初中數學教學中推理能力的培養--以全等三角形為例目錄TOC\o"1-3"\h\u152551緒論 緒論1.1研究背景在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，提出了“推理能力”這一關鍵詞，并在總體目標中指出，要使學生“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。”[11]在三個學段的目標中，也系統闡述了有關培養和發展學生推理能力的問題。在新一輪數學課程改革剛剛開始時，推理能力的培養就被作為義務教育數學課程的核心目標之一被提出。隨著時代的發展，推理能力這一關鍵詞在數學學習中也有了更多更新的、與時代相結合的特征。推理能力有多種分類，可以分為代數推理能力和幾何推理能力兩大部分。其中，幾何推理能力在義務教育階段是一個非常重要的素養，對于學生未來的數學學習、其他學科的學習乃至生活的方方面面都有著重要的作用，對提高學生數學思維水平有重要意義，是義務教育階段的主要任務之一。在幾何推理能力中，也包含有關于幾何的合情推理和演繹推理。同時，幾何推理能力還與核心素養中的其他素養，例如幾何直觀素養息息相關。1.2研究目的和意義本文基于幾何推理能力的構成，旨在通過對具體教學案例“探究三角形全等的條件”的分析，對課堂教學中對于幾何推理能力培養方式方法進行分析和總結，并找到其中存在的缺陷和問題。在相關理論的指導下尋找培養幾何推理能力的新方式和新途徑，并在具體教學中加以實施和改進，總結得出有效的相關教學策略，最終根據幾何推理能力的構成和教學策略制定一個優化后的課堂教學設計。通過本研究，研究者希望總結得出關于幾何推理能力的有效教學策略，并對“探究三角形全等的條件”一課進行優化后的教學設計，包括具體有效的程序性操作和步驟，并對于測量和評價學生在幾何推理能力的培養和提高上產生一定的指導意義。同時可以給教師在具體教學操作上帶來一定的啟發和幫助，將幾何推理能力的培養落在課堂教學的實處，并能很好的觀察和測量。1.3核心概念1.3.1幾何推理能力推理是指個體在頭腦中根據已有的判斷，通過分析和綜合引出新判斷的過程。[1]而推理能力則是通過已有命題，經過提煉、分析、總結、推理，得到一個新命題的能力。推理能力是一個較大的概念，涵蓋的范圍很廣，同時有多種類型和分類方式，可以按照推理的形式分類，分為演繹推理、歸納推理和類比推理，也可以按照推理的內容分類，將其分為代數推理能力和幾何推理能力兩大部分。本文要論述的幾何推理能力又與義務教育階段十大數學關鍵概念中的幾何直觀有著密切聯系，建立在幾何課程的基礎上。幾何推理是課程改革中的一個重要概念，它替代了幾何證明，對于推理能力的發展起著不可替代的重要作用。推理能力是指從已知的理論或條件推導和判斷出新的理論和關系的能力，而本文中的幾何推理能力則是在幾何圖形中由已知的關系和條件推導和判斷未知的關系和結論。具體而言，幾何推理與幾何證明相似，但有所不同。幾何證明主要指相對嚴密的邏輯演繹推理，需要具備足夠多的給定條件和理論支持，才能對幾何問題進行證明和求解。而幾何推理在處理問題時，對給定條件的要求相對較低，在已知條件的基礎上，大膽猜想、小心求證。因此幾何證明可以涵蓋在幾何推理中，是幾何推理中的較為嚴格、嚴密的部分。1.3.2教學設計教學設計本身是指根據課程標準的要求和教學對象的特點，將教學中的各個要素按照一定順序進行排列，最終確定合適的教學方案的設想和計劃。本文中的教學設計是根據幾何推理能力的構成、針對幾何推理能力的培養，通過對所選案例的優點和缺陷進行分析和總結后，進行的優化后的“探究三角形全等的條件”的教學設計。本文中的教學設計中包括“探究三角形全等的條件”一課的教學目標、任務分析、教學重難點、教學過程和板書設計。

