易錯點07圖形的變化尺規作圖視圖與投影圖形的對稱、平移、旋轉易錯分析易錯分析01軸對稱、軸對稱圖形概念和性質把握不準。在敘述軸對稱圖形的對稱軸時，錯把對稱軸當成射線或線段，導致敘述錯誤。（2018春·江蘇淮安·九年級階段練習）下列剪紙作品都是軸對稱圖形．其中對稱軸條數最多的作品是（）A． B． C．D．【答案】B【思路點撥】答案有誤，根據對稱軸的概念求解．【規范解答】解：A．有3條對稱軸；B．有4條對稱軸；C．有2條對稱軸；D．有6條對稱軸．故選D．【考點評析】本題考查軸對稱圖形．【變式訓練01】（2022秋·江蘇徐州·九年級校考階段練習）下列說法中正確的是(

)

A．平分弦的直徑垂直于弦 B．三角形的外心到三角形各頂點的距離相等C．同圓中等弦所對的圓周角相等 D．圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓的直徑【答案】B【思路點撥】利用垂徑定理、三角形外心的性質、圓周角定理及對稱軸的概念分別判斷后即可確定正確的選項．【規范解答】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯誤，不符合題意；B、三角形的外心到三角形各頂點的距離相等，正確，符合題意；C、在同圓或等圓中，等弦所對的圓周角相等或互補，原說法錯誤，不符合題意；D、圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓的直徑所在的直線，原說法錯誤，不符合題意；故選：B．【考點評析】本題考查了垂徑定理、三角形外心的性質、圓周角定理及對稱軸的概念，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．【變式訓練02】（2022秋·江蘇·九年級泰州市姜堰區第四中學校考專題練習）如圖，以AB為直徑的半圓沿弦BC折疊后，AB與弧CB相交于點D，若弧CD=弧BD，則∠B=________.【答案】##15度【思路點撥】如圖，連接OC，首先證明，得出，根據圓周角定理即可求解．【規范解答】解：如圖，連接OC，∵，，，

∴，∴，∴，故答案為：．【考點評析】本題考查了圓周角定理，翻折變換等知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵．【變式訓練03】（2022秋·江蘇無錫·九年級校考期中）在中，，點、分別是邊、上的兩個點，點關于直線的對稱點恰好落在邊上且滿足．(1)請你利用無刻度的直尺和圓規畫出對稱軸；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若，，則線段______．【答案】(1)見解析(2)【思路點撥】（1）作的角平分線，作線段的垂直平分線交于，交于，直線即為所求；（2）根據勾股定理，求得的長度，設，利用平行線分線段成比例定理，求解即可．【規范解答】（1）解：如圖，直線即為所求作．（2），，，由作圖可知，四邊形是菱形，

設，，，，，，，故答案為：．【考點評析】本題考查了作圖——軸對稱變換，勾股定理，菱形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．易錯分析易錯分析02中心對稱、中心對稱圖形概念和性質把握不準。把一個圖形繞著一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點成中心對稱.把一個圖形繞著某一點旋轉180°后，能與原來位置的圖形重合，這個圖形叫作中心對稱圖形.兩者不可混淆。（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）如圖，正五邊形和正三角形都內接于，則5．（2020·江蘇揚州·校考三模）有五張背面完全相同的卡片，其正面分別畫有等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形、圓，將這五張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是_____．【答案】【思路點撥】答案以有誤，直接利用中心對稱圖形的性質結合概率求法直接得出答案．【規范解答】

