2022-2023學年云南省楚雄州高二(下)期末數學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

2.已知集合4={x∣%2-5x-6<0},B={x∣2x-3>0},則AnB=()

A.(∣,6)B.(-l,+∞)C.(∣,+∞)D.(6,+∞)

3.某學生記錄了自己8次每分鐘的跳繩數：158,149,166,143,151,162,147,163.則

該組數據的第25百分位數為()

A.147B,148C.149D.151

4.過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數學

家明安圖在得IJ圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓(x+I/+(y-2)2=4的一條

通徑與拋物線y2=2px(p>0)的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則P=()

A.?B.1C.2D.4

5.函數/(X)=嘉的部分圖象大致為()

-y―y

A._______?_______.

lB.XL≤ΞL.

____X___￥0X

y

c.xL——D-------Xz>

o×ΣZZJ一/0X

6.當點M(2,-3)到直線(4m-1)X-(m-l)y+2m+1=0的距離取得最大值時，n?=()

A.2B.iC.-2D.-4

7.如圖，已知P(-2,2),Q(L2),則CoS(NPOQ+》=()y↑

A-

B.-

0∣X

C3√~IΠ

■io-

θ--?

8.已知球。的半徑為2,AfB,C三點在球。的表面上，SLAB1AC,則當三棱錐O-4BC的

體積最大時，AB=()

A?B.殍C.?r?D?殍

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.我國在預測人口變化趨勢上有直接推算法、灰色預測模型、IMR模型、隊列要素法等多

種方法，直接推算法使用的公式是匕=Po(I+k)fl(k>-l),其中&為預測期人口數，PO為

初期人口數，k為預測期內人口增長率，H為預測期間隔年數，則下列說法正確的有()

A.若在某一時期內-l<k<0,則這期間人口數呈下降趨勢

B.若在某一時期內k>0,則這期間人口數呈上升趨勢

C.若在某一時期內0<k<l,則這期間人口數擺動變化

D.若在某一時期內k=0,則這期間人口數不變

10.已知函數/"(x)=2stna>xcos3x—2√"3sin20)x+√^3(<υ>0)的最小正周期為兀，則()

A.ω=1B.ω=2

C.直線X="是f(x)圖象的一條對稱軸Dj(X)在[0,3上的值域為2]

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A'B'C'D'中，點。為底面

ABCD的中心，則()

A.與BB'異面的面對角線共有8條

B.A'D1BD'

C.異面直線40與BD'所成角的余弦值為容

D.若P為正方體4BCD-4'B'C'D'內的一個動點，且4P1BD',貝加。的最小值為浮

12.己知α>0,e>0,且eα=^b2+ln(b+e),則下列等式可能成立的有()

A.a=bB.α=b+lC.e=α+1D.b=α+2

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量五=(Tn,m+2),B=(6,3)，若行〃石，則m.

14.(X-1)9的展開式中，常數項為.

n

15.數列｛%l｝滿足%==2,an+2=*叱廠嗎S:則｛而的前2023項和

Ianan+lfan—an+l

S2023=----------

C：

16.己知雙曲線捻一，=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為0,F2,。為坐標原點，以

汽尸2為直徑的圓與C在第二象限內相交于點4與C的漸近線在第一象限內相交于點M,且

IJC

OM//F1A,貝的離心率為,若AAMFi的面積為4,則C的方程為

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知AABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且√~5bsinC=3ccosB.

(1)求角B的值；

(2)若b=4,ac=16,求AABC的周長.

18.(本小題12。分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PB，平面48CD,底面ZBCD為直角梯形，ZBAD=?ABC=90°,

PB=AB=BC=2AD=6,F為PA的中點.

(1)證明：BF1PD.

(2)求二面角P-CD-尸的余弦值.

P

19.(本小題12.0分)

已知等差數列｛%t｝的前n項和為％,且a?=-11,S3=Sr7.

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)試求出所有的正整數m,使得對任意正整數n,均有Sjn<S"+l.

20.(本小題12。分)

若n是一個三位正整數，且n的個位數字大于十位數字，十位數字大于百位數字，則稱H為“三

位遞增數”(如146,369,567等).

(1)從1,2,3,4,5這五個數中，任取三個數組成一個三位遞增數，求這個數能被5整除的

概率.

