高中數學選擇性必修二《第五章一元函數的導數及其應用》單元檢測試卷（一）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知函數，則（）A．B．C．D．2．函數的圖象在點處的切線斜率為（）A．2B．-2C．4D．3．函數的單調遞減區間是（）A．B．C．D．4．曲線在點處的切線方程為（）A．B．C．D．5．已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），下面四個圖象中的圖象大致是（）A．B．C．D．6．已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．7．已知函數的導函數為，且滿足關系式，則的值等于（）A．B．C．D．8．已知函數f(x)的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是（）A．B．C．D．9．函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<010．已知實數x、y滿足，則（）A．B．C．D．x、y大小不確定二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．若函數在內是增函數，則實數b的取值范圍是_________．12．若函數在處取得極值，則________.13．曲線的一條切線的斜率為2，則切點坐標為_________．14．把長為60m的鐵絲圍成矩形,當長為___m,寬為___m時,矩形的面積最大.15．函數在上的最小值為__________,此時__________.16．已知函數（為自然對數的底數）的圖象恒過定點，（1）則點的坐標為__________；（2）若在點處的切線方程，則__________.17．已知函數則函數的最大值為______，最小值為_____三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．設與是函數的兩個極值點.（1）試確定常數和的值；（2）求函數的單調區間；19.已知函數f(x)=x3-3x2-9x+2.（1）求函數的單調區間；（2）求函數在區間[-2，2]上的最小值.20．已知函數．（1）求函數在上的最大值和最小值．（2）過點作曲線的切線，求此切線的方程．21．已知函數與函數在處有公共的切線.（1）求實數a，b的值；（2）記，求的極值.22．已知函數在與時都取得極值．（1）求的值與函數的單調區間；（2）若對,不等式恒成立，求的取值范圍．答案解析第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知函數，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，因此，.故選：D.2．函數的圖象在點處的切線斜率為（）A．2B．-2C．4D．【答案】D【解析】因為，所以，.故選：D3．函數的單調遞減區間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數的定義域是，，令，解得，故函數在上單調遞減，選：D.4．曲線在點處的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，根據導數的幾何意義可知曲線在處的切線的斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：A5．已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），下面四個圖象中的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函數的圖象可知：當時，，，此時單調遞增；當時，，，此時單調遞減；當時，，，此時單調遞減；當時，，，此時單調遞增．故選：C6．已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在區間上恒成立，則在區間上恒成立即故選：A7．已知函數的導函數為，且滿足關系式，則的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，令得，，故選D.8．已知函數f(x)的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由圖可知：，即.故選：B9．函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<0【答案】A【解析】由圖像知f(0)＝d>0，因為有兩個不相等的正實根，且在單調遞增，在上單調遞減，所以a>0，所以b<0，c>0，所以a>0，b<0，c>0，d>0.故選：A10．已知實數x、y滿足，則（）A．B．C．D．x、y大小不確定【答案】C【解析】設，所以，所以函數在上單調遞增，由題得，所以.故選：C第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．若函數在內是增函數，則實數b的取值范圍是_________．【答案】【解析】由題意得在內恒成立，即在內恒成立，所以．故答案為：12．若函數在處取得極值，則________.【答案】【解析】由題意，函數，可得，因為是函數的極值點，可得，所以，解得.故答案為：.13．曲線的一條切線的斜率為2，則切點坐標為_________．【答案】【解析】由，得，設切點坐標為，，則，解得，．則切點坐標為．故答案為：．14．把長為60m的鐵絲圍成矩形,當長為___m,寬為___m時,矩形的面積最大.【答案】1515【解析】設矩形的長為xm,則寬為(30-x)m,矩形面積S=30x-x2(0<x<30),由S′=30-2x=0,得x=15,易知x=15時,S取得最大值.故答案為:15；15.15．函數在上的最小值為__________,此時__________.【答案】【解析】由題得令得函數在(2,+∞)單調遞增,令得函數在(0,2)單調遞減,所以當x=2時，函數取最小值4.故答案為(1).(2).(可利用基本不等式)16．已知函數（為自然對數的底數）的圖象恒過定點，（1）則點的坐標為__________；（2）若在點處的切線方程，則__________.【答案】【解析】當時，，點的坐標為；，，解得：.故答案為：；.17．已知函數則函數的最大值為______，最小值為_____【答案】（1）.【解析】∵函數y，（x∈[3，7]），∴當x∈[3，7]時，f′（x）＜0恒成立故函數y，x∈[3，7]為減函數故當x＝3時函數取最大值；當x＝7時函數取最小值．故答案為．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．設與是函數的兩個極值點.