2022學年第二學期四校期中考試試卷

高一年級數學學科

本試卷分為第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題）兩部分，共均L分，考試時間陛分鐘.

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、試場號、座位號；

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；

4.考試結束后，只需上交答題卷.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.請將你認為正確的答案填在答題卷的相應位置.

UUUUUULiULUU

1.化簡PM-PN+MN所得的結果是（）

UUUUiULM.JUl

A.2MNB.2NMC.0D.PM

答案：C

解析：PM-PN+MN=NM+MN=0.

故選：C.

2.已知加，“表示兩條不同的直線，α,萬,7表示三個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若,則〃]〃〃B.若α_!_/?,m-L/?,則m∕∕α

C.若?乃,c_L/,則D.若加〃α,加J-/?,則a_L￡

答案：D

解析：對于A,平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，也可以相交，故A錯誤，

對于B,若則〃z//ɑ或者〃zuɑ,故B錯誤，

對于C,若αl?P,αJ?/,不能得到〃〃九例如正方體一個頂點處的三個平面分別為α,β,γ,故C錯誤,

對于D,若加〃a,m_L尸，則a_L〃，故D正確，

故選：D

3.已知圓臺上、下底面的直徑分別為4和10,母線長為5,則該圓臺的體積為（）

答案：D

解析：因為圓臺上、下底面的直徑分別為4和10,母線長為5,

所以圓臺的高〃=6-(5-2)2=4，

所以V=g∕7(s+√^7+S'2)=gχ4χπ(52+2x5+22)=52π,

故選：D

4.已知。是原點，點A(—2,4),B(l,α),若NABO為鈍角，則”的取值范圍是()

A.(1,2)B.(F,1)52,+∞)C.(1,3)D.(―8,l)-(3,+∞)

答案：C

解析：A4=(-3,4-α),Bo=(-l,-α),

則BA-BO—(一3,4—α)?(―1,—0)=3-4α+a^<0>解得l<α<3

且BA與8。不共線，即3a+4—α≠0,解得αw—2

綜上ci∈(1,3)

故選：C

5.己知一ABe的三個內角A,B,。所對邊分別為〃，b,cf則“α=ccos3”是"為直角三角形”

的是()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

答案：A

解析：因為α=CCOS5,

由正弦定理可得，SinA=SinCCOS5,即sin(3+C)=SinCcosB,

所以sinBCOSC+sinCcosB=sinC∞sB,

所以SinBCoSC=O，

因為0v3<7i,O<C<π,所以SinjB≠0,CoSC=0,

π

則C=不，LABC為直角三角形，

2

π

但_ABC為直角三角形時不一定是C=-,

2

所以a=coosB是aABC為直角三角形充分不必要條件，

故選：A.

6.已知長方體ABCr）-AB的棱AB=4,BC=3,AA=5,點P,Q分別是線段8耳，AG上的

動點（不包含端點），則下列說法正確的是（）

A.對于任意一點。，直線。◎與直線34是異面直線

B.對于任意一點Q,存在一點尸，使得CPJ_RQ

C.對于任意一點P,存在一點。，使得CPLRQ

D.以上說法都不正確

答案：B

解析：對于A,當點。為AG中點時，直線RQ即直線。啰，與共面，A錯誤；

9

對于B,當BP=M時，二CBP與aGCB相似，CP1BC1,所以CPL4O∣,

因為CPU平面BCC內，C∣Q?L平面BCC4,所以CPLCQi，

因為CJz）ICAA=。，CQlU平面AcQi，AAU平面ACQi，

所以Cp_L平面AGOI，RQU平面AGA,所以CPIAQ,B正確；

對于C,長方體中，GR_L平面BCG4，CPU平面BCG片，所以對任意點P，CPLCiD,,

而。◎與ClA不平行，所以不存在Q,使得對任意點P,CPLD1Q,C錯誤；

對于D,B選項正確，所以D錯誤.

故選：B.

7.在二ABC中，NBAC=90°,AZ）是/B4C的角平分線，AB=3,AC=4,E是AC的中點，則。E

的長度為（）

?2用r2√17「歷n√17

7777

答案：A

解析：方法一：因為Nfi4C=90°,AB=3,AC=4,所以JSC的面積為S=LX4*3=6；

2

因為AO是/84C的角平分線，

117萬

所以S=-AB-ADsin45。+—AC?ADsin45。=-^-AO=6，

224

12立

解得AO

7

在,.ZME中，AE=；AC=2,NZME=45°，

所以。爐=AD?+AE2-2AD?AEcosZDAE

288“C12√2C√2148

——+4-2×――×2×~~^9

497

即由嚕

故選：A.