(2)在某次數學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數”中隨機抽取1個數，且只

能抽取一次.得分規則：若抽取的“三位遞增數”的三個數字之積既不能被3整除，又不能被5

整除，參加者得O分；若能被3或5整除，但不能被15整除，得1分；若能被15整除，得2分.已

知甲參加該活動，求甲得分X的分布列和數學期望.

21.(本小題12.0分)

橢圓C：≡∣+4=l(α>b>0)的左、右頂點分別為做一2,0),Tl2(2,0),上頂點為B(0,1),Q是

ab

橢圓C在第一象限內的一動點，直線AzQ與直線相交于點P,直線BQ與X軸相交于點R.

(1)求橢圓C的方程：

(2)試判斷直線PR是否經過定點.若經過，求出該定點的坐標；若不經過，請說明理由.

22.(本小題12.0分)

已知函數f(x)=(2x—2')ex—ax2+2a2.

(1)若α=L求不等式/(/>0的解集;

(2)若0<α<l,證明：f(x)有且只有一個零點與，且α*o<5?

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：2—七=2—缺3='—

l+ι222

故選：D.

根據復數除法運算求解.

本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：由∣χ2一5x—6<O解得，-1<X<6,

所以4={x∣—1<X<6},

又因為B={x∣x>|},所以AnB=G,6).

故選：A.

根據一元二次不等式的解法和交集的運算求解.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：數據158,149,166,143,151,162,147,163從小到大排序為：143,147,149,

151,158,162,163,166,

8X25%=2,

所以該組數據的第25百分位數為智竺=148.

故選:B.

將原始數據從小到大排序，再結合百分位數的定義，即可求解.

本題主要考查百分位數的定義，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：因為圓(X+I)?+(y-2)2=4的一條通徑與拋物線/=2px(p>0)的通徑恰好構成

一個正方形的一組鄰邊，

而拋物線y2=2px(p>0)的通徑與X軸垂直，

所以圓(X+I)2+(y—2)2=4的這條通徑與y軸垂直，

且圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，

因為圓Q+1)2+(y—2)2=4的圓心為(一1,2),半徑為2,所以

該圓與y軸垂直的通徑的右端點為(1,2),

即拋物線y2=2px經過點(1,2),則4=2p,即p=2.

故選：C.

根據圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，可得拋物線

y2=2px經過點(1,2),從而求解.

本題考查了拋物線與圓的性質，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：因為/(X)=碧的定義域為(一8,0)U(O,+8),關于原點對稱,

旦/(τ)=τ?γ=??=f(辦

所以是偶函數，排除C,D,

當x>0時，/(x)>0,排除4.

故選：B.

根據奇偶性排除C,D；根據當％>0時，f(x)>O,排除4從而可得答案.

本題主要考查了函數奇偶性的判斷，考查了函數圖象的變換，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：由(4τn-l)x-(m-l)y+2m÷1=0,得(4X-y+2)m-x+y÷l=0,

(4x-y-^2=0

聯―Ir+y+l=0解得Z?,?直線經過定點N(—1,—2),

當直線MN與該直線垂直時，點M到該直線的距離取得最大值,

4772-1-3-(-2)

此時——1,解得m——2.

m—12-(-1)

故選：C.

化簡直線為(4x-y+2)m-x+y+1=0,得到直線經過定點N(—1,-2),結合直線MN與該直線

垂直時，點M到該直線的距離取得最大值，列出方程，即可求解.

本題考查點到直線距離公式的應用，考查化歸與轉化思想，考查運算求解能力，是基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：因為P(-2,2),所以射線OP與X軸的負半軸的夾角為土

又Q(l,2),則PQ=>M+22=門,

所以COS(ZJ5OQ+今=cos(τr—NQoX)=-cos?QOx=*=—胃.

故選:B.

由點P的坐標可得射線OP與X軸的負半軸的夾角為會由此可得cos("OQ+：)=cos(π-乙QOX)=

-coszρθx,再根據點Q的坐標即可求解.

本題考查了求解三角函數值問題，屬于基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：如圖，設AB=α,AC=b,設△ABC外接圓半徑為r,則BC=2r,

設點。到平面4BC的距離為九，則α2+b2=4i,產+九2=4,∕^^^??

則Lo-ABC=3αbh≤W(α2+b2)∕ι=gr2h=χ4-∕ι2)∕ι,當且僅當A--..............1.........'Λ

?乙L乙??,Xl≡

α=b時，等號成立，

zz

%-A8C=(0<”<2，所以V'o-ABC=g-h2,沃=JSX**

當0<九<馬?時'U'θ-A8C>°，當2，^<Zl<2時,U'θ-4BC<°，

所以當∕l=*時，VOYBC取最大值，此時α=b=殍.