2案例分析與研究“探究三角形全等的條件”一課是蘇教版初中數學教材七年級下冊的內容，它是本冊教材第十一章“圖形的全等”中的內容。在“圖形的全等”這一章節中首先學習了“全等圖形”、“全等三角形”，最后學習“探索三角形全等的條件”的內容。而本次研究所選取的案例為“探索三角形全等的條件”一課的第一課時的內容，學習的是三角形全等的第一個判定定理——兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，簡稱邊角邊定理（或SAS）。作為在學習了全等三角形定義后對全等三角形進一步認識，為學習接下來的幾個判定定理起到關鍵性作用，決定了學習全等三角形判定定理的總體方向和思路，并為解決三角形全等的相關的幾何證明問題奠定基礎。本案例選自2020年9月，Y老師在某市GS中學八年級18班講授的“探索三角形全等的條件”第一課時。本案例能很好地體現課堂教學中有重點地對幾何推理能力的培養，幾何推理能力構成的各個組成部分的強化和培養都在教學中有所體現，并在教學過程中潛移默化地體現了相關有效的教學策略的實施。2.1舊知回顧回顧上節所學的三角形全等的定義和性質，從而調動學生的原有認知。這一步帶給學生的是直觀上的感受和猜測，還需要有條理的驗證和證明，而本節課所做的其實就是對此直觀感知的明確和驗證。通過這一步的鋪墊，有利于培養和提高學生幾何推理能力中幾何直觀的部分。片段一師：在上節課中，我們認識了全等三角形。大家還記得全等三角形的定義和性質嗎？請你來說說全等三角形的定義。生1：兩個能完全重合的三角形叫做全等三角形。師：很好，大家一起來說說，全等三角形的性質是？生：對應邊相等、對應角相等。師：很好，那請問全等三角形有幾組對應邊相等、幾組對應角相等？生：各有三組。師：很好。再來看這個問題：已知△ABC≌△A’B’C’，△ABC的周長為10cm，AB=3cm，BC=4cm，則：A’B’= cm，B’C’= cm，A’C’= cm.讀題，讀完點學生立刻回答生2：A’B’=3cm，B’C’=4cm，A’C’=3cm.師：很好，這里我們運用了全等三角形的？生：對應邊相等的性質。師：看樣大家上節課掌握的都不錯。這節課我們要來探究三角形滿足什么樣的條件，可以證明它們全等。回顧上節所學的三角形全等的定義和性質，從而調動學生的原有認知。這一步帶給學生的是直觀上的感受和猜測，還需要有條理的驗證和證明，而本節課所做的其實就是對此直觀感知的明確和驗證。通過這一步的鋪墊，有利于培養和提高學生幾何推理能力中幾何直觀的部分。這里缺乏一步點明，告知學生，現在要由已知兩個全等三角形學習其定義和性質，反過來已知兩個三角形要證明它們全等。這樣既可以調動和強化學生的已有知識，又能使學生產生一個初步的思考和探究方向，同時調動學生的學習興趣、引發他們的思考，促進幾何直觀能力的培養。2.2情境創設創設生活中的問題情境，引發學生認知沖突，體現幾何推理在日常生活中的重要性。借助生活情境中問題的解決思路和方向，從尋找最優解的角度，自然的將探究的順序定為數據的從少到多，從而確定了接下來探究的方向，促進學生的理解，也使學生在幾何推理方面的問題解決能力上有所提高。片段二師：我們一起來看這樣的一個情境：某公司接到一批三角形架的加工任務，客戶要求是所有的三角形必須全等。客戶為了使產品順利過關，提出了明確的要求：要逐一檢查三角形的三條邊、三個角是不是都相等。