方法二：因為N84C=90°,所以ABIAC,

如圖，以A為坐標原點，分別以A3,AC所在直線為X軸，y軸建立直角坐標系,

則A(0,0),B(3,0),C(0,4),

由AZ)是/BAe的角平分線可知，直線AO的方程為：＞=x,

4

因為8(3,0),C(0,4),則L=-1，

4

所以直線BC的方程為：y=——x+4,

3

12

y=χX——

7

聯立方程組＜產-9+4'可得.

12

yF

所以0（=，k），

77

因為E是Ae的中點，所以E（0,2）,

所以，由兩點間距離公式得，Z）E=J（守+與-2）2-，

則力E的長度為2姮.

7

故選：A.

8.已知正四面體P—ABC內接于球，。為棱48上點，滿足AD=303.若存在過。點且面積為3π的截

面圓，則正四面體棱長的取值范圍為（）

A.[2√3,4]B.[2^^,4JC.[2√2,6]D.[2^,6]

答案：B

解析：設正四面體棱長為。，球半徑為R,截面圓的半徑為，則助2=3兀，則r=6，

設FHL平面4BC于H,則〃-ABC中心，且球心。在尸”上，

連接C"并延長與AB交于點G,連接OGQD,DH,

PHj_平面ABC,ABU平面ABC,故

AB±GC,PHGC=H,PH,GCu平面OGC,故ABI平面OGC,

OGU平面OGC,則AB_LoG,

解得R=必α,

4

當截面過球心時，R=B此時棱長最短，故R=手α=有，a=2√2;

當OC截面時，棱長最長，此時Or>2=OG2+GL>2=Q"2+G"2+GZ)2

(aYf√3丫⑺2Hrl八√3

=[lΞ^αJ+~6^a+[旬，即OD=^"a，

(CY</AY

故R2=3+La=—a，解得a=4；

I4JI4J

綜上所述：α∈[20,4]

故選：B.

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設平面向量a,瓦，均為非零向量，則下列命題正確的是()

若，則〃同

?-若a?c=b1，則Q=Z?B.α∕∕ba?=W

若卜+。卜,一可，則

C.D.若“?C=O?c=O,則d//。

答案：CD

解析：對于選項A,當C與α力都垂直時，“?c=人Y成立，但α=8不一定成立，故A錯誤;

對于選項B,由〃//得<>=0或兀，此時“/=|。|網CoSCa,。>=±|聞“故B錯誤；

對于選項C,對卜+可=K-W兩邊平方得a2+62+24.。=@2+方2-24電，

即2。2=-2。?"，故α?"=()，即&_/,/?，故C正確；

對于選項D,因為α?c=8?c=0,所以a_Z,c且〃工d，

因為。力,c均為非零的平面向量，所以&///,，故D正確.

故選：CD

10.已知正方體ABCQ-A4GR,E,F分別為AB,BC的中點，則()

A.ACIB1D1B.AFlAB1C.BAJ_平面B∣EFD.DlP//平面AOE

答案：AB

解析：正方體ASC。一A4G2,如圖，

由圖知，BtD1//BD,而AC上BD,所以故A正確；

因為RBL平面AAB4，Agu平面AABBI,則F8,A8∣,

又A∣B,A6∣,A1BIBF=B,4民8FU平面A∣B∕"所以AB∣L平面A∣BF,

又AIFU平面AlB尸，所以AFLA4,故B正確；

因為D1A11面A,ABB∣,AB∣u面A1ABB1,可得DiAi1AB1,

又叫工人用，r>,A∣A1B=A1,AA，A8u面AA8,

所以Aqj_面￡>48,又BRU面QA8,則A4,BDI,

若BR，平面&EF,由B∣Eu平面8∣EF,可得BDlLBlE,

由AB∣B1E=B1,A4,gEu面AAB耳，可得BR_1面AABBI,

又Z）M，面AAB4，所以//。4,顯然有矛盾,

所以BR_L平面BgF不正確，故C錯誤；

延長CB,使尸K=C8,連接KA∣,

因為A2〃BC,AiD=BC,所以4A〃EK,A1D=FK,

所以四邊形Ao/K為平行四邊形，微D?F"AK,

而AK平面4。￡=4,故AF與平面4。E不平行，故D錯誤.