故選：D.

設AB=α,AC=b,BC=2r,點0到平面ABC的距離為九，則a?+/=4/,r2-∣-∕ι2=4,然后

表示出三棱錐0-ABC的體積，結合基本不等式和導數可求出其最大值.

本題考查了多面體與球的綜合問題，考查了基本不等式、導數的應用，考查了數學計算能力，屬

于難題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對于4由B=Po(I+k)n(k>-l),得當一l<k<0時，0<l+k<l,

因為PO>0,所以對任意的n6N*,匕>0,

所以等I=%備^=l+k<l,則&+】<%，

此時，在某一時期內-l<k<0,則這期間人口數呈下降趨勢，故A對；

對于8,當k>0時，l+k>l,

因為Po>O，所以，對任意的neN*,Pn>0,

所以，贊=霽霽=1+上>1'則&+】>4，

rn尸0l1^+^κ√

故在某一時期內k>0,則這期間人口數呈上升趨勢，故B對；

對于C,由B選項可知，在某一時期內0<k<l,則這期間人口數呈上升趨勢，故C錯;

對于D,當k=0時，Pn=P0,

故在某一時期內k=0,則這期間人口數不變，故。對.

故選：ABD.

利用數列的單調性逐項判斷，可得出合適的選項.

本題考查了數列的單調性、指數函數的性質，屬于中檔題.

10.【答案】AC

【解析】解：因為f(x)=2sinωxcosωx—2√^^3sin2ωx+√-3=sin2ωx+?∕~3cos2ωx=

2sin(2ωx+今，

又因為f(x)的最小正周期為兀，所以舁=兀，解得3=1,故A正確，B錯誤;

則/(x)=2sin(2x+今，所以/臉)=2s譏(2X令+卞=2,所以直線X=雪是f(x)圖象的一條對

稱軸，故C正確；

?0≤x≤?,≡≤2X+^≤?,-√3≤2sin(2x+?≤2,則f⑶在［0,芻上的值域為［-，瓦2］,

所以。錯誤.

故選:AC.

利用正余弦的倍角公式以及輔助角公式化簡函數的解析式，然后根據函數的周期求出3,即可判

斷4B,代入X的值，求出函數/(雪)的值，由此即可判斷C,根據X的范圍求出2x+韻勺范圍，再

根據正弦函數的性質即可求出函數的值域，由此即可判斷D?

本題考查了兩角和與差的三角函數公式的應用，考查了正弦型函數的性質，考查了學生的運算求

解能力，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：正方體力BCD-A'B'C'D'的面對角線共有12條，

其中與BB'共面的面對角線有6條，所以與BB'異面的面對角線有6條，A

不正確.

連接4。'，由4'。1AD',A,D1AB,AD'C?AB=A,知4。_L平面AB。'，

所以AD-LBD8正確.

取。。的中點E,連接4E,OE,^?A,E=yΓ^5,0E=y∏,A'0=√^6.

則COS乙4'。E

2A'00E=^3^,

即異面直線40與8?所成角的余弦值為殍，C正確.

連接AC',CD,P為正方體內的一個動點，且APJLB劫,

由BD'1平面A'C'。知，P在A4'C'0內，當P為BD'與平面AC'。的交點時，PD'取得最小值,

由?J'-A'C'0=^D-A'C'D',可得PD'=。正確.

故選：BCD.

判斷與B8'異面的面對角線的條數，判斷/的正誤.

連接ZD',通過直線與平面垂直，判斷B的正誤.

取。。的中點E,連接4E,OE,求解異面直線4。與BD'所成角的余弦值，判斷C的正誤.

連接AC',CD,利用由％,i,c,°=V0T,C,D,,可得P。'，判斷。的正誤.

本題考查直線與平面的位置關系的判斷，異面直線所成角的求法，空間距離的求法，是中檔題.

12.【答案】CD

［解析］解：令f(x)=/一g%2_］rι(x+e),則r(X)=e*—X—

令g(χ)=ex-X—則g'(χ)=ex-1+-?-J.,

八'x+e(x÷e)

當%>0時，βx-1>0,則g'(%)>0恒成立，故g(x)在(0,+8)上單調遞增.