部門職員小王提出了質疑：分別檢查三條邊、三個角這6個數據固然可以，但為了提高效率，是不是可以找到一個更好的方法，只量一個數據可以嗎？學生小聲討論和爭辯生：好像不可以。師：那么兩個數據呢？三個呢？學生討論和爭辯師：好，下面讓我們一起來探究。2.3探究活動2.3.1初步探究按照數據由少到多的順序條理清晰、步驟明確地進行探究，并引導學生進行不同情況下的清晰明了的分類討論，從而培養學生的數學思維。在探究過程中，通過引導學生親身研究和體會要素之間的關系，能很好地培養學生幾何推理能力中的關系推理能力。片段三師：首先第一個活動，只量一個數據，我們一起看看，是否能證明兩個三角形是否全等。只量一個數據可以有幾種情況呢？生：一條邊相等、一個角相等。教師板書分類，學生在學案上記筆記師：首先我們看如果一條邊對應相等，我們發現：教師PPT展示同一條邊的不同三角形生：兩個三角形不一定全等。師：我們再來看如果一個角對應相等，我們發現：教師PPT展示同一個角的不同三角形生：兩個三角形不一定全等。師：由此我們得到結論：滿足一個條件，也就是，只有一條邊或一個角對應相等的兩個三角形？生：不一定全等。教師板書結論，學生在學案上記筆記師：所以一個數據是不夠的。那么現在來看，如果只量兩個數據，首先我們應該要分類討論一下，可以量哪兩個數據呢？請你來說。生2：兩個角對應相等、兩條邊對應相等、一個角和一條邊對應相等。學生2邊說教師邊板書分類師：一個角和一條邊只有一種情況嗎？生2：兩種。一個角和其臨邊、一個角和其對邊。師：很好。教師板書補充分類師：首先我們看兩角對應相等的兩個三角形，它們一定全等嗎？這兩個三角形有兩個角對應相等，它們全等嗎？教師PPT展示兩角相同的不同三角形生：不全等。師：所以，兩個角對應相等的兩個三角形？生：不一定全等。教師板書結論，學生在學案上記筆記師：如果兩條邊對應相等呢？猜測一下是否能使兩個三角形全等、為什么？生：不能，兩條對應相等的邊所夾的角變大變小，使得兩個三角形不全等。師：很好，我們一起來看PPT。教師PPT展示兩邊相同的不同三角形師：所以我們得到的結論是？生：兩條邊對應相等的兩個三角形不一定全等。教師板書結論，學生在學案上記筆記師：那我們來看第三大類，一角一邊的情況下的第一種情況：三角形的一個內角和其鄰邊分別相等。滿足這兩個條件的三角形一定全等嗎？自己設定一個邊的長度和一個角的角度畫畫看。學生討論、交流，嘗試畫出不同三角形教師在臺下走動，觀察和指導學生師：請將你畫的三角形給大家展示一下。學生3上黑板展示畫出的三角形生3：我設定的邊長是3cm，角度是45°，可以畫出無數個三角形。師：所以你的結論是？生3：一個內角及其鄰邊分別相等的兩個三角形不一定全等。師：大家都得到了這個結論嗎？生：對！師：請看老師畫出的情況。教師PPT展示一角及其鄰邊相同的不同三角形師：所以，一個角和其鄰邊對應相等的兩個三角形？生：不一定全等。師：再看一角一邊相等的第二種情況：三角形的一個內角和其對邊分別相等。同樣你可以試著畫畫看，這樣的兩個三角形全等嗎？請你上黑板畫畫看。學生4上黑板畫出確定一角和對邊的不同三角形師：他畫的對嗎？生：對！師：很好，因此我們得到結論？生：一個角及其對邊對應相等的兩個三角形不一定全等。教師板書結論，學生在學案上做筆記在這里存在的問題是，教師大多數時候將學生需要探究的部分直接演示，學生并未親身經歷探究的過程，首先會導致學生對于探究所得到結論的理解停留在表面，缺乏深層次理解。由于此處要素較多、關系較復雜，學生僅觀察教師的操作，很難達到對每步操作的目的和方法深入理解，容易對要素之間的關系的理解產生錯亂，從而不利于對關系推理能力的培養。2.3.2深入探究至此，本節課的新知識初步展現。