∵等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形、圓中，平行四邊形、矩形、正方形、圓都是中心對稱圖形，∴從中隨機抽取一張，卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率是．故答案為：．【考點評析】本題考查簡單的概率計算，先判斷哪些是中心對稱圖形再用概率公式計算時本題的解題思．路【變式訓練01】（2022·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學校考一模）有四張反面完全相同的紙牌A，B，C，D，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將四張紙牌洗勻正面朝下隨機放在桌面上．(1)從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是______．(2)小明和小亮約定做一個游戲，其規則為：先由小明隨機摸出一張，不放回．再由小亮從剩下的紙牌中隨機摸出一張，若摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則小亮獲勝，否則小明獲勝．這個游戲公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖說明理由．【答案】(1)(2)游戲不公平，理由見解析【思路點撥】（1）直接根據概率公式計算即可．（2）首先列表列出可能的情況，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結果有2種，由概率公式得出小亮獲勝的概率和小明獲勝的概率，得出游戲不公平．【規范解答】（1）解：共有4張牌，正面是中心對稱圖形的情況有3種，從四張紙牌中隨機摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率是；故答案為：；（2）游戲不公平，理由如下：

列表得：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12種結果，每種結果出現的可能性相同，摸出的兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的結果有2種，∴P（兩張牌面圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形）＝，∴小亮獲勝的概率為，小明獲勝的概率為，∴游戲不公平．【考點評析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．正確利用樹狀圖分析兩次摸牌所有可能結果是關鍵，區分中心對稱圖形是要點．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．【變式訓練02】（2022·江蘇鹽城·校考一模）小明在學習完九年級下冊的“統計和概率的簡單應用”后，有意識的關注生活中的概率問題，他發現家里浴室中有一塊如圖所示的3×3的正方形地板磚，陰影部分是涂黑5個小正方形所形成的圖案，他通過思考后提出這樣的兩個問題，請你幫他解決：(1)如果將一粒米隨機地拋在這個正方形地板磚上，那么米粒落在陰影部分的概率是______；(2)現將方格內空白的小正方形（A，B，C，D）中任取2個涂黑，得到新圖案，請用列表或畫樹狀圖的方法求出新圖案是中心對稱圖形的概率．【答案】(1)

(2)【思路點撥】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12個等可能的結果，其中新圖案是中心對稱圖形的結果有4個，再由概率公式求解即可．(1)解：∵9塊地板磚上，陰影部分占5塊，∴米粒落在陰影部分的概率是，故答案為：；(2)解：畫樹狀圖如圖：共有12個等可能的結果，其中新圖案是中心對稱圖形的結果有4個，∴新圖案是中心對稱圖形的概率為．【考點評析】此題主要考查了列表法與樹狀圖法求概率、中心對稱圖形的定義等知識，正確畫出樹狀圖得出所有的可能是解題關鍵．【變式訓練03】（2022春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學校考階段練習）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，Rt△ABC的三個頂點分別為A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．

(1)畫△A1B1C，使它與△ABC關于點C成中心對稱；(2)平移△ABC，使點A的對應點A2坐標為（﹣2，﹣6），畫出平移后對應的△A2B2C2；(3)若將△A1B1C繞某一點旋轉可得到△A2B2C2，則旋轉中心的坐標為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)（0，﹣2）【思路點撥】(1)直接利用關于點C中心對稱的性質得出△ABC的對應點進而畫出即可；(2)利用平移的性質得出平移規律進而得出答案；(3)利用旋轉對稱圖形得出對應點的連線的交點進而得出答案．（1）解：如圖所示：△A1B1C即為所求；（2）解：如圖所示：△A2B2C2即為所求；（3）解：將△A1B1C繞某一點旋轉可得到△A2B2C2，連接A1A2，則旋轉中心的坐標為：（0，﹣2）．故答案為：（0，﹣2）．【考點評析】此題主要考查了圖形中心對稱變換、平移變換和旋轉變換，根據題意畫出對應點的位置是解題關鍵．