（1）試確定常數和的值；（2）求函數的單調區間；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可知：（2）19.已知函數f(x)=x3-3x2-9x+2.（1）求函數的單調區間；（2）求函數在區間[-2，2]上的最小值.【答案】（1）f(x)的單調遞增區間是(-∞，-1)，(3，+∞)；單調遞減區間是(-1，3)；（2）-20.【解析】f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，令f′(x)=0，得x=-1或x=3，當x變化時，f′(x)，f(x)在區間R上的變化狀態如下：3+0-0+極大極小所以f(x)的單調遞增區間是(-∞，-1)，(3，+∞)；單調遞減區間是(-1，3)；（2）解：因為f(-2)=0，f(2)=-20，再結合f(x)的單調性可知，函數f(x)在區間[-2，2]上的最小值為-20.20．已知函數．（1）求函數在上的最大值和最小值．（2）過點作曲線的切線，求此切線的方程．【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或【解析】（1），，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，而，，，的最小值是，的最大值是；（2），設切點坐標為，則切線方程為，∵切線過點，∴，化簡得，∴或．∴切線的方程：或．21．已知函數與函數在處有公共的切線.（1）求實數a，b的值；（2）記，求的極值.【答案】（1），．（2）極大值為；無極小值．【解析】（1），，由題意得，，解得，.（2），，，的變化情況如下表：x0+0-極大值由表可知，的極大值為，無極小值.22．已知函數在與時都取得極值．（1）求的值與函數的單調區間；（2）若對,不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】解：（1），遞增區間是（﹣∞，）和（1，+∞），遞減區間是（，1）．（2）【解析】（1），f（x）＝3x2+2ax+b由解得，f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函數f（x）的單調區間如下表：x（﹣∞,）（，1）1（1，+∞）f（x）+0﹣0+f（x）極大值極小值所以函數f（x）的遞增區間是（﹣∞，）和（1，+∞），遞減區間是（，1）．（2）因為，根據（1）函數f（x）的單調性，得f（x）在（﹣1，）上遞增，在（，1）上遞減，在（1，2）上遞增，所以當x時，f（x）為極大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c為最大值．要使f（x）＜對x∈[﹣1，2]恒成立，須且只需＞f（2）＝2+c．解得c＜﹣1或c＞2．高中數學選擇性必修二《第五章一元函數的導數及其應用》單元檢測試卷（二）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．如圖是函數的導函數的圖象，則函數的極小值點的個數為（）A．0B．1C．2D．32．若函數，滿足，且，則（）A．1B．2C．3D．43.等比數列中，，，函數，則（）A．26B．29C．212D．2154．函數的零點個數為（）A．B．C．D．5.點是曲線上任意一點，曲線在點處的切線與平行，則的橫坐標為（）A．1B．C．D．6．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．7．若函數是上的增函數，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．8．已知函數，且，當時，恒成立，則a的取值范圍為（）A．B． C．D．9．設函數在區間上存在零點，則的最小值為（）A．7B．C．D．10．已知為自然對數的底數，為實數，且不等式對任意的恒成立.則當取最大值時，的值為（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．函數，在點處的切線方程為__________.12．某批發商以每噸20元的價格購進一批建筑材料，若以每噸M元零售，銷量N（單位：噸）與零售價M（單位：元）有如下關系：，則該批材料零售價定為_______元時利潤最大，利潤的最大值為_________元.13．已知函數，當時，函數有極值，則函數在上的最大值為_________.14．已知函數，設x=1是的極值點，則a=___，的單調增區間為___.15.已知函數，對任意的，當時，，則實數a的取值范圍是________．16．已知函數有兩個不同的極值點，，則a的取值范圍_____；且不等式恒成立，則實數的取值范圍______.17．已知函數．（1）當時，的極小值為________；（2）若在上恒成立，則實數a的取值范圍為___________．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知函數f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.（1）求函數f(x)＝x＋在上的值域；（2）若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求實數a的取值范圍.19.已知函數．（1）求函數的單調區間．（2）若對恒成立，求實數的取值范圍.20．已知函數.(Ⅰ)求函數的單調區間；(Ⅱ)求證：當時，.21.已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）若對任意，函數的圖象不在軸上方，求實數的取值范圍.22．已知函數，其中為常數，且.（1）當時，求的單調區間；（2）若在處取得極值，且在的最大值為1，求的值.答案解析第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．如圖是函數的導函數的圖象，則函數的極小值點的個數為（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】由圖象，設與軸的兩個交點橫坐標分別為、其中，知在，上，所以此時函數在，上單調遞增，在上，，此時在上單調遞減，所以時，函數取得極大值，時，函數取得極小值．則函數的極小值點的個數為1．故選:B2．若函數，滿足，且，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因為函數，滿足，且，所以，則，對兩邊求導，可得，所以，因此.故選：C.3.等比數列中，，，函數，則（）A．26B．29C．212D．215【答案】C【解析】等比數列中，，，所以，因為函數，，則．故選：C．4．