因為g(0)=1-?>0,所以g(x)>0,即/(X)>0在(0,+8)上恒成立，/(%)在(0,+8)上單調遞

增,

當x>0時，/(x)>/(0)=0,BPex>-X2+ln(x÷e),

1212

-e++>-Q

從面e°2In(6β)2+?n(ɑ+e).

令W(X)=∣x2+ln(x÷e)(x>O),φ,(x)=x÷>O(X>0),則p(x)在(O,+8)上單調遞增，

則b>a

故選：CD.

令f(%)=e"一^%2-ln(%+?),根據導數工具證明f(%)>0,把條件可轉化成+[n(b+e)>

?ɑ2+?n(ɑ+e),然后再根據程(X)=∣x2+In(X+e)的單調性來判斷.

本題考查導數的綜合應用，化歸轉化思想，屬中檔題.

13.【答案】一4

【解析】解：因為五〃所以6(?n+2)—3?n=0,解得Tn=—4.

故答案為：-4.

根據向量共線的坐標表示直接列式求解.

本題主要考查平面向量共線的性質，屬于基礎題.

14.【答案】-672

【解析】解：(X-幼的展開式的通項公式圖+1=C?X9-r(-?)r=(一2)j^Cjχ9-3r,

令9—3r=0,可得r=3,

所以展開式中的常數項為(一2)3X或=-672.

故答案為:—672.

求出二項展開式的通項公式，令》的指數為0,求出r的值，即可求得常數項.

本題主要考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

15.【答案】1351

【解析】解：因為的=I,。？=2,αn+2=｛比LnTΞ"

iɑ??α∏+ι,%ι—ttn+ι

,F聽以。3=1，。4=1,Clc=0,。6=1，。7=1，ɑθ—0?CLt)=1,。10=1,ɑ??—0,

則｛an｝從第3項起以3為周期的周期數列,

所以52023=674×2+3=1351.

故答案為：1351.

根據已知遞推式求出&3,α4-ɑs.。6,?7-ɑs-則可得｛αj2｝從第3項起以3為周期的周期數列，從

而可求得答案.

本題考查了數列的周期性，屬基礎題.

16.【答案】

28

【解析】解：如圖，因為0M〃6A,所以tan乙4&F2=，

又14尸2，I&F2I=2c,所以∣4F∕=2α,?AF2?=2b,

則2b=4α,所以b=2α,則c=√~^α,所以e=(=√~^.

因為&(-c,0)到漸近線。/y=~的距離為了與

aJb+αz

因為。“〃&力，所以點M到FIA的距離為b,

11

所以SAMnFi=2×MFll×b=-×2a×b=2a2=4,

22

所以ci2=2,b=4a=8,則C的方程為［一(=1.

故答案為：√-5;?-?=l?

28

根據直線的平行關系與斜率的關系和直角三角形邊與角的關系結合雙曲線的0h,C的關系可求

離心率；再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，進而可表示面積.

本題考查雙曲線的性質，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)因為=3ccosB,所以V"3s譏BSiTIC=3sinCcosB,

又C為△4BC內角，sinC≠0,所以√^^sinB=3cosB,

顯然8=］不滿足√"^5si幾8=3cosB,即有tanB=√-3,

而Be(0,π),所以B=或

(2)由余弦定理得/=a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

b=4,ac=16,則Q÷c=√h2÷3ac=8,

所以BC的周長為a+b+c=12.

【解析】(1)利用正弦定理邊化角，結合同角的三角函數關系化簡，即可得答案；

(2)由余弦定理結合已知條件，即可求得答案.

本題考查了正余弦定理，考查了運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)證明：因為PB_L平面/IBC。，ADU平面4BCD,

所以PBJ.皿

又乙BAD=90°,

所以AB1AD.

由PAnAB=4,PA,ABU平面PAB,

得ZD1平面24B.

因為BFU平面P4B,

所以4。1BF.

因為尸為PA的中點，PB^AB,

所以PA1BF.

由PanAD=A,PA,ADU平面PAD,

得BFJ■平面Pm

因為POU平面PA。，

所以BF1PD.

(2)因為PBI平面ABCD,AB,BCU平面ABCD,所以PBJ.AB,PB1BC,

因為力BlBC,所以BA,BC,BP兩兩垂直，

所以以B為坐標原點，分別以BA,BC,BP所在的直線為X,y,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系，

則P(0,0,6),F(3,0,3),C(0,6,0),D(6,3,0),

CF=(3,-6,3),^CD=(6,-3,0).CP=(0,-6,6).