易錯分析易錯分析03圖形的軸對稱或旋轉問題，要充分運用其性質解題，即運用圖形的“不變性”，在軸對稱和旋轉中角的大小不變，線段的長短不變。在旋轉的過程中，轉動的角叫作旋轉角.對應角是指旋轉前后兩個圖形的對應角。（2019·江蘇蘇州·蘇州高新區實驗初級中學校考一模）如圖，將繞點C順時針旋轉，點B的對應點為點E，當點E恰好落在邊上時，連接，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】答案有誤，根據旋轉的性質可得，，進而根據等邊對等角的性質求解即可．【規范解答】解：由題意知，，∴，故選D．【考點評析】本題考查了旋轉的性質和等邊對等角的性質，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．【變式訓練01】（2023秋·江蘇徐州·九年級統考期末）如圖，將邊長為的正方形繞其中心旋轉，則兩個正方形公共部分（陰影部分）的面積為_____．

【答案】【思路點撥】如圖所示（見詳解），設正方形的中心點為，利用正方形的性質得，，則，所以，再根據旋轉的性質得，于是可判斷和為全等的等腰直角三角形，所以，同理可得，，設，則，，，利用正方形的邊長為得，解得的值，然后利用正方形的面積減去個三角形的面積即可得到兩個正方形公共部分（陰影部分）的面積．【規范解答】解：如圖所示，設正方形的中心點為，∵點和點到正方形的中心的距離相等，即，∴，而，∴，∴，∵正方形繞其中心旋轉，∴，∴和為全等的等腰直角三角形，∴，同理可得，，設，則，，，

∵，∴，解得，∴，∴兩個正方形公共部分（陰影部分）的面積＝．故答案為：．【考點評析】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．【變式訓練02】（2022秋·江蘇宿遷·九年級校考階段練習）如圖，是等邊三角形，E是的中點，D是直線上一動點，線段繞點E逆時針旋轉，得到線段，當點D運動時，若，則的最小值為______．【答案】【思路點撥】連接，延長到N，使，連接，過點A作于G，過點A作于H，由等邊三角形的性質可得，，，，由旋轉的性質可得，由可證，可得，可得點F在過點N且平行于的直線上，當時，AF的值最小，由直角三角形的性質可求線段的最小值．【規范解答】解：如圖，連接，延長到N，使，連接，過點A作于G，過點A作于H，

∵是等邊三角形，E是的中點，且，∴，，，∴，∵線段繞點E逆時針旋轉得到，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴點F在過點N且平行于的直線上，∴當時，的值最小，∵，∴，∴線段的最小值為，故答案為：．【考點評析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，確定點F的運動軌跡是本題的關鍵．【變式訓練03】（2022秋·江蘇淮安·九年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知

的三個頂點的坐標分別為，，．(1)將繞原點順時針旋轉后得到，在所給圖形中畫出；(2)請寫出、、三點的坐標：，，；(3)求點旋轉到點的弧長為．【答案】(1)圖見解析(2)；；(3)【思路點撥】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出點，，的對應點分別為點，，即可；（2）根據圖直接得出各點的坐標即可；（3）以點為圓心，圓心角為，為半徑畫弧得到點在旋轉的過程中所經過的路線，然后根據弧長公式計算它的長度．【規范解答】（1）解：如圖，為所作；

（2）由圖知：，，．故答案為：；；．（3）由題意知，點旋轉到點的所在的圓的半徑為，所對的圓心角為，∴的長為：．故答案為：．【考點評析】本題考查作圖—旋轉變換，弧長的計算．根據旋轉的性質可知，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．理解和掌握旋轉的性質及弧長的計算公式是解題的關鍵．易錯分析易錯分析04坐標與圖形變化—軸對稱，關于原點對稱點的坐標。（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）將拋物線以原點為中心旋轉180度得到的拋物線解析式為___________．

【答案】【思路點撥】答案有誤，求出繞原點旋轉180度所得拋物線的頂點坐標，然后根據頂點式寫出即可．【規范解答】解：∵拋物線的頂點為，繞原點旋轉180度后變為，且開口相反，∴得到的拋物線解析式為，故答案為：．【考點評析】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知二次函數的圖象旋轉及平移的法則是解答此題的關鍵．【變式訓練01】（2020秋·江蘇南通·九年級校考期中）在平面直角坐標系中，點P（﹣2，﹣5）關于原點對稱的點的坐標是