函數的零點個數為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題得，令得或，令得，所以函數的單調遞增區間為，減區間為.所以函數的極大值為，極小值為，當時，當時，所以函數的零點個數為2.故選：C5.點是曲線上任意一點，曲線在點處的切線與平行，則的橫坐標為（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】由題意，設，，由得，則，因為曲線在點處的切線與平行，所以，解得：或（舍）故選：A.6．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可得：在上恒成立，整理可得：，函數在上遞減，所以，所以，故選：C.7．若函數是上的增函數，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以因為在上的增函數，所以在R上恒成立，所以，即，所以，解得，故選：B8．已知函數，且，當時，恒成立，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，解得，則，則當時，，即恒成立，令，則，當時，，時，，所以在上是減函數，在是增函數，，又因為當時，取得最大值1，所以當時，取得最大值，所以.故選：B.9．設函數在區間上存在零點，則的最小值為（）A．7B．C．D．【答案】C【解析】由題意，函數，設為函數在上的零點，則，即，即點在直線上，又由表示點到原點的距離的平方，則，即，令，則，因為，所以，可得函數在區間上單調遞增，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以的最小值為.故選：C.10．已知為自然對數的底數，為實數，且不等式對任意的恒成立.則當取最大值時，的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設，則，當時，，所以在上遞增，不符合條件，故，令得，所以在上遞增，上遞增，故有，即，則有，令，，則在上遞減，且，所以在上遞增，上遞減，所以，此時取得最大值，且，所以.故選：D第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．函數，在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】，在點處的切線方程為，即故答案為：12．某批發商以每噸20元的價格購進一批建筑材料，若以每噸M元零售，銷量N（單位：噸）與零售價M（單位：元）有如下關系：，則該批材料零售價定為_______元時利潤最大，利潤的最大值為_________元.【答案】3023000【解析】設該商品的利潤為y元，由題意知，，則，令，得或（舍去），當時，，當時，，因此當時，y取得極大值，也是最大值，且.故答案為：30，2300013．已知函數，當時，函數有極值，則函數在上的最大值為_________.【答案】13【解析】，當時，函數有極值，，解得，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，在處取得極大值，且，，在上的最大值為13.故答案為：13.14．已知函數，設x=1是的極值點，則a=___，的單調增區間為___.【答案】【解析】由題意可得：是的極值點即令，可得的單調遞增區間為15.已知函數，對任意的，當時，，則實數a的取值范圍是________．【答案】.【解析】由題意，分式的幾何意義為：表示點與連線的斜率，因為實數在區間內，故和在區間內，不等式恒成立，所以函數圖象上在區間內任意兩點連線的斜率大于1，故函數的導數大于1在內恒成立，由函數滿足，即定義域為，即在內恒成立，即在內恒成立，設函數，根據二次函數的性質，可得函數在上是單調增函數，可得，所以，即實數的取值范圍是.16．已知函數有兩個不同的極值點，，則a的取值范圍_____；且不等式恒成立，則實數的取值范圍______.【答案】【解析】，因為函數有兩個不同的極值點,所以方程有兩個不相等的正實數根，于是有：，解得.,設,，故在上單調遞增，故，所以.因此的取值范圍是故答案為：；17．已知函數．（1）當時，的極小值為________；（2）若在上恒成立，則實數a的取值范圍為___________．【答案】1【解析】（1）時，，，，，故在單調遞增，而（1），故時，，單調遞減，時，，單調遞增，故極小值（1）；（2）若在上恒成立，即在恒成立，①即時，，，，故在恒成立，②即時，即為在恒成立，即，只需求出的最大值即可，，，令，解得：，令，解得：，故在單調遞增，在，單調遞減，故，故，綜上，，．故答案為：1，，．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知函數f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.（1）求函數f(x)＝x＋在上的值域；（2）若?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求實數a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），因為，所以，即函數為減函數，因為，所以值域為.（2）因為?x1∈，?x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，所以，因為，所以，所以，即.19.已知函數．（1）求函數的單調區間．（2）若對恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）單調增區間單調減區間（2）【解析】（1）令，解得或，令，解得：.故函數的單調增區間為，單調減區間為.（2）由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又，，，∴，∵對恒成立，∴，即，∴20．已知函數.(Ⅰ)求函數的單調區間；(Ⅱ)求證：當時，.【答案】(1)f(x)的單調增區間為(1，＋∞),單調減區間為(0，1)；(2)見解析.【解析】(1)依題意知函數的定義域為{x|x>0}，∵f′(x)＝2x-2=，由f′(x)>0，得x>1;由f′(x)<0，得0<x<1∴f(x)的單調增區間為(1，＋∞),單調減區間為(0，1)．(2)設g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，∴g′(x)＝2x-2--3=，∵當x>2時，g′(x)>0，∴g(x)在(2，＋∞)上為增函數，∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，∴當x>2時，x2-2lnx>3x-4,即當x>2時..21.已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）若對任意，函數的圖象不在軸上方，求實數的取值范圍.