由于元素較多，且元素之間關系較為復雜，此處教師有明顯的課堂節奏的調整，從而側重關系推理能力方面的培養。通過放慢節奏、搭建支架，步步引導和啟發學生，從分類到探究，都有一定的啟發引導，并給出明確的方向。在此基礎上將內容交由學生自己親自著手探究，使學生充滿學習興趣的同時，對所得到的結論更加理解和信服。這一步在要素之間的關系變復雜的過程中，將教師的主導性和學生的主體性充分結合，很好的提升了學生的關系推理能力，學生在關系探尋中發現和理解這些關系，建立解決問題的關系網絡。片段四師：由此我們發現，測量兩個數據也不足以證明兩個三角形全等。由此可見：要使兩個三角形全等至少需要？生：三個元素對應相等。師：三個元素對應相等可以有多少種情況呢？我們知道，三角形一共有多少個元素？生：6個元素，包括三條邊和三個角。師：請你說說你是分了哪幾種情況？生：兩條邊一個角對應相等、兩個角一條邊對應相等、三條邊對應相等、三個角對應相等。教師邊聽邊板書分類，學生記筆記學生竊竊私語，對此分類有異議師：很好，他分了四個大類。誰還有補充？生6：其中兩個邊和一個角的情況還可以分為兩個邊及其夾角、兩邊和其一邊的對角這兩種情況。還有兩角一邊的情況可以分為師：來，剛剛這位同學，經過這位同學的提示，你自己補充，兩角一邊的情況還可以分為？生5：兩角及其夾邊、兩角和其一角的對邊這兩種情況。教師補充板書分類師：很好。需要注意，這里有四種大情況，前兩種情況每個又可以分為兩種小情況。好，現在我們來看其中第一種情況：兩邊一角的情況。分成的兩種小情況兩邊一夾角和兩邊一對角如圖所示。教師PPT展示兩種情況師：這樣的條件下，能否得到兩個三角形全等呢？我們來進行一個實驗，一起畫一畫、比一比：首先請你畫一個∠MAN=45°，然后分別以PPT上兩個圖片所展示的情況，分別截取邊長a=8cm、b=6cm，做出三角形。最后剪下你所作出的△ABC，小組同學比較兩種情況下，你們所作的三角形是否全等。學生動手操作、討論交流教師下臺巡視，指導學生師：經過實驗你發現，兩邊一角的第一種小情況：兩邊一夾角對應相等，這樣的情況下，三角形是？生：全等的。師：而兩邊一角的第二種小情況：兩邊一對角對應相等，這樣的情況下三角形？生：不一定全等，出現了兩種情況。師：因此我們得到結論：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形是？生：全等的。師：下面的幾種情況放在下節課我們再來探究和討論。2.4精心呈現，記憶新知此處呈現本節課所學的新知識，對文字語言和幾何語言兩種語言進行了總結和規范。尤其是對于幾何語言，教師不僅反復強調幾何語言在使用過程中需要注意的規范，同時對其書寫規范加以生動解釋，更能促進學生對于幾何語言規范的理解，從而在今后出于主動、自發地保持良好的幾何語言書寫規范和嚴謹性。學生也能很好地體會到幾何證明的嚴謹和嚴格，加深和強化學生對于邏輯語言的認識和理解，在培養學生幾何推理能力中語言描述能力的同時，提高學生對于幾何推理的認識。規范嚴謹的邏輯語言是學生在日后學習幾何推理以及解決幾何證明問題的基礎和重中之重，良好和規范的書寫習慣的養成對于學生幾何推理能力中的語言描述部分發揮著重大的作用。片段五師：這就是這節課我們要學的第一個新知識點，判定三角形全等的條件之一：兩邊及其夾角分別相等。我們一起來讀一遍。生：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。教師板書知識點，學生記筆記師：這個判定定理也可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”。