___________________．【答案】（2，5）【思路點撥】根據關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別互為相反數即可求解．【規范解答】解：點P（﹣2，﹣5）關于原點對稱的點的坐標是（2，5）故答案為：（2，5）【考點評析】本題考查了關于原點對稱的兩個點的坐標特征，掌握“關于原點對稱的點的橫坐標、縱坐標分別互為相反數”是解題的關鍵．【變式訓練02】（2020秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學校考期中）如圖，在10×10的網格中建立平面直角坐標系，△ABC是格點三角形（頂點在網格線的交點上）．（1）先作△ABC關于原點O的成中心對稱的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4個單位得到△A2B2C2；（2）A2點的坐標為；（3）請直接寫出CC1+C1C2＝．

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）【思路點撥】（1）利用關于原點對稱的點的坐標特征可寫出、、，描點連線得到，然后利用點平移的坐標特征可寫出、、，然后描點連線即可得到；（2）由（1）可得答案；（3）根據勾股定理求得，由平移規律求得，再相加即可得解．【規范解答】解：（1）∵觀察圖形可知，，∴與關于原點對稱的的頂點坐標為，，∴由向上平移個單位得到的的頂點坐標為，，∴可在坐標系中描出各點，再順次分別首尾連接，即可得到、，如圖：；（2）由（1）可知：點的坐標為；

（3）連接、，的中點這個格點標為點，如圖：∵觀察圖形可得，為直角邊分別為、的直角三角形的斜邊∴∵向上平移個單位得到∴∴．【考點評析】本題考查了平移作圖、中心對稱作圖、勾股定理、求坐標系中兩點間的距離等知識點，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．【變式訓練03】（2022·江蘇泰州·統考二模）已知，在平面直角坐標系中，有反比例函數y=的函數圖像：(1)如圖1，點A是該函數圖像第一象限上的點，且橫坐標為a（a＞0），延長AO使得AO=A'O，判斷點A'是否為該函數圖像第三象限上的點，并說明理由；

(2)如圖2，點B、C均為該函數圖像第一象限中的點，連接BC，點D為線段BC的中點，請僅用一把無刻度的直尺作出點D關于點O的對稱點D'．（不寫作圖過程，保留作圖痕跡）【答案】(1)點A'是該函數圖像第三象限上的點，理由見解析(2)見解析【思路點撥】（1）過點A作AM⊥x軸于點M，過點作軸于點N，先求出點A的坐標，再證明，得出，即可得出結論；（2）連接BO、CO并延長，交反比例函數第三象限的圖像于點、點，連接，連接DO并延長，交于點，即可得到點點．【規范解答】（1）點A'是該函數圖像第三象限上的點，理由如下：過點A作AM⊥x軸于點M，過點作軸于點N，點A是反比例函數y=的圖像第一象限上的點，且橫坐標為a（a＞0），，即，，，，，，

，點A'是該函數圖像第三象限上的點；（2）連接BO并延長，交反比例函數第三象限的圖像于點，連接CO并延長，交反比例函數第三象限的圖像于點，連接，連接DO并延長，交于點，此時，點即為所求．【考點評析】本題考查了反比例函數的圖像上的點的坐標特征，關于原點對稱點的特點即作圖，掌握知識點是解題的關鍵．易錯分析易錯分析05平移、旋轉綜合題計算。（2023秋·江蘇泰州·九年級統考期末）如圖，四邊形內接于，，，則17．（2022·江蘇徐州·徐州市第十三中學校考三模）如圖，的頂點C在反比例函數的圖像上，且點A坐標為，點B坐標為，則k的值為_________．