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）函數定義域為，則，當時，，遞增，當時，令，解得，令，解得，所以在遞增，在遞減；（2）若對任意，函數的圖象不在軸上方，則，恒成立，則，恒成立，令，則，令，則，所以在遞減，而，所以當時，，當時，，所以當時，取得最大值，所以，所以實數a的取值范圍是.22．已知函數，其中為常數，且.（1）當時，求的單調區間；（2）若在處取得極值，且在的最大值為1，求的值.【答案】（1）在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）或.【解析】（1），，令，得或1，則列表如下：1+0_0+增極大值減極小值增所以在和上單調遞增，在上單調遞減.（2）∵，令，，，因為在處取得極值，所以，①時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以在區間上的最大值為，令，解得；②當，；(i)當時，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，所以最大值1可能在或處取得，而，∴，∴，(ii)當時，在區間上單調遞增；上單調遞減，上單調遞增，所以最大值1可能在或處取得而，所以，解得，與矛盾；(iii)當時，在區間上單調遞增，在單調遞減，所以最大值1可能在處取得，而，矛盾，綜上所述，或.高中數學選擇性必修二《第五章一元函數的導數及其應用》單元檢測試卷（三）題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時間：120分鐘一、單選題1．設是可導函數，且，則（）A．B．-1C．0D．-22．已知函數y=f(A．B．C．D．3．函數在上的最小值和最大值分別是A．B．C．D．4．已知函數（）在上為增函數，則的取值范圍是（）A．B．C．D．5．若曲線在處的切線，也是的切線，則（）A．B．C．D．6．函數在處取極小值，則（）A．6或2B．或C．6D．7．已知函數，設，，，則（）A．B．C．D．8．已知為上的可導函數，且有，則對于任意的，當時，有()A．B．C．D．二、多選題9．若直線是函數圖像的一條切線，則函數可以是（）A．B．C．D．10．已知函數的導函數的圖像如圖，則下列敘述正確的是（）A．函數只有一個極值點B．函數滿足，且在處取得極小值C．函數在處取得極大值D．函數在內單調遞減11．素數分布問題是研究素數性質的重要課題，德國數學家高斯提出了一個猜想：，其中表示不大于x的素數的個數，即隨著x的增大，的值近似接近的值．從猜想出發，下列推斷正確的是（）A．當x很大時，隨著x的增大，的增長速度變慢B．當x很大時，隨著x的增大，減小C．當x很大時，在區間（n是一個較大常數）內，素數的個數隨x的增大而減少D．因為，所以12．已知函數是定義在上的奇函數，當時，．則下列結論正確的是（）．A．當時，B．函數有五個零點C．若關于的方程有解，則實數的取值范圍是D．對，恒成立三、填空題13．若函數的的導數為，且則__________14．生活經驗告訴我們，當水注進容器(設單位時間內進水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖像，A對應______；B對應______；C對應________；D對應________．15．若函數有且只有一個零點，則實數的值為_______.16．已知一個圓柱的軸截面是周長為12米的長方形，則滿足這個條件的圓柱的最大體積是______立方米.四、解答題17．已知函數在與處都取得極值．(1)求函數的解析式及單調區間；(2)求函數在區間的最大值與最小值．18．設函數．（1）求函數的單調區間．（2）若方程有且僅有三個實根，求實數的取值范圍．19．已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區間．20．某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）.經預算，修建一個增壓站的工程費用為108萬元，鋪設距離為千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為萬元.設余下工程的總費用為萬元.（1）試將表示成關于的函數；（2）需要修建多少個增壓站才能使總費用最小？21．已知函數(其中)，為的導數.（1）求導數的最小值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.22．函數.（1）討論函數的單調性；（2）若，求證：.答案解析一、單選題1．設是可導函數，且，則（）A．B．-1C．0D．-2【答案】B【分析】根據導數定義，即可求出．【詳解】試題分析：因為所以，故選：B.【點睛】本題主要考查了導數的定義，屬于基礎題．2．已知函數y=f(A．B．C．D．【答案】D【解析】觀察可知導函數圖像由正變負，則原函數應先遞增，后遞減，故選擇D.方法點睛：辨識函數圖像與導數圖像主要是依據利用導數研究函數的單調性，當函數f(x)在區間(a,b)上滿足f'(x)>0，則f(x)3．函數在上的最小值和最大值分別是A．B．C．D．【答案】A【分析】求出f（x）的導數，利用導函數的正負，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值和最小值即可．【詳解】函數，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選：A．【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性、最值問題，考查函數值的運算，屬于基礎題．4．已知函數（）在上為增函數，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：求導，則在恒成立，再分離參數，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，再利用導數進行求解．詳解：因為函數在上為增函數，所以在恒成立，即在上恒成立，令，則，則在上單調遞增，在上單調遞減，即，即.故選A．點睛：1.已知函數在區間上單調遞增，求有關參數問題，往往轉化為在區間上恒成立問題進行求解；2.解決不等式恒成立問題，往往分離參數，將問題轉化為求函數的最值問題，再利用“恒成立”進行求解．5．若曲線在處的切線，也是的切線，則（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用導數求得曲線在處的切線方程，并設該切線與曲線切于點，利用導數的幾何意義求出切點的坐標，代入切線方程可求得實數的值.