一起來記下，三角形全等的第一個判定定理。這是他的文字表述，在題目中運用這個定理時，我們需要書寫它的幾何語言：∵在△ABC與△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）教師板書幾何語言師：首先，我們要證明哪兩個三角形全等，就要先寫出這兩個三角形，也就是“在△ABC與△DEF中”。教師在“在△ABC與△DEF中”下面劃線.師：然后我們來尋找三個條件，找到三個條件后，首先要注意三個條件的書寫順序，由于是兩邊及其夾角，因此我們通常把兩邊寫在首尾，把夾角寫在中間，像這樣列出來，然后需要用大括號把他們括起來。教師描紅大括號師：最后，我們寫出得到的結論“△ABC≌△DEF”，結論的三角形書寫要注意字母的對應。還需要注意的是在全等結論后寫上括號：SAS，來說明此時你用的是邊角邊這種判定方法。教師在“SAS”下面劃線師：這就是邊角邊判定定理的幾何語言，請大家在筆記上規范地書寫下來。2.5例題訓練，變式練習此處通過例題和變式，強化學生對新知識的理解和運用。與導入過程中的鋪墊呼應，新知識使學生在模糊的直觀感知基礎上得到嚴謹驗證，此處又對直觀感知進行強化。而實驗驗證后的直觀感知是學生直觀推理能力發展的重要體現。通過例題的反復練習，促進學生對邏輯語言嚴謹性的掌握和書寫規范性的熟練，從而使他們的語言描述能力得到應有的提高。在例二中，教師總結了在此類幾何證明問題解決過程中的常用思路和步驟，在眾多復雜的要素中引導學生學會甄別有效關系和無效關系，引導學生建立解決問題的關系網絡，從而在關系推理能力上達到一定的高度。片段六師：下面我們來一起運用我們剛剛所學的新知識，注意幾何語言書寫的規范性。來看例一，如圖，AB=AD,∠BAC=∠DAC.△ABC和△ADC全等嗎？為什么？同學們迅速在學案上寫一下，請這位同學上黑板來寫。學生在學案上寫題學生上黑板寫題師：大家一起看，這位同學做的如何？生：做對了。師：這里需要注意，題目中只給出了兩個條件，但事實上，圖中還有一個隱含條件，是？生：AC=AC。師：對，注意，這里AC是一條公共邊，不要漏掉這個隱含條件。同時要注意不要漏掉寫在結論后的說明“SAS”。下面我們將這個題目進行變式，第一個問題：DC=BC嗎？生8：等于。師：原因是？生8：我們剛剛得到這兩個三角形全等，根據全等三角形對應邊相等，所以得到DC=BC。師：很好，請坐。第二個問題：CA平分∠DCB嗎？生9：平分。師：因為？生9：兩個三角形全等，對應角相等，所以∠DAC=∠BAC，所以CA平分∠DCB。師：好的，我們來看第三個問題：這個例題中包含哪一種圖形變換？生：軸對稱。師：很好。我們來看第二個例題：如圖：AB=DC，∠ABC=∠DCB，求證：⊿ABC≌⊿DCB。在解決這類問題時，通常我們要先對已知進行分析。這里分析可以三步走：先審題：題目直接給我們的條件是：AB=DC，∠ABC=∠DCB。再審圖：看看圖中有什么隱含條件：BC是⊿ABC與⊿DCB的公共邊。再審結論：要證明的是：⊿ABC≌⊿DCB，結合結論，我們用到的判定定理是：SAS。教師板書分析過程師：下面寫出證明的過程，請同學們規范書寫，這位同學在黑板上寫。學生在學案上做題學生上黑板做題師：一起來檢查他寫的對不對，你寫對了嗎？生：對！2.6拓展提升在例題和拓展深入進行的過程中，對幾何證明過程中各個要素構成關系的復雜性不斷提升，問題的方向也不再單一，綜合性不斷增強。但這一切都在本節所學知識的基礎上進行，使學生提高問題解決能力的同時不斷加強對于新知識的運用和遷移，促進理解，最終實現對于形式邏輯推理能力的提升。