故選：AB

11.在一ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,且C=&，則下列選項正確的是（）

A.若B=三,l<b<6,貝LABC有兩解

4

B.若8e[5,兀）b>JΣ,則.ABC無解

C.若-ABC為銳角三角形，且3=2C,則SinAe（乎

D.若A+3=2C,則α+h的最大值為2&

答案：ACD

解析：對于A,因為B=-,l<b<√2,所以CSinB<h<c,則一ABC有兩解，A正確.

4

對于B,因為兀],b>6^,所以

.ABC有且僅有一解，B錯誤.

Tl

0<π-3C<-

2

TTTT,jτ

對于C,由《0<2。<一得°<C<2則SinC,

264

0<C<-

[2

,,Clc~“αsinC（y/21?

因為一；~-=—~~—，所以SlnA=--------e—a,-a,C正確.

sinASinCc[42J

a_b_c_yjl_2^∕β

對于D?因為A+8=2C,所以C=弓，又因為SinA-SinB-SinC一百一，

?----

2

所以α=2^sinA,0=2^sin8，則

33

72√6.λ2√6.d2√6.λ2√6?(2πL

a-?-b=-----SlnA+------sinB=-------sinAd--------Sln——A=

3333I?)

2#(3.石/1o/o?fΛ兀、4八Λ2兀兀π5π

-------SinA+——cosA=2√2sιnA+—,由0<A<—,得一vA+—<一,

3(22JVe/3666

所以當A+：=；，即A=9時，α+h取得最大值2近，D正確.

623

故選：ACD

12.如圖，在直三棱柱ABC-44G中，NAa=90。，AC=CB=CC1=4,P為棱與G的中點，Q為棱

B片上的動點，平面AP。與棱AG交于點上則下列說法中正確的是（）

A.存在點Q,使得AQLAPB.線段GR長度的取值范圍是[0,2]

C.當點Q與點B重合時，四棱錐C-AQPR的體積為16D.設截面AQP凡AAPR，aAPQ的面積分

C2「91

別為S∣,S2,S3,則下?^e4,—

WL2-

答案：BCD

解析：因為CGJ■平面ABC,ACIBC,以點C為坐標原點，CA.CB、CG所在直線分別為n、八

Z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

ZA

則A(4,0,0)?5(0,4,0)、C(0,0,0)、A(4,0,4)、耳(0,4,4)、C1(0,0,4)>2(0,2,4)、

設點Q(0,4,α)?R0,O,4),其中0≤α≤4,0<?<4.

對于A選項，若存在點Q,使得AQLAP,且AQ=(Y,4,α-4),AP=(-4,2,4),

AQ?AP=16+8+4(α-4)=0,解得°=—2,不合乎題意，A錯；

對于B選項，設AR="iAP+"AQ,其中加、n∈R,

-4m-4〃=。-4

即(/7一4,0,4)=機(一4,2,4)+〃(-4,4,。)，即<2m+4〃=0,可得人=^^-+4,

4?-8

4m+。〃=4

0≤a≤4,則一8≤α-8≤T,所以，b=------+4∈[θ,21,B對；

a-S

對于C選項，當點尸與點B重合時，。=0,則b=l,此時點R為AG的中點，如下圖所示:

在直三棱柱AMG中，四邊形AAgB為矩形，則A5〃44且Ag=AB,

所以尸、R分別為BC、AG的中點，則尸R〃A與且PH=ga瓦,

所以，PR∕∕ABS.PR=gAB,同理CIR〃AC且GH=^AC,Cf∕∕BC且C/=；BC,

PRGPCIRl

所以,故幾何體ABC-RPC1為三棱臺,

^ABBC^AC~2

S“Be=34°BC=8,SGPR=gcF?C∣R=2,

VABCGEC=J(SABC+SRPC?+JSABCS.RPC?)∣1×14×4^

A∕>C-(√tiC∣3??CC=

33

ij8

%-RPC∣=gS.RPG?CC∣=gx2χ4=w,

因此，vC-ARPQ=匕BC-KPG-VC-RPG=16，C對;

對于D選項，AP=(-4,2,4),AQ=(Y,4,α),

/--.、2__________

∣2AP-AQ√5α2-68a-l

則點。到直線ΛP的距離為4

/、2

i,∣2A∕??AP

AR——i_F-

J?AP?