【詳解】對于函數，，則，又，所以，曲線在處的切線方程為，即，設直線與曲線相切于點，對于函數，其導數為，由導數的幾何意義可得，得，所以，切點坐標為，代入切線方程得.故選：C.【點睛】本題考查利用兩曲線的公切線求參數，解題時要注意以下兩點：（1）切線的斜率等于函數在切點處的導數值；（2）切點為函數圖象與切線的公共點.6．函數在處取極小值，則（）A．6或2B．或C．6D．【答案】D【分析】先求導數，根據求得，再代入驗證是否滿足題意.【詳解】或當時，，當時，當時，函數在處取極大值，不符題意，舍去；當時，，當時，當時，函數在處取極小值，故選：D【點睛】本題考查函數極值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.7．已知函數，設，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可得是偶函數，當時，，可得在單調遞增，又，，，根據函數的單調性可得出答案.【詳解】由，則是偶函數，當時，，所以在單調遞增，由，，，則，所以又，所以故選：D【點睛】本題考查利用單調性比較函數值大小，考查利用導數分析函數單調性，考查指數、對數的的大小的比較，屬于中檔題.8．已知為上的可導函數，且有，則對于任意的，當時，有()A．B．C．D．【答案】B【分析】構造函數h（x）=xf（x），根據函數的單調性判斷即可．【詳解】不妨設h（x）=xf（x），則h′（x）=f（x）+xf′（x）．∵當x＞0，有，∴當x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0，即h′（x）＞0，此時函數h（x）單調遞增，則對于任意的a，b∈（0，+∞），當a＞b時，則g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故選B．【點睛】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道基礎題．二、多選題9．若直線是函數圖像的一條切線，則函數可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】求得已知直線的斜率，對選項中的函數分別求導，可令導數為，解方程即可判斷結論【詳解】解：直線的斜率為，由的導數為，即切線的斜率小于0，故A不正確；由的導數為，而，解得，故B正確；由的導數為，而有解，故C正確；由的導數為，而，解得，故D正確，故選：BCD【點睛】此題考查導數的幾何意義，正確求導是解題的關鍵，考查運算能力，屬于基礎題10．已知函數的導函數的圖像如圖，則下列敘述正確的是（）A．函數只有一個極值點B．函數滿足，且在處取得極小值C．函數在處取得極大值D．函數在內單調遞減【答案】AC【分析】通過觀察導函數的圖像及導函數的正負表示原函數的增減，依次判斷即可得出結果.【詳解】由導函數的圖像可得，當x<2時，，函數單調遞增；當x>2時，，函數單調遞減.所以函數的單調遞減區間為,只有當x=2時函數取得極大值，無極小值.故選:AC.【點睛】本題考查利用導函數的圖像研究函數的性質,考查數形結合的能力，屬于基礎題.11．素數分布問題是研究素數性質的重要課題，德國數學家高斯提出了一個猜想：，其中表示不大于x的素數的個數，即隨著x的增大，的值近似接近的值．從猜想出發，下列推斷正確的是（）A．當x很大時，隨著x的增大，的增長速度變慢B．當x很大時，隨著x的增大，減小C．當x很大時，在區間（n是一個較大常數）內，素數的個數隨x的增大而減少D．因為，所以【答案】AC【分析】令函數且，用導數法逐項判斷.【詳解】設函數且，則且，且，當時，，所以當x很大時，隨著x的增大，的增長速度變慢，故A正確；函數的圖象如圖所示：由圖象可得隨著x的增大，并不減小，故B錯誤；當x很大時，在區間（n是一個較大常數）內，函數增長得慢，素數的個數隨x的增大而減少，故C正確；，故D錯誤．故選：AC．12．已知函數是定義在上的奇函數，當時，．則下列結論正確的是（）．A．當時，B．函數有五個零點C．若關于的方程有解，則實數的取值范圍是D．對，恒成立【答案】AD【分析】根據函數是奇函數，求出時的解析式，可判斷A；利用導數求出函數在上的單調區間及極值，再結合是奇函數，可作出函數在上的大致圖象，從而可逐項判斷B、C、D．【詳解】設，則，所以，又函數是定義在上的奇函數，所以，所以，即故A正確．當時，，所以，令，解得，當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，函數取得極小值，當時，，又，故函數在僅有一個零點．當時，，所以函數在沒有零點，所以函數在上僅有一個零點，函數是定義在上的奇函數，故函數在上僅有一個零點，又，故函數是定義在上有3個零點．故B錯誤．作出函數的大致圖象，由圖可知若關于的方程有解，則實數的取值范圍是.故C錯誤．由圖可知，對，故D正確．故選：AD．【點睛】本題主要考查利用函數奇偶性求函數解析式；利用導數研究函數的單調性及最值；同時也考查函數的零點，綜合性較強．三、填空題13．若函數的的導數為，且則______【答案】12【分析】求出導函數，令可求得．【詳解】由題意，∴，∴．故答案為：－12．【點睛】本題考查導數的運算，掌握導數運算法則是解題關鍵．14．生活經驗告訴我們，當水注進容器(設單位時間內進水量相同)時，水的高度隨著時間的變化而變化，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖像，A對應________；B對應________；C對應________；D對應________．【答案】(4)(1)(3)(2)【詳解】容器下粗上細，水高度的變化先慢后快，根據導數的幾何意義可知，函數圖象切線斜率變化故先慢后快，與(4)對應；容器為球形，水高度變化為快—慢—快，根據導數的幾何意義可知，應與(1)對應；容器都是柱形的，水高度的變化速度都應是直線形，但容器細，容器粗，故水高度的變化為：容器快，與(3)對應，容器慢，與(2)對應.故答案為(4)；(1)；(3)；(2)．15．若函數有且只有一個零點，則實數的值為_______.【答案】1【分析】求出導函數，利用導數與函數單調性的關系求出單調區間，由題意，只需即可求解.【詳解】由，（），則，令，解得，令，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以在時取得極小值.所以函數有且只有一個零點，只需，即，解得.故答案為：116．已知一個圓柱的軸截面是周長為12米的長方形，則滿足這個條件的圓柱的最大體積是______立方米.【答案】【分析】設圓柱的高為，底面圓的半徑為，可得，，圓柱的體積，構造函數，，求導并判斷單調性，可求出最大值，即可求出答案.【詳解】設圓柱的高為，底面圓的半徑為，則，即，由，可得，圓柱的體積，將代入，可得，構造函數，，求導得，則時，，函數單調遞增；時，，函數單調遞減，所以的最大值為.