，，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，，，，設，則，平面，∴平面的法向量為，，∴，不妨設，則，，則，二面角的大小為，∴，∴，，∴，∴.方法二：過作交于點，再過作交于點，顯然這樣會有平面，而這個正三角形加上，可知，意味著，同時很自然的也會有，而二面角很顯然就是，這個是，說明，綜合上面的條件，會得到，然后，再然后，故，同時，得到，那么就有.2.在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足.記的軌跡為.（）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.答案：見解析解析：（），，，，表示雙曲線的右支，的方程為.（2）設，設直線的方程為：，，，，，∴，設，同理可得，∴，∴，∵，∴，.22.已知函數.（）討論的單調