4√5a2-684z-l

3(8-0)

S_d_4

所以,22

邑48—。

令f=8-α,0≤α≤4,則％∈[4,8],

4t4，rr

則y=7+)+2,由雙勾函數的性質知，y=]+1+2在f∈[4,8]上單調遞增，

9S2「9-

J

則當r=4時，‰in=4；當「=8時，為穌=弓，則Tre，D對?

乙????乙

故選：BCD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卷的相應位置.

13.已知平面向量α=(4,3),IbI=2,4與6的夾角為60。，貝IJla+6I=.

答案：底

解析：由α=(4,3)得M=5

由題有α?b="Wcose=5χ2χcos6θ"=5

所以Iα+0I=JL=J(aY+2a?b+時=√52+2×5+22=√39

故答案為：√39

14.已知直三棱柱ABC-的側棱與底面邊長都相等，D,F分別是A蜴和Ag的中點，那么異面直

線80和AF所成角的余弦值等于.

~7

答案：—##0.7

10

解析：因為直三棱柱ABC-AqG的側棱與底面邊長都相等，

所以一ABC為等邊三角形，取A5的中點。，所以C

因為力為的中點，所以。。//AA-

又因為AA±平面ABC,所以ODI.平面ABC,

如圖，以。為坐標原點，分別以。8,OC,。。所在直線為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標系,

因為直三棱柱ABC-44G的側棱與底面邊長都相等，設A6=2,

則5(1,0,0),A(-l,0,0),O(0,0,2),F(-g,冬2)，BD=(-1,0,2),AF=G岑,2)，

設異面直線8。和AF所成角為6，

,、BD?AF7

所以cosθ—cos(BD,AF}=-----∩-----=—,

'/BD^AF10

7

即異面直線5。和AF所成角的余弦值為二.

7

故答案為：—

15.在JWC中，NA5C=60。，點力在邊AC上，CD=I,AD=Bo=3,則SinA的值是

答案考

解析：由4)=8D=3得NABD=NS4￡>,設NABO=Z54)=6,則ZBr)C=2。,

BCAC

_ABC中，由正弦定理得

sinθsinZABC'

叱4sin68后.?

∣BC=--------=------sinθ

所fir以μ.兀3

sin-

3

在；Bz)C中，由余弦定理可得，BC2=BD2+CD2-2BD-CD-cos2θ.

即爾合,=*6cos26=l()-6(l-2siι√6)

3

故sin2θ=-=sin2A

79

由O<A<π,可知sinA=迫1

7

故答案為：叵

7

16.如圖正方體ABeD-ABCR的棱長是3,E是。。上的動點，P、F是上、下兩底面上的動點，。是

EP中點，EF=2,則「4+PQ的最小值是.

答案：3^/6—1##-1+3>/6

由對稱得PB'=PB∣,PB1+PQ=PB'+PQ,

因為E是。。上的動點，尸是下兩底面上的動點，

則VAE廠是直角三角形，。是E尸中點，且七戶=2,故QR=I,

所以PB'+PQ取最小值時，R、。、P、B'四點共線，

則。乃'=3#,此時Pq+PQ=3#—1.

故答案為：??/e—1-

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.如圖，在菱形ABC。中，ZfiAD=60o,AB=2，EC=2DE,AE交80于點F.

D

(1)若AF=∕LA8+"AO,求2和〃的值；

(2)設P是線段BC的中點，求Ab?AP的值.

…，13

答案：(1)λ=-,//=—■；

44

⑵N

4

(1)

菱形ABCQ,DCHAB,則"=匹=J,即有于是Ab—AQ=L(AB-AQ),

FBAB344

因此AF=—AB+--AD,又4/=2A8+,A8,4。不共線，

13

所以/1=—,μ=-.

44

(2)

因為P是線段BC的中點，則AP=A3+3P=A3+'AQ,

2

13112327

所以AeAP=(WA3+^4。)(AB+]AO)=WA3+-AD+-ABAD

13717

=—×4+-×4+-×2×2×cos60=—.

4884

18.三棱柱ABC-44G的棱長都為2,。和E分別是84和AG的中點.

(1)求證：直線OE//平面ABcI；

⑵若NAAC=60。，點8到平面ACG4的距離為6,求三棱錐。-AB￡的體積.

答案：(1)證明見解析

⑵?