即時，該圓柱的體積最大，最大體積是立方米.故答案為：.【點睛】本題考查柱體體積的計算，考查利用導函數求最大值，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.四、解答題17．已知函數在與處都取得極值．(1)求函數的解析式及單調區間；(2)求函數在區間的最大值與最小值．【答案】（1），單調增區間是，減區間是（2），【分析】（1）對求導，根據在與處都取得極值，得和，建立方程組求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正負時x的范圍，從而得出相應的單調區間，得解；（2）根據（1）可得出的極值點，再求出邊界點和的值，與極值點的函數值比較大小可得解.【詳解】（1）因為，所以,因為在與處都取得極值，所以，即，解得即，所以，令或，令，所以的單調增區間是，減區間是.（2）由（1）可知，1+0-0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增的極小值，的極大值，而，，可得時，，.故得解.【點睛】本題考查通過導函數研究函數的單調性，極值，最值的問題，屬于基礎題．18．設函數．（1）求函數的單調區間．（2）若方程有且僅有三個實根，求實數的取值范圍．【答案】（1）增區間（-∞,1）和（2，+∞），減區間為（1，2）;（2）【解析】試題分析：（1），解或的解集；（2）先求極值點，判斷單調性，然后根據圖形，判定軸于圖像有三個交點時的位置，從而列不等式.試題解析：（1），當時，或.當時，.（2）由（1）知，函數在（-∞,1）為增，為減函數，為增函數，根據函數的圖像特征，判斷軸應在極值之間，得,考點：1.導數的應用；2.函數的圖像；3.函數的零點.19．已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區間．【答案】（1）；（2）當時，的單調增區間是；當時，的單調遞減區間是；遞增區間是．【分析】（1）對函數進行求導，把代入導函數中，求出在點處的切線的斜率，寫出直線的點斜式方程，最后化為一般方程；（2）對的值，進行分類討論，求出的單調區間．【詳解】（1）當時，，所以．所以，，所以切線方程為．（2）．當時，在時，所以的單調增區間是；當時，函數與在定義域上的情況如下：所以的單調遞減區間是；遞增區間是．綜上所述：當時，的單調增區間是；當時，的單調遞減區間是；遞增區間是．【點睛】本題考查了導數的幾何意義、求曲線的切線方程，利用導數研究函數的單調性.本題考查了分類討論思想.20．某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站（又稱泵站）.經預算，修建一個增壓站的工程費用為108萬元，鋪設距離為千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為萬元.設余下工程的總費用為萬元.（1）試將表示成關于的函數；（2）需要修建多少個增壓站才能使總費用最小？【答案】（1）；（2）19個【分析】（1）由題可知需要新建個增壓站，即可求得余下工程的總費用，得到函數的解析式；（2）由（1）可得，利用導數求出的單調性與最值，即可得解.【詳解】解：（1）設需要新建個增壓站，且，即，則關于的函數關系式為；（2）由（1）知，，，令，得，解得，當時，，在區間內為減函數，當時，，在區間內為增函數，所以在處取得最小值，此時，即需新建19個增壓站才能使最小.【點睛】本題主要考查了導數的實際應用問題，其中解答中根據題意，得出函數的解析式，合理利用導數求解函數的單調性與最值是解答的關鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力.21．已知函數(其中)，為的導數.（1）求導數的最小值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）先求導數，再構造，利用導數和函數的單調性確定函數的最值．（2）令，通過求導分類討論，根據導數和最值的關系即求．【詳解】（1），令，當時，則.故時，，為增函數，故，即導數的最小值為1.（2）令，，當時，若，則由（1）可知，，所以為增函數，故恒成立，即．當時，由（1）可知在上為增函數，且，，故存在唯一，使得．則當時，，為減函數，所以，此時與恒成立矛盾．綜上所述，．【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數解決恒成立問題，解題關鍵是構造函數,通過求進而得解，考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．22．函數.（1）討論函數的單調性；（2）若，求證：.【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）對分類討論，利用導數證明單調性即可；（2）構造函數利用導數得出的極值點，根據極值點得出，再次構造函數，利用導數證明其單調性，根據單調性得出，結合得出，再由的單調性，即可證明.【詳解】（1）函數，..對分類討論：時，，可得：時，函數單調遞減；時，函數單調遞增.時，令，.時，，，則函數在上單調遞減.且時，由，解得，..時，，∴函數在，上單調遞減；在上單調遞增.時，，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）證明：即令∴可得函數在上單調遞減，在上單調遞增∴時，函數取得極小值即最小值，∵，∴設，∴函數在上單調遞增，∴∴∵，，在上單調遞增，∴∴【點睛】本題主要考查了利用導數證明函數的單調性以及利用導數研究雙變量問題，屬于中檔題.高中數學選擇性必修二《第五章一元函數的導數及其應用》單元檢測試卷（四）題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時間：120分鐘一、單選題1．如圖中的陰影部分由直徑為2的半圓和底為1，高為2，3的兩矩形構成，設函數S是圖中陰影部分介于平行線和之間的那一部分的面積，那么函數的圖象大致為()A．B．C．D．2．函數在定義域內可導，其圖像如圖所示．記的導函數為，則不等式的解集為()A．B．C．D．3．曲線上的點到直線的最短距離為（）A．B．C．D．4．已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．5．若函數與函數的圖象存在公切線，則正實數的取值范圍是（）A．B．C．D．6．已知函數.過點引曲線的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若，則的極大值點為（）A．B．C．D．7．已知函數，其中為函數的導數，則（）A．B．C．D．8．已知函數.則下列結論中錯誤的是（）A．的極值點不止一個B．的最小值為C．的圖象關于軸對稱D．