【答案】4【思路點撥】答案有誤，由于四邊形OABC為平行四邊形，根據平移的性質，結合點O、A、B的坐標可確定點C的坐標為（4，2），將其代入帶反比例函數解析式求k值即可．【規范解答】解：∵四邊形OABC為平行四邊形，∴，，∵A坐標為，點B坐標為，點O坐標為，由平移的性質可知，點C的坐標為（4，2），∴將點C（4，2）代入到函數中，可得，解得．故答案為：8．【考點評析】本題主要考查了反比例函數圖像上點的坐標特征、平行四邊形的性質及平移的性質，解題關鍵是確定C點的坐標．【變式訓練01】（2022秋·江蘇南通·九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系內，的頂點坐標分別為，，．

(1)平移，使點C移到點，畫出平移后的；(2)將繞點旋轉180°，得到，畫出旋轉后的；(3)與是否關于某點成中心對稱？若是，直接寫出對稱中心的坐標：若不是，請寫出理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)是，【思路點撥】（1）首先確定點的平移規律，依此規律平移、兩點，從而得到；（2）利用中心對稱的性質作出、、的對應點、、即可；（3）連接，、，求出，的中點坐標即可求解．【規范解答】（1）如圖，即為所求；（2）如圖，即為所求；

（3）與關于某點成中心對稱，對稱中心的坐標為【考點評析】本題考查了坐標的平移，中心對稱圖形的畫法，求對稱中心的坐標，解題的關鍵是根據題意畫出圖形．【變式訓練02】（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-1,3)，B(-4,0)，C(0,0)(1)寫出△ABC的外心坐標；(2)將△ABC繞原點O順時針方向旋轉90°得到，畫出(3)在（2）的基礎上，求A旋轉路徑的長度【答案】(1)(2)見解析(3)【思路點撥】（1）根據網格的特點，作的垂直平分線，交于點，即△ABC的外心坐標為；（2）分別作出點A、B繞原點O順時針方向旋轉90°得到的對應點，再順次連接即可得；（3）根據弧長公式計算可得；【規范解答】（1）如圖所示，取的垂直平分線，交于點，即△ABC的外心坐標為，

故答案為：；（2）如圖所示，即為所求；（3）解：∵，∴A點旋轉到點所經過的路徑長為．【考點評析】本題考查了求三角形的外心坐標，畫旋轉圖形，勾股定理與網格，求弧長，綜合運用以上知識是解題的關鍵．【變式訓練03】（2020秋·江蘇揚州·九年級統考階段練習）如圖1，在等腰Rt中，，點D、E分別在邊、上，，連接，點M、P、N分別為、、的中點．

(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數量關系是______，位置關系是______；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點A在平面內自由旋轉，若，，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由見解析(3)【思路點撥】（1）利用三角形的中位線定理得出，，進而得出，即可得出結論，再利用三角形的中位線定理得出，再得出，最后利用互余得出結論；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出結論；（3）由等腰直角三角形可知，當最大時，面積最大，而的最大值是，即可得出結論．【規范解答】（1）解：∵P、N分別為、的中點，∴，，∵點M、P分別為DE、DC的中點，∴，，∵，，

∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案為：，．（2）解：是等腰直角三角形，理由如下．由旋轉可知，，∵，，∴，∴，，由三角形的中位線定理得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法可得，，，，，∵，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，，∴當最大時，面積最大，

∴點D在的延長線上，∴，∴，∴．【考點評析】本題綜合考查了三角形全等的判定與性質、旋轉的性質及三角形的中位線定理，熟練應用相關知識是解決本題的關鍵．易錯分析易錯分析06圖形投影及相關計算。注意點：由平行的光線所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影叫作正投影，正投影屬于平行投影的一種。（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖所示，一電線桿AB的影子落在地面和墻壁上，同一時刻，小明在地面上豎立一根1米高的標桿（PQ），量得其影長（QR）為0.5米，此時他又量得電線桿AB落在地面上的影子BD長為3米，墻壁上的影子CD高為2米，小明用這些數據很快算出了電線桿AB的高為（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】B【思路點撥】答案有誤，在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據此列方程即可解答．【規范解答】解：如圖：假設沒有墻CD，則影子落在點E，