片段七師：下面我們來對所學的知識進行拓展應用，看看再具體問題中，如何利用這個判定定理解決實際問題。如圖線段AB是一個池塘的長度，現在想測量這個池塘的長度，在水上測量不方便，你有什么好的方法較方便地把池塘的長度測量出來嗎？想想看。學生小聲討論師：我們來看小明的設計方案：先在池塘旁取一個能直接到達A和B處的點C，連結AC并延長至D點，使AC=DC，連結BC并延長至E點，使BC=EC，連結CD，用米尺測出DE的長，這個長度就等于A，B兩點的距離。請你說明理由。請大家在學案上寫，請這位同學黑板上寫。學生在學案上做題學生11上黑板做題師：大家和他做的一樣嗎？注意我們剛剛強調過的幾點書寫規范。生：一樣！2.7歸納總結此處通過課堂小結，回顧探究過程和探究思路，強化新知識的理解和記憶。片段八師：下面我們來總結一下今天所學的內容。(邊說邊指黑板上對應的知識點)我們一起探究了三角形全等的條件，我們發現：一個條件？生：不行。師：兩個條件？生：也不行。師：三個條件中，我們發現有一種情況證明兩個三角形全等。這個判定定理是？生：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。師：簡稱？生：邊角邊或SAS。師：很好，這節課上到這里，下節課我們將繼續探究三角形全等的其他條件。下課！由于時間問題，對于幾何語言嚴謹性和解決幾何問題思路的強調和強化有所欠缺，或許會造成部分學生對于語言描述和關系推理方面仍存在的欠缺。3相關教學策略研究3.1幾何直觀能力培養的教學策略3.1.1充分調動已有認知，搭建新舊知識之間的橋梁學生的新知識需要建立在已有知識的基礎上，這就需要教師幫助和引導學生搭建起新舊知識之間的橋梁，在幾何直觀能力的培養上這一點尤為重要。例如，在本文所選“探究三角形全等的條件”中，教師先帶領學生回顧上節課所學到的三角形全等的定義和性質，再從性質出發，帶領學生猜想通過證明對應邊、角之間的相等來證明全等。類似的，在幾何教學中，教師可以給出一個學生可以利用已有的知識經驗、直觀上可以觀察猜想得到結論的引入，而新知識就是對此結論的系統分析和論證。在學生發現的過程中，利用的就是已有認知，而猜想的結論作為新知，整個課堂教學就是一座從舊知到新知的橋梁。3.1.2借助實物和直觀，引導學生自主觀察發現在幾何教學中，借助日常生活中常見實物或直觀教具的類比是培養幾何直觀能力非常有效的途徑。例如，在本文案例中，雖沒有運用實物教具，但在探究過程中，教師帶領學生驗證猜想時通過作出符合給定條件的實際三角形，并通過剪下圖形比較是否重合的做法，可以讓學生很好地直觀感受出三角形全等的判定。在教學過程中，教師可以通過類比生活中常見的實物原型，引發學生的聯想推理，從而實現新概念和新知識的建構。這個過程要注意給學生一定的引導，指明觀察的重點和方向，同時需要注重學生的自主性，而不是教師取而代之的告知觀察結果。由此出發，引導學生根據發現進行探究，從而形成深刻而鮮明的經驗型認識，并逐步抽象為數學概念。3.1.3鼓勵大膽聯想、猜想，把課堂交給學生鼓勵學生的聯想和猜想，首先要體現在給學生“猜測”的機會，借助情境的設置充分調動學生積極性，允許和鼓勵學生大膽猜測。其次要讓學生猜的有理有據，這個過程也要貫徹前兩條策略，要在情境的設置中充分考慮學生的已有認知，不可讓學生毫無頭緒的亂猜、瞎猜；同時要充分利用實物和直觀，讓學生可以根據已知有方向的進行猜測，從而讓學生幾何直觀能力有所提升。再次要讓全體學生參與猜想和聯想的過程，而非只關注少數人的想法。