在上單調遞減二、多選題9．已知是定義在上的函數，是的導函數，給出如下四個結論，其中正確的是（）A．若，且，則的解集為B．若，且，則函數有極小值0C．若，且，則不等式的解集為D．若，則10．若存在，使得對任意恒成立，則函數在上有下界，其中為函數的一個下界；若存在，使得對任意恒成立，則函數在上有上界，其中為函數的一個上界.如果一個函數既有上界又有下界，那么稱該函數有界.下列說法正確的是（）A．2是函數的一個下界B．函數有下界，無上界C．函數有上界，無下界D．函數有界11．對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，設函數，則以下說法正確的是（）A．函數對稱中心B．的值是99C．函數對稱中心D．的值是112．如圖，在四面體中，點，，分別在棱，，上，且平面平面，為內一點，記三棱錐的體積為，設，對于函數，則下列結論正確的是（）A．當時，函數取到最大值B．函數在上是減函數C．函數的圖象關于直線對稱D．不存在，使得(其中為四面體的體積).三、填空題13．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是______.14．在中，分別為角的對邊，若函數有極值點，則的范圍是__________．15．為迎接2020年奧運會，某商家計劃設計一圓形圖標，圖標內部有一“杠鈴形圖案”（如圖中陰影部分），圓的半徑為1米，，是圓的直徑，，在弦上，，在弦上，圓心是矩形的中心.若米，，，則“杠鈴形圖案”面積的最小值為______平方米.16．若函數，對于任意的，（其中）不等式恒成立，則的取值范圍為________．四、解答題17．已知二次函數.（1）求在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性18．已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若對于任意的，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．19．如圖，某市地鐵施工隊在自點M向點N直線掘進的過程中，因發現一地下古城(如圖中正方形所示區域)而被迫改道.原定的改道計劃為：以M點向南，N點向西的交匯點為圓心，為半徑做圓弧，將作為新的線路，但由于弧線施工難度大，于是又決定自點起，改為直道.已知千米，點A到OM，ON的距離分別為千米和1千米，，且千米，記.（1）求的取值范圍；（2）已知弧形線路的造價與弧長成正比，比例系數為3a，直道PN的造價與長度的平方成正比，比例系數為a，當θ為多少時，總造價最少？20．對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數.（1）當時，求的值；（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.21．已知函數（1）若存在極值點1，求的值；（2）若存在兩個不同的零點，求證：22．已知，函數，（1）求的最小值；（2）若在上為單調增函數，求實數的取值范圍；（3）證明：（）答案解析一、單選題1．如圖中的陰影部分由直徑為2的半圓和底為1，高為2，3的兩矩形構成，設函數S是圖中陰影部分介于平行線和之間的那一部分的面積，那么函數的圖象大致為()A．B．C．D．【答案】C【分析】根據圖象依次分析[0，1]、[1，2]和[2，3]上面積增長速度的變化情況，從而求得結果.【詳解】根據圖象可知在[0，1]上面積增長速度越來越慢，在圖形上反映出切線的斜率在變小；在[1，2]上面積增長速度恒定，在[2，3]上面積增長速度恒定，而在[1，2]上面積增長速度大于在[2，3]上面積增長速度，在圖形上反映出[1，2]上的切線的斜率大于在[2，3]上的切線的斜率，因此C項符合題意.【點睛】本題考查函數圖象的應用和判斷，解題的關鍵在于得出面積變化速度與函數圖像的切線斜率的關系，屬中檔題.2．函數在定義域內可導，其圖像如圖所示．記的導函數為，則不等式的解集為()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】就是由函數的減區間得的解區間．【詳解】由圖象知和上遞減，因此的解集為．故選A．【點睛】本題考查導數與單調性的關系．的解區間是的減區間，的解區間是的增區間．3．曲線上的點到直線的最短距離為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】設與直線平行且與曲線相切的直線方程為.設切點為，利用導數的幾何意義求得切點，再利用點到直線的距離公式即可得出結果.【詳解】設與直線平行且與曲線相切的直線方程為.設切點為，對函數求導得，由，可得，則，所以，切點為.則點到直線的距離.曲線上的點到直線的最短距離是.故選：A.【點睛】本題考查了導數的幾何意義和兩條平行線之間的距離、點到直線的距離公式，屬于中檔題.4．已知函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據函數單調性，將問題轉化為在區間上恒成立求參數范圍的問題；再分離參數，則問題得解.【詳解】因為在區間上單調遞增，故在區間上恒成立.即在區間恒成立.故.故選：.【點睛】本題考查利用導數由函數的單調性求參數的范圍，屬基礎題.5．若函數與函數的圖象存在公切線，則正實數的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分別求出兩個函數的導函數，設出切點，求得切線的斜率，進而求得切線方程，通過對比系數得出等量關系式，也即原命題的等價命題，結合導數求得正實數的取值范圍.【詳解】的導函數，的導函數為.設切線與相切的切點為，與相切的切點為，所以切線方程為、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上遞增，在上遞減，最大值為，而時，當時，，所以，所以.所以正實數的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查兩條曲線公切線的問題的求解，考查利用導數研究函數的單調性和最值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.6．已知函數.過點引曲線的兩條切線，這兩條切線與y軸分別交于A，B兩點，若，則的極大值點為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】設切點的橫坐標為，利用切點與點連線的斜率等于曲線在切點處切線的斜率，利用導數建立有關的方程，得出的值，再由得出兩切線的斜率之和為零，于此得出的值，再利用導數求出函數的極大值點．【詳解】設切點坐標為，∵，∴，即，解得或.∵，∴，即，則，.當或時，；當時，.故的極大值點為.