∵桿高與影長成正比例，∴CD：DE=1：0.5，∴DE=1米，∴AB：BE=1：0.5，∵BE=BD+DE=4，∴，∴AB=8米．故選：D．【考點評析】本題主要考查相似三角形的應用，解題的關鍵是知道在同一時刻同一地點任何物體的高與其影子長的比值相同這個結論．【變式訓練01】（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，小樹在路燈的照射下形成投影．若樹高，樹影，路燈的高度為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點撥】找出相似三角形，利用相似三角形的性質求解即可．【規范解答】解：∵，∴，∴，

∴，∴，故選：D．【考點評析】本題考查中心投影以及相似三角形的應用．測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．【變式訓練02】（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，身高1.6m的小王晚上沿箭頭方向散步至一路燈下，他想通過測量自己的影長來估計路燈的高度，具體做法如下；先從路燈底部向東走20步到M處，發現自己的影子端點剛好在兩盞路燈的中間點P處，繼續沿剛才自己的影子走5步到P處，此時影子的端點在Q處．(1)根據題意畫圖，找出路燈的位置．(2)求路燈的高和影長．【答案】(1)見解析(2)路燈高8米，影長為步【思路點撥】（1）連接，并延長相交于點，即為路燈的位置；（2）由，，可分別得，，根據三角形相似的性質，得到對應邊成比例，列出比例式，代入數值計算即可．【規范解答】（1）解：如圖，點O為路燈的位置；（2）解：作垂直地面，如圖，步，步，，，∴，∴，即，解得，

∵，∴，∴，即，解得答：路燈高為8米，影長為步．【考點評析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質應用，找到相似三角形列出比例式是解題的關鍵．【變式訓練03】（2022秋·江蘇徐州·九年級校考期末）某校數學綜合實踐小組運用所學知識測量物體的高度．(1)如圖1，小明將鏡子放在距離旗桿底部的點處（即），然后看著鏡子沿直線前后移動，直到看到旗桿頂端在鏡子中的像與點重合，此時小明同學站在點處，測得，若小明的眼睛離地面的高度為，求旗桿的高度．（溫馨提示：測量時，所使用的平面鏡的大小和厚度均忽略不計，根據光的反射定律，反射角等于入射角，法線，）(2)已知在陽光下，測得一根與地面垂直、長為1米的竹竿的影長為2米．如圖2，小東發現樹的影子一部分落在地面上，還有一部分影子落在教學樓的墻壁上，量得墻壁上的影長為3.5米，落在地面上的影長為6米，求樹的高度．【答案】(1)(2)【思路點撥】（1）由題意易得，根據相似三角形的性質即可求得的長；（2）根據在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經過物體頂部的太陽光線三者構成的兩個直角三角形相似．經過樹在教學樓上的影子的頂端作樹的垂線和經過樹頂的太陽光線以及樹所成三角形，與竹竿，影子光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到樹的頂端的高度，再加上墻上的影高就是樹高．

【規范解答】（1）解：∵法線，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．（2）解：設從墻上的影子的頂端到樹的頂端的垂直高度是x米．則有，，解得，∴樹的高度為．【考點評析】本題考查相似三角形的應用以及平行投影，解題的關鍵是從復雜的數學問題中整理出三角形并利用相似三角形求解．易錯分析易錯分析07三視圖的相關計算。注意點：一個物體在3個相互垂直的投影面內進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖是主視圖，在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖是俯視圖，在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖是左視圖（2022秋·江蘇鎮江·九年級統考期中）已知圓錐的主視圖是底邊長為，底邊上的高為的等腰三角形，則這個圓錐的側面積是_____．（結果保留）【答案】

【思路點撥】答案有誤，首先根據題意，求得底面的周長、利用勾股定理求得圓錐的母線長，然后利用扇形的面積公式即可求得圓錐的側面積．【規范解答】解：依題意底面周長是，底面積是：．母線長是：，則圓錐的側面積是：．故答案是：．【考點評析】本題考查三視圖，圓錐的計算，勾股定理，圓的面積公式，圓的周長公式和扇形面積公式求解．【變式訓練01】（2022·江蘇鹽城·校考三模）一個由相同小立方塊搭成的幾何體，從正面、左面、上面看到的形狀圖如圖所示，則搭成這個幾何體的小立方塊的個數為（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】B【思路點撥】從俯視圖中可以看出最底層小立方塊的個數及形狀，從主視圖可以看出每一層小立方塊的層數和個數，從左視圖可看出每一行小立方塊的層數和個數，從而算出總的個數．【規范解答】解：如圖所示，由俯視圖易得：最底層小立方塊的個數為4，由其他視圖可知第二層有1個小立方塊，那么共有個小立方塊．故選：B．

【考點評析】本題考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查．由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．【變式訓練02】（2022春·江蘇·九年級專題練習）一個幾何體是由若干個棱長為2cm的小正方體搭成的，從正面、左面、上面看到的幾何體的形狀如圖所示：(1)在“從上面看”的圖中標出各個位置上小正方體的個數；(2)求該幾何體的體積．【答案】(1)見解析(2)該幾何體的體積為80．【思路點撥】（1）根據“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”的原則解答即可得解；（2）根據每個正方體的體積乘正方體的個數即可得解．【規范解答】（1）解：如圖所示：；（2）解：該幾何體的體積為：×（2+3+2+1+1+1）=8×10=80（）．答：該幾何體的體積為80．【考點評析】本題考查學生對三視圖的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．【變式訓練03】（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖是由一些大小相同的小正方體組合成的簡單幾何體．

(1)畫出該幾何體的主視圖和左視圖；(2)如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持俯視圖和左視圖不變，那么最多可以再添加塊小正方體．【答案】(1)見解析(2)5【思路點撥】（1）根據三視圖的定義畫出圖形即可．（2）根據題目條件解決問題即可．【規范解答】（1）主視圖和左視圖如下圖所示：（2）在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持俯視圖和左視圖不變，那么最多可以再添加5塊小正方體．故答案為：5．【考點評析】本題考查作圖-三視圖，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．一、選擇題1．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，，平分，交于，交于，若，則等于（

）

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【思路點撥】過D點作于G點，通過，DE⊥DF，可得，進而有，，即可得，易證得，即可求解．【規范解答】解：過D點作于G點，如圖，∵平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，，在中，有，∴，∵，，∴，∴，故選：B．【考點評析】本題考查了角平分線的性質、平行的相關的性質、等腰三角形的判定和性質以及特殊角的三角函數等知識，利用角平分線的性質是解答本題的關鍵．

2．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，，，，均為網格圖中的格點，線段與相交于點，則的正切值為()A． B． C． D．【答案】A【思路點撥】連接，，由題意得：，得出，勾股定理求得，根據正切的定義即可求解．【規范解答】解：連接，，由題意得：，，由題意得：，，，，的正切值為：，故選：A．【考點評析】本題考查了求正切，勾股定理與網格問題，數形結合是解題的關鍵．3．（2022秋·江蘇揚州·九年級統考期中）如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形，已知，若四邊形的周長是2，則四邊形的周長是（）

A．4 B．6 C．16 D．18【答案】B【思路點撥】根據位似的性質，得到，推出，進而求出四邊形與四邊形的相似比，利用周長比等于相似比，進行求解即可．【規范解答】∵，∴，∵四邊形與四邊形是位似圖形，∴四邊形四邊形，，∴，∴，∴四邊形的周長：四邊形的周長，∵四邊形的周長是2，∴四邊形的周長為6，故選B．【考點評析】本題考查位似圖形，相似三角形的判定和性質．熟練掌握位似圖形的性質，證明三角形相似，是解題的關鍵．4．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統考期末）如圖，C為⊙O上一點，是⊙O的直徑，，，現將繞點B按順時針方向旋轉30°后得到，交⊙O于點D，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】連接，，根據及旋轉，得到，，從而得到是等邊三角形，結合是⊙O的直徑，即可得到，，從而得到是等邊三角形，即可得到，根據扇形面積公式及三角形面積公式即可得到答案．【規范解答】解：連接，，過O作，∵是⊙O的直徑，，∴，，∴是等邊三角形，∵，∴，，∵繞點B按順時針方向旋轉30°后得到，∴，∴，是等邊三角形，∴，，∵，∴，，∴陰影部分的面積為：，故選C

．【考點評析】本題考查勾股定理，扇形面積公式，圓周角定理，解題的關鍵是添加輔助線，利用扇形面積減三角形面積求得陰影部分面積．5．（2023秋·江蘇泰州·九年級統考期末）如圖，在正方形網格中：、的頂點都在正方形網格的格點上，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】根據網格的特點，利用勾股定理求得、各邊長，進而證明，根據相似三角形的性質得出，即可求解．【規范解答】解：∵，，∵，∴，∴，，，故選：B．

【考點評析】本題考查了相似三角形的性質與判定，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．二、填空題6．（2023秋·江蘇宿遷·九年級校考期末）如圖，點是線段的黃金分割點，，和均是等邊三角形．若表示的面積，表示的面積，則與的大小關系為______．【答案】##【思路點撥】過P作于E，過Q作于F，根據黃金分割定義可得，再根據等邊三角形的性質和相似三角形的判定與性質得到，然后利用三角形的面積公式求解即可．【規范解答】解：過P作于E，過Q作于F，∵點是線段的黃金分割點，，∴，∵和均是等邊三角形，∴，

∴，∴，∴，∴，故答案為：．【考點評析】本題考查黃金分割、等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握黃金分割的定義是解答的關鍵．7．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，在每個小正方形的邊長為的網格中，點，點均落在格點上，為⊙的直徑．（1）的長等于___________；（2）請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出一個以為斜邊、面積為的，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）___________．【答案】

見解析【思路點撥】（1）根據勾股定理計算即可；（2）取格點，連接；取格點，，連接與交于點．取格點，，連接并延長，交網格線于點，連接；取格點，連接與交于點．連接與⊙相交，得點．連接，，即為所求．【規范解答】解：（1），故答案為：；（2）如圖取格點，連接；取格點，，連接與交于點．取格點，，連接

并延長，交網格線于點，連接；取格點，連接與交于點．連接與⊙相交，得點．連接，，即為所求．故答案為（1）；（2）作圖見解析，簡要說明見解析．【考點評析】本題考查了勾股定理的應用，直徑的性質，相似三角形的判定及性質，靈活運用相似三角形的判定及性質是解決本題的關鍵．8．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，的頂點A，B，C均在格點上（1）的大小為___________（度）；（2）在如圖所示的網格中，P是邊上任意一點，以A為中心，取旋轉角等于，把點P逆時針旋轉，點P的對應點為，當最短時，請用無刻度的直尺，畫出點，并簡要說明點的位置是如何找到的（不要求證明）___________．【答案】

90

見解析【思路點撥】（1）運用勾股定理逆定理求解即可；（2）取格點D，E，連接交于點T；取格點M，N，連接交延長線于點G：取格點F，連接交延長線于點，則點即為所求；當邊繞點A逆時針旋轉時，點B與點F重合，點

F在射線上，找到點C到FG的垂足即為．【規范解答】解：（1）由網格圖可知，，，∵，∴由勾股定理逆定理，為直角三角形．∴，故答案為：90；（2）作圖過程如下：取格點D，E，連接交于點T；取格點M，N，連接交延長線于點G：取格點F，連接交延長線于點，則點即為所求證明：連接，∵為正方形網格對角線，∴A、C、F共線，∴，由圖形可知：，，∵，，∴,∴，

∵，∴當邊繞點A逆時針旋轉時，點B與點F重合，點F在射線上．由作圖可知T為中點，∴，∴，∴，此時，最短，故答案為：取格點D，E，連接DE交AB于點T；取格點M，N，連