很多學生給出的猜測或許不盡相同，甚至可能會南轅北轍，這就是一個很好的探究契機，教師可以將學生的猜測引導進行分類，而后分成不同的方向引導他們證明自己的猜想，并對每種猜想進行一定的修正和規范。最后，教師要注意不可隨意否定學生的猜想，即使在已知其完全錯誤的情況下也不能不加解釋的扔在一邊。例如，在本文案例中，師：我們一起來看這樣的一個情境：是不是可以找到一個更好的方法，只量一個數據可以嗎？學生小聲討論和爭辯生：好像不可以。師：那么兩個數據呢？三個呢？學生討論和爭辯師：好，下面讓我們一起來探究。這個策略可以實現學生幾何直觀能力培養的最重要部分，就是“實驗驗證后的直觀感知”中的“實驗驗證”過程。3.2語言描述能力培養的教學策略3.2.1注重教學過程中的語言規范教師首先要注重自身的語言描述規范性，這對學生語言描述能力的培養非常重要。由于教師的榜樣作用和學生的模仿性，教師在每步講解、每個知識點的講解都需要注重自己語言的規范，尤其是在新知識講解過程中，以及日常講解習題時，這些都是對學生語言描述能力耳濡目染培養的時刻。例如，在本文案例中，在探究過程中，無論是提出猜想或是驗證猜想時，以及后面練習使用判定定理時，教師都非常注意自己在講解過程中的語言規范，并對于學生的語言規范即使糾正。在幾何語言講解過程中更是對規范性進行了強調和強化，對于學生良好語言描述能力的培養起到了非常關鍵的作用。3.2.2學生日常良好數學語言描述能力的培養數學語言主要分為文字語言、符號語言和圖像語言三種，在三種語言上教師都要引導學生在日常學習中就建立起規范和良好的習慣，并訓練學生三種語言之間相互轉化的能力，尤其在習題的講解和練習過程中注重培養學生語言描述推理的能力。首先，在定理等新知識的學習過程中，就需要反復對規范性進行強調，并在學生解決和學習例題和各類習題中反復加強對規范性的訓練和強化。例如，在本文的案例中，教師板書幾何語言師：首先，我們要證明哪兩個三角形全等，就要先寫出這兩個三角形，也就是“在△ABC與△DEF中”。教師在“在△ABC與△DEF中”下面劃線師：然后我們來尋找三個條件，找到三個條件后，首先要注意三個條件的書寫順序，由于是兩邊及其夾角，因此我們通常把兩邊寫在首尾，把夾角寫在中間，像這樣列出來，然后需要用大括號把他們括起來。教師描紅大括號師：最后，我們寫出得到的結論“△ABC≌△DEF”，結論的三角形書寫要注意字母的對應。還需要注意的是在全等結論后寫上括號：SAS，來說明此時你用的是邊角邊這種判定方法。教師在“SAS”下面劃線師：這就是邊角邊判定定理的幾何語言，請大家在筆記上規范地書寫下來。3.2.3給全體學生展示和表現的機會在語言描述能力方面，給學生當眾展示和表現的機會是至關重要的。對于學生而言，首先此時的注意力高度集中，且他們會對老師此時給出的反饋吸收效果更佳，使得教學效率和效果大大提升，教師也可以及時發現學生的問題并針對性的糾正，這對學生語言描述能力的培養至關重要。在展示和表現的過程中，教師需要及時給予學生適當的反饋，在學生描述準確時及時肯定、鼓勵，及時指出學生語言描述中存在的問題并給予修正，并通過適當的打斷或重復給其他學生強調重點。例如在本文的案例中，師：請你說說你是分了哪幾種情況？生5：兩條邊一個角對應相等、兩個角一條邊對應相等、三條邊對應相等、三個角對應相等。教師邊聽邊板書分類，學生記筆記學生竊竊私語，對此分類有異議師：很好，他分了四個大類。誰還有補充？生6：其中兩個邊和一個角的情況還可以分為兩個邊及其夾角、兩邊和其一邊的對角這兩種情況。還有兩角一邊的情況可以分為師：來，剛剛這位同學，經過這位同學的提示，你自己補充，兩角一邊的情況還可以分為？生5：兩角及其夾邊、兩角和其一角的對邊這兩種情況。教師補充板書分類師：很好。