【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的極值點，在處理過點作函數的切線時，一般要設切點坐標，利用切線與點連線的斜率等于切線的斜率，考查計算能力，屬于中等題．7．已知函數，其中為函數的導數，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】將函數解析式變形為，求得，進而可求得所求代數式的值.【詳解】，所以，，，函數的定義域為，，所以，函數為偶函數，因此，.故選：B.【點睛】結論點睛：本題考查利用函數奇偶性求值，關于奇函數、偶函數的導函數的奇偶性，有如下結論：（1）可導的奇函數的導函數為偶函數；（2）可導的偶函數的導函數為奇函數.在應用該結論時，首先應對此結論進行證明.8．已知函數.則下列結論中錯誤的是（）A．的極值點不止一個B．的最小值為C．的圖象關于軸對稱D．在上單調遞減【答案】A【分析】判斷函數的值域以及函數的單調性，求解函數的極值，函數的奇偶性、對稱性，即可得到結果.【詳解】因為，，所以，則當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，且只有一個極值點.因為，所以是偶函數，其圖象關于軸對稱.所以選項BCD正確，選項A錯誤，故選：A【點睛】本題主要考查了函數的圖象和性質，函數的關系式，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題.二、多選題9．已知是定義在上的函數，是的導函數，給出如下四個結論，其中正確的是（）A．若，且，則的解集為B．若，且，則函數有極小值0C．若，且，則不等式的解集為D．若，則【答案】ABD【分析】根據各選項的條件分別構造出函數，再利用導數得到函數的單調性，再根據單調性和已知條件依次判斷即可得到答案.【詳解】對選項A：設，因為，且，則，所以在上增函數，又因為，所以當時，，即的解集為，故A正確.對選項B，設，因為所以當時，，為減函數，當時，，為增函數，故當，取得極小值，極小值為，故B正確.對選項C，設，.因為，，所以，在上增函數.又因為，所以.所以當時，，故C錯誤.對選項D，設，因為，所以，在上增函數.所以，，即.故D正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，極值，同時考查了構造函數，屬于中檔題.10．若存在，使得對任意恒成立，則函數在上有下界，其中為函數的一個下界；若存在，使得對任意恒成立，則函數在上有上界，其中為函數的一個上界.如果一個函數既有上界又有下界，那么稱該函數有界.下列說法正確的是（）A．2是函數的一個下界B．函數有下界，無上界C．函數有上界，無下界D．函數有界【答案】ABD【分析】由基本不等式可判斷A；利用導數可確定，即可判斷B；由恒成立即可判斷C；利用放縮法即可判斷D.【詳解】對于A，當時，,當且僅當時取等號，恒成立，是的一個下界，故A正確；對于B，因為，當時，；時，，在上單調遞減，在上單調遞增，，有下界，又時，，無上界，故B正確；對于C，，，恒成立，有下界，故C錯誤；對于D，，，又，，，既有上界又有下界，即有界，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查了函數新定義的應用，關鍵是明確新定義運算實際考查了函數值域的求解問題，涉及到利用導數來求解函數的單調區間和最值，屬于中檔題.11．對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，設函數，則以下說法正確的是（）A．函數對稱中心B．的值是99C．函數對稱中心D．的值是1【答案】BC【分析】根據題意求出函數對稱中心，然后根據函數對稱中心的性質進行求解即可.【詳解】,令，解得，，由題意可知：函數的對稱中心為；因為函數的對稱中心為，所以有，設，所以有，得，，即的值是99.故選：BC【點睛】本題考查了利用導數求函數的對稱中心，考查了利用函數的對稱性求函數值之和問題，考查了數學閱讀能力和數學運算能力.12．如圖，在四面體中，點，，分別在棱，，上，且平面平面，為內一點，記三棱錐的體積為，設，對于函數，則下列結論正確的是（）A．當時，函數取到最大值B．函數在上是減函數C．函數的圖象關于直線對稱D．不存在，使得(其中為四面體的體積).【答案】ABD【分析】由題意可知，設，則.利用導數性質求出當時，函數取到最大值.【詳解】在四面體中，點，，分別在棱，，上，且平面平面，由題意可知，，.棱錐與棱錐的高之比為.設，.，當時，，當時，，當時，函數取到最大值.故正確；函數在函數在上是減函數，故正確；函數的圖像不關于直線對稱，故錯誤；，不存在，使得(其中為四面體的體積).故正確.故選：.【點睛】本題考查相似三角形性質的應用，利用導數研究幾何體體積最值問題，屬于中檔題三、填空題13．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是______.【答案】【分析】首先根據極限的運算法則，對所給的極限進行整理，寫成符合導數的定義的形式，寫出導數的值，即可得到函數在這一個點處的切線的斜率【詳解】解：因為，所以，所以，所以，所以曲線在點處的切線的斜率為，故答案為：【點睛】此題考查導數的定義，切線的斜率，以及極限的運算，屬于基礎題14．在中，分別為角的對邊，若函數有極值點，則的范圍是__________．【答案】【詳解】由題意有兩個不等實根，所以，，所以，所以．故答案為：.【點睛】對定義域內的可導函數來講，導函數的零點是函數極值點的必要條件，只有在的兩側的符號正好相反，都是極值點．本題中導函數是二次函數，因此要使得的零點為的極值點，只要求相應二次方程有兩個不等實根即可．15．為迎接2020年奧運會，某商家計劃設計一圓形圖標，圖標內部有一“杠鈴形圖案”（如圖中陰影部分），圓的半徑為1米，，是圓的直徑，，在弦上，，在弦上，圓心是矩形的中心.若米，，，則“杠鈴形圖案”面積的最小值為______平方米.【答案】【分析】先求出面積關于的函數解析式，利用導數判斷函數單調性，再計算函數最小值．【詳解】設中點為，連接，則，，則，，所以“杠鈴形圖案”的面積為，則.因為，所以，，單調遞增.所以當時，的最小值.則“杠鈴形圖案”面積的最小值為平方米.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題主要考察實際問題中函數的應用，根據題意寫出面積關于的函數解析式，再利用導數求函數的最大值，難點在于利用導數求極值，考查了運算能力，屬于中檔題.16．若函數，對于任意的，（其中）不等式恒成立，則的取值范圍為________．【答案】．【分析】轉化條件為在上恒成立，求得即可得解.【詳解】由題意，函數在上是單調遞增函數，所以即在上恒成立，因為當時，，所以，所以的取值范圍為．故答案為：.四、解答題17．已知二次函數.（1）求在點處的切線方程；（2）討論函數的單調性【答案】（