第18章

靜電場中的電介質

本章主要內容§18.1

電介質對電場的影響§18.2

電介質的極化§18.3

的

Gauss

定理§18.4

電容器和它的電容§18.5

電容器的能量第18章靜電場中的電介質第18章靜電場中的電介質按照物體導電特性區分，導電性相對導體很差的物體稱為電介質（絕緣體）。從微觀上看，電介質不存在自由電子，電子都束縛在原子的內部——處于束縛態。實驗表明，處于靜電場作用下的電介質，會產生極化現象，即介質表面會出現宏觀電荷積累。但這不同于導體的靜電感應，因為導體中的自由電子可以“自由運

動”，直至靜電平衡出現，而電介質

中的束縛電子不可能擺脫原子的束縛。§18.1電介質對電場的影響

電介質對電場的影響相對電容率相對電容率電容率+++++++-------+++++++-------§18.2電介質的極化

無極分子：（氫、甲烷、石蠟等）有極分子：（水、有機玻璃等）

一

電介質：內部幾乎沒有可以自由運動電荷的物體，又稱為絕緣體電介質的極化

處于外電場的電介質上，出現宏觀電荷積累的現象稱為電介質的極化，宏觀電荷稱為極化電荷或束縛電荷。

1.無極分子的極化*無極分子的極化是由于分子中的正負電荷中心在外電場作用下發生相對位移的結果----位移極化誘導電偶極矩二電介質的極化

2.有極分子的極化*有極分子的極化是由于分子偶極子在外電場的作用下發生轉向的結果----轉向極化(1).無外場時：電介質中任一小體積元

V內所有分子的電矩矢量和為零，即(2).有外場時：電介質被極化，,且外場越強，電介質極化程度越高，越大電極化強度

(3).定義：單位體積內分子電矩的矢量和為電極化強度，即----反映了電介質的極化程度(4).單位：庫侖/米2(C/m2)，與電荷面密度的單位相同

a.是所選小體積元

V內一點的電極化強度。當電介質中各處的電極化強度的大小和方向均相同時，則稱為均勻極化b.極化(束縛)電荷也會激發電場，使電場的分布發生變化討論：

極化強度與束縛電荷面密度的關系:電極化強度與束縛電荷的關系——介質表面的外法線單位矢量。證明

極化強度對任意閉合面的通量與面內束縛電荷的關系：

證明:返回四極化電荷與自由電荷的關系+++++++++++----------------++++++++++++++++----------------+++++電極化率§18.3的高斯定理

介質中的靜電場介質中某點的場強，是由外電場和極化電荷的電場疊加而成

以兩塊靠得很近的金屬板為例

有介質時的高斯定理電位移矢量1.由高斯定理有

----電位移矢量----有介質時的高斯定理或的高斯定理2.定義：討論：自由電荷a.電位移通量只與閉合曲面所包圍的自由電荷有關，但本身與自由電荷和極化電荷都有關

b.可用電位移線來形象地描述電位移

線

線

線與線的區別:

c.線:從自由正電荷或束縛正電荷出發，終止于負電荷.d.線:從自由正電荷出發,終止于自由負電荷.