需要注意，這里有四種大情況，前兩種情況每個又可以分為兩種小情況。需要注意的是，教師需要盡量給全體學生展示的機會，而非僅關注某幾位學生。同時應當關注傾聽描述的其他學生的反應，調動他們一起進行互動，防止其他學生產生無法參與、與自己無關的感覺。3.3關系推理能力培養的教學策略3.3.1講解前的對幾何中各要素關系的分析在習題或例題的正式步驟講解前，尤其是幾何推理的學習剛剛入門時，需帶領學生對題目中幾何的各個要素之間的關系進行分析，使學生形成分析關系的習慣，在熟練之后將分析過程交給學生，讓學生對關系進行獨立分析，但需要注意即使熟練解題時也要跟學生強調關系分析的重要性。例如，在本文的案例中，師：這里需要注意，題目中只給出了兩個條件，但事實上，圖中還有一個隱含條件，是？生：AC=AC。師：對，注意，這里AC是一條公共邊，不要漏掉這個隱含條件。同時要注意不要漏掉寫在結論后的說明“SAS”。這種支架式的教學，可以很好的培養學生的關系推理時的良好習慣，對復雜關系的處理能力上也會有一定的提高。3.3.2推理過程關系處理思路和方向的明確在帶領學生解決幾何推理問題時，需要培養學生在解題過程中形成明確的推理思路和確切的方向。解題過程中層層遞進，順著一個方向前進。這與講解前對關系的分析也密切相關，只有在關系分析時清晰和明確，才能形成一個行進下方向，從而順著方向進行解題。例如，在本文的案例中，教師在三個題目講解過程中都強調學生需要先尋找相等關系，確定這個為大方向，并在第二個題目中總結了此類型題的解題思路和步驟。3.3.3從簡單關系入門，以復雜關系提升對學生關系推理能力的培養需要循序漸進、逐步提升。從簡單關系的題目開始，伴以教師的引導為支架和輔助，到中間過程學生可以獨立分析和解決題目中的簡單關系，再到復雜關系的題目，教師同樣需要根據難度提供一定的引導，到最終學生獨立思考復雜關系的問題。在本文的案例中，教師提供的兩道例題，第一個例題中的關系較為簡單，而第二個中就有更加復雜的關系，兩道題逐步提升。第一個簡單關系的題目中，僅提示學生注意尋找隱藏關系。在第二個關系較為復雜的題目中，教師先帶領學生講解解題思路和方向以提供支架，再讓學生自己書寫解題過程。3.4形式邏輯推理能力培養的教學策略3.4.1對題目歸類，對解題思路和方法總結，形成解題模型在題目的處理已經達到一定數量的基礎上時，需要教師帶領學生進行總結。可以通過設置專題訓練或在講解習題時直接對題目進行分類，集中講解每類題目。對于同一類型的題目，首先要總結題目、已知和所求的共性，同時，要在分析思路過程中尋找相通之處，且要提煉解決這類題目所通用的各種方法，形成解題模型。例如，在本文案例中，師：很好。我們來看第二個例題：如圖：AB=DC，∠ABC=∠DCB，求證：⊿ABC≌⊿DCB。在解決這類問題時，通常我們要先對已知進行分析。這里分析可以三步走：先審題：題目直接給我們的條件是：AB=DC，∠ABC=∠DCB。再審圖：看看圖中有什么隱含條件：BC是⊿ABC與⊿DCB的公共邊。再審結論：要證明的是：⊿ABC≌⊿DCB，結合結論，我們用到的判定定理是：SAS。教師板書分析過程3.4.2從題目的深度和廣度上對形式邏輯推理能力進行提升僅講解模型對于形式邏輯推理能力的培養還是是不夠的，需要進一步的鞏固和運用。首先需要通過對應類型題目的難度上進行提升，也就是提升題目的深度，同時也應將幾個類型的題目進行綜合，從而從廣度上進行提升。例如，在本文的案例中，教師在講解完新知識本身之后總共提供了三個題目，兩道例題一道拓展。在兩道例題中可以看到關系復雜程度的提升，也就是問題難度、深度上的提升。而拓展中給出的實