(1)

在三棱柱ABC-AIBcl中，AB//A?B?,取耳G中點凡連接。兄EF,

?；。和E分別是B4和AG的中點，

???DF∕∕BCi,EF∕∕^Bi,..EFHAB,

又短尸U面ABC,BGU面ABG,且EFa面ABG,ABU面ABg,

???OE〃面ABC∣,EF〃面ABCI,又DFEF=F,DE,EFu面DEF,

.?.面。所〃平面ABC-而Z)EU面OEF,故直線OE〃平面ABG.

法二，連接CE交AG于點G,連接C。交8C∣于點“，連接HG,如圖，

在三棱柱ABe-4B∣G中，ΛlC1//AC,BBjlCC

EG_ECx?DH=BDj

?GC=ΛC=2'~HC~~CQ~2,

?'?-'-=----,則DE//HG,又DEU面ABC,HGU面ABCl,

GCHCt

???直線OE//平面A3G?

(2)

Y直線￡>E〃平面ABC∣,

?D-ABC1=yE-ABC1,又ZAAC=60。，

所以平行四邊形ACG4邊AC上的高“=2sin60o=√3，

由8到面ACGA的高危=JL則Krg=%MEG=gs,AEG?%=gχ;XlXGX石=；.

19.已知工ABC的內角A,B,C所對邊分別為mb,ct滿足CtanA=2αsinC.

(1)求角A；

(2)若b=2c,點、D為邊BC中點，且A。=",求JlBC的面積.

答案：(1)4

3

(2)2√i

(1)

c1??A

由正弦定理，可得：SinCtanA=2sinAsinC,即SinC?2-----=2sinAsinC,

cosA

A,C∈(0,π),sinA≠O,sinC≠O,故CoSA=g,故A=],

(2)

在，ACD中，AC2=AD2+CD2-2ADCD-cosZADC.

在ZXABO中，AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB.

CD=BD,ZADC=兀-ZAD5,.?.cosZAΓ>C=-COSNADB,AC2+AB2=2AD2+IBD2

即(2c)2+c2=2?(√7)'+2BD2,故BD2=∣C2-7,BC2=4BD?=IOc2-28.

在^ABC中，BC2=AB2+AC2-2ABACcosZBAC=c2+(2c)2-2c?2c?-

2

故3C2=3C?2=10C2-28,解得C=2，Sabc=∣?csinA=csinA=2^.

20.在三棱錐P—ABC中，面E4C，面ABC,APVPC,PC=2BC=2,ZACP=ZAC6=45°.

(1)求證：BCVBPx

(2)求二面角A-PC-B的余弦值.

答案：(1)證明見解析

(2)B

3

(1)

過P作P”J_4C交AC于H,連接HB,

B

VPHlAC,面24。，面ABC,面P4C面ABC=AC,P”在面∕?C內,

/7/，面ABC,BCU面ABC,

：.PHLBC,

YZACP=45o,.?.CH=PCcOSZACP=母,

在VBCH中,HB?y∣CH2+BC2-2CH-BC-cos45o?1

.,.CH2=BC2+BH1，???BCLBH,

又PH「HB=H,PH、8〃在面PHB內，

；.BC上面PHB，又BPU面PHB,

：.BClBP.

(2)

過”作AC交AB于O,

以H點為原點，分別以HD,HC,HP所在直線為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標系，則4。,一0,0），

C(0,√2,0),P(0,0,√Σ),B—,—,0,

?√

.,.PC-(0,5/2,-?∣2),PB=λ∕2,

—>—>—>

設面PBC的一個法向量勺=(F,y,zj,則∏1?P5=∏1?PC=0,

X,+y,—y∣2z.-0

即《22,令y=1,則玉=Z]=1,

y∣2yl-Λ∕2Z1=0

.?

；?nt=(1,1,1)>

?.?PC=(0,6-拒)，PA=(0,-^,-√2),

—>—>—>

設面物C的一個法向量%=(々，>2,Z2)，則%?PA=%?PC=0,

即[￡^2一°，令々=1，則％=Z2=0,

[-y∣2y2-^J2zl=0

,

?2=(1,0,0)

設二面角A-PC-B的大小為θ,

???8E??二島卜率

21.為了美化環境，某公園欲將一塊空地規劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD.其

中AB=3百米，AD=6百米，且ABCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形.擬修建兩條小路AC,BD（路

π

的寬度忽略不計），設NBAD=。，6>∈（-,〃）.

2

C

（1）當CoSe=-好時，求小路AC的長度；

5

（2）當草坪ABCD面積最大時，求此時小路BD的長度.

答案：（1）AC=而；⑵BD=√26

解析：（1）在A