三矢量的關系定義：----介質的介電常數

是一個輔助物理量，沒有明顯的物理意義，但有介質時，計算通量比計算通量簡便說明：

以上討論的是各向同性介質，方向一致[例1]半徑為

a的導體球，帶電荷

Q，外部有一內、外徑分別為

b和

c，相對介電常數為

er

的均勻各向同性電介質。求各處的場強分布和介質內外表面束縛面電荷密度。

解：利用的

Gauss定理求

：利用求

，用

求

：束縛面電荷密度

：

例2

圖中是由半徑為R1的長直圓柱導體和同軸的半徑為R2的薄導體圓筒組成，其間充以相對電容率為

r的電介質.設直導體和圓筒單位長度上的電荷分別為+

和-

.求(1)電介質中的電場強度、電位移和極化強度；(2)電介質內外表面的極化電荷面密度.解(1)r(2)r§18.4電容器和它的電容

一孤立導體的電容單位：

孤立導體的電容為孤立導體所帶電荷Q與其電勢V的比值.例

球形孤立導體的電容

地球二電容器按形狀：柱型、球型、平行板電容器按型式：固定、可變、半可變電容器按介質：空氣、塑料、云母、陶瓷等特點：非孤立導體，由兩極板組成1電容器的分類2

電容器的電容

電容器的電容為電容器一塊極板所帶電荷Q與兩極板電勢差的比值.

電容的大小僅與導體的形狀、相對位置、其間的電介質有關，與所帶電荷量無關.注意

電容的意義：在電勢差一定的條件下，電容越大，儲存電荷的能力就越強。這個能力只決定于兩導體的大小、形狀、相對位置等因素。3

電容器電容的計算（1）設兩極板分別帶電

Q

（3）求兩極板間的電勢差U步驟（4）由C=Q/U求C（2）求兩極板間的電場強度例1

平行平板電容器解++++++------例2圓柱形電容器設兩圓柱面單位長度上分別帶電

解++++----++++----平行板電容器電容++++----++++----例3球形電容器的電容設內外球殼分別帶電

Q＋＋＋＋＋＋＋＋解孤立導體球電容＋＋＋＋＋＋＋＋三

電容器的并聯和串聯1電容器的并聯2電容器的串聯＋＋[例1]一平行板電容器，極板面積為

S，兩板相對表面的間距為

d，今在極板間插入一塊相對介電常數為

er

、厚度為

t(t<d)

的均勻各向同性介質。求：插入介質后電容器的電容；如果插入同樣厚度金屬板，結果如何？（忽略邊緣效應）

解：設兩極板帶電量

Q

，則介質外

介質內導體板外

導體板內插入金屬板時：

例2.電容為C的空氣平板電容器，兩極板間距離為d，若在此電容器中插入一相對介電系數為

r的紙片，這時電容器的電容變為C’,試證紙片厚度為

證:設極板面積為S

得證*另證同樣可證§18.5電容器的能量

考察電容的充電過程：

充電過程的實質，是把正電荷從電勢低的負極板移到電勢高的正極板，靜電場力做負功。因此外力必須克服靜電場力對電荷做功，使電容器獲得能量并儲存在電容器中。

電容器的能量是指：電容器上電荷建立的過程中外力克服靜電場力對電荷所做的功。[例1]一平空氣行板電容器，電容為

C0

，接入充電電路充電至電壓為

U，此后（1）保持電路接通；（2）斷開電路。今在極板間插入一塊相對介電常數為

er

的均勻各向同性介質，使介質充滿極板間隙。求此過程中外力所做的功。

解：無介質時電容器的儲能

W0

為插入介質后電容器的電容變為

（1）電路接通，U不變，插入介質后電容器的能量為

（2）電路斷開，Q不變，插入介質后電容器的能量為

電場的能量1.以平板電容器為例：設極板面積為S，兩極板間距離為d，板間充滿介電常數為

的電介質2.單位體積的能量(電場能量密度)為

3.任意電場中所儲存的能量為討論：

電場具有能量是電場物質性的一種表現介質的總能量密度的普遍表達式：對任意電場和任意介質普遍成立有介質時總電場的能量密度介質中束縛電荷的靜電能密度[例1]求半徑為

R，帶電量為

Q的導體球所產生電場的能量。

解：導體外電場強度分布為半徑為

r

r+dr的球殼內的電場能量為

[例2]半徑為R的金屬球帶有正電荷q0，置于一均勻無限大的電介質中(相對介電常數為

r)，求球外的電場分布，極化電荷分布和極化電荷電量解:

電場分布球對稱性取半徑為r并與金屬球同心的球面S為高斯面

方向沿徑向向外或a.電介質中的電場分布為

b.極化強度為c.球與介質交界處，介質表面的法向與該處極化強度的方向相反

d.極化電荷電量為----q'與q0反號，而且數值小于q0本章結束

TheEndofThisChapter課后作業：教材：p.85：

2,10,11,16,19,21,22,23輔導精析：p.172:8，14，15，18教材§19.1-§19.4預習：

[例3]空氣平板電容器的極板面積為S，極板間距為d，其中插入一塊厚度為d’的平行銅板。現在將電容器充電到電勢差為U，切斷電源后再將銅板抽出。求抽出銅板時外力所作的功外力的功等于抽出銅板前后該電容器電能的增量解：法1:電容儲存能量的觀點：

1.抽出銅板前電容器電容為極板上的電荷不變

2.抽出銅板后電容為

法2:電場是能量攜帶者的觀點：銅板抽出前后,空氣中場強不變,即電場能量密度不變，但電場存在的空間體積增大例4.一平板電容器有兩層介質，相對介電常數分別為和

，厚度分別為d1=2mm和d2=3mm，極板面積為S=50cm2，兩極板間電壓為U=200V，求：（1）每層介質中場強的大小；（2）每層介質中的電場能量密度及能量；（3）電容器的總能量。

解：如圖（1）因E1d1+E2d2=U

（1） 又D1=D2

，即從而得

（2）將（2）式代入（1）式得故得同理可得（2）介質中電場能量密度及能量

（3）電容器的總能量例5.一電容器由兩個很長的同軸薄圓筒組成，內、外圓筒半徑分別為R1＝2cm,R2=5cm,其間充滿相對介質常數為εr

的各向同性、均勻電介質，電容器接在電壓U＝32V的電源上，（如圖所示），試求距離軸線R＝3.5cm處的A點的電場強度和A點與外筒間的電勢差。

解：長為L的圓柱形電容器的電容為：

電容器帶電量為：

由高斯定理可得A點場強大小為：于是A點與外筒間的電勢差為：例6.一空氣平行板電容器，兩極板面積均為S，板間距離為d（d遠小于極板線度），在兩極板間平行地插入一面積也是S，厚度為t(t<d)的金屬片。試求(1)電容C等于多少？(2)金屬片放在兩極板間的位置對電容值有無影響？解：AC可看成是AB和BC的串聯。設BC=x，則有例7.厚度為d的“無限大”均勻帶電導體板兩表面單位面積上電荷之和為s

．試求圖示離左板面距離為a的一點與離右板面距離為b的一點之間的電勢差．

解：選坐標如圖．由高斯定理，平板內、外的場強分布為：

E=0(板內)

(板外)

1、2兩點間電勢差

例8.一平行板電容器的極板面積為S=1m2，兩極板夾著一塊d=5mm厚的同樣面積的玻璃板．已知玻璃的相對介電常量為

。電容器充電到電壓U=12V以后切斷電源。求把玻璃板從電容器中抽出來外力需做多少功。(真空介電常量e

0=8.85×10-12C2·N-1·m-2)解：玻璃板抽出前后電容器能量的變化即外力作的功．抽出玻璃板前后的電容值分別為撤電源后再抽玻璃板．板上電荷不變，但電壓改變，即

∴

抽玻璃板前后電容器的能量分別為外力作功

=2.55×10-6J

[例9]兩帶等量異號電荷的導體板平行靠近放置,電荷面密度分別為+

和-

，板間電壓V0=300V。如保持兩板電量不變，將板間的一半空間充以相對介電系數

r=4的電介質,則板間電壓為多少？介質上下表面極化電荷面密度多大？解：設板面積為S，板間距離為d

a.未放電介質:板間場強大小和電壓為b.充電介質:作底面積為

S的高斯面同理，對右半部有兩側電勢相等

因導體板上總電量保持不變解得

c.板間電場強度為上表面下表面平板電容器電荷面密度為

面積為S

極板相距d。問：不接電源將介電常數為

的

均勻