設平面CDF的法向量為萬=(XlJi,Zi),

則四?三=3%-6%+3z1=。,令Q1,得記=(IZ3).

(Tn?CD=6x1—3y1=0,

設平面Cz)P的法向量為亢=Q2f2,Z2),

n-CD=6x—3%=0,

則2令&=1，得五=(L2,2).

nCP=-6y2+6z2=0,

沆員_11_11√^4

cos(in,n)=

∣rn∣∣n∣-3?Λl4^42

由圖可知，二面角P—CO-F為銳角,

所以二面角P-CD-F的余弘值為耳更.

42

【解析】(1)由PB_L平面力BCD,得PB14D,結合AB1AD可得ZD_L平面P4B,則Az)IBF,再

由等腰三角形三線合一可得Pa1BF,再由線面垂直的判定可得BFJ_平面P4D,從而可得BF1PD,

(2)由題意可證得B4BC,BP兩兩垂直，所以以B為坐標原點，分別以B4BC,BP所在的直線

為X,y,Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.

本題考查空間中垂直關系的判斷，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力，

推理論證能力和運算求解能力，考查直觀想象和數學運算等核心素養，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)設｛等差數列即｝的公差為d,則愿「如

十?ɑ—?/CLA十1?OCL,

解得Ql=-19,d=2,

故冊=α1+(n—l)d=2n—21；

n2

(2)由(1)可知，Sn="αQ=n2-20n=(n-IO)-100,

當n=10時，S71取得最小值-IO0,

由Sm≤Sn+1恒成立，得τ∏2-20m+99≤0,解得9≤m≤11,

因為TneN*,所以τn=9或10或11.

【解析】(1)由已知結合等差數列的通項公式及求和公式可先求出首項及公差，再求等差數列的通

項公式；

(2)結合等差數列的求和公式及二次不等式的求法即可求解.

本題主要考查了等差數列的通項公式及求和公式的應用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)若從1,2,3,4,5這五個數中，任取三個數組成的一個三位遞增數共有底=10

種情況，

若這個數能被5整除，

此時個位數為5,滿足條件的情況有廢=6種情況，

則這個數能被5整除的概率P=4=|；

(2)易知IX的所有取值為0,1,2,

因為滿足條件的三位遞增數共有瑤=84種情況，

當X=O時，抽取的“三位遞增數”的三個數字之積既不能被3整除，又不能被5整除，

此時該三位遞增數中不能含有數字3,5,6,9,

則滿足條件的三位遞增數有或=10種情況，

則P(X=O)=患=竟，

當X=I時，抽取的“三位遞增數”的三個數字之積能被3或5整除，但不能被15整除，

此時該三位遞增數中有數字5且沒有數字3,6,9或至少有數字3,6,9中的1個且沒有數字5,

則滿足條件的三位遞增數有量+CKV+戲讖+C∣=10+30+15+1=56種情況，

則P(X=I)=符=|,

當X=2時，抽取的“三位遞增數”的三個數字之積能被15整除，

此時該三位遞增數中有數字5且至少有數字3,6,9中的1個，

則滿足條件的三位遞增數有CKJ+Cl=18種情況，

則p(χ=2)=∣∣=能

所以X的分布列為：

X012

523

P

42314

此時E(X)=OXK+lx∣+2X號=舁

【解析】(1)由題意，得到滿足條件的三位遞增數和個位數能被5整除的情況，利用古典概型概率

公式進行求解即可；

(2)先得到X的所有取值，求出相對應的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本題考查離散型隨機變量分布列及數學期望，考查了邏輯推理和運算能力.

21.【答案】解：(1)由橢圓C：務5=1的左、

右頂點分別為Aι(-2,0),Λ2(2,0),

上頂點為B(0,l),可得α=2,b=l,

2

所以橢圓C的方程為I+y2=1.

4J

(2)依題可設直線&Q的方程為y=k(χ-2),其

中攵V

(y=fc(x—2)

聯立方程組包+丫2_］，整理得(l+4k2)χ2-i6∕c2χ+169—4=0,

H-J?16/—4ZB8k2—2

由W=由，"由’

則為=箴，

直線A/的方程為y=∣x+1,

(y=k(x-2).,?

聯立方程組1,1,解得孫=招z1，yp=患，

Iy=+1f2fc-l"2k-l

+T_

由8,Q,R三點共線，得電［=*，

UK—Z八R

4fc2+l

解得XR=好，

4k

直線PR的方程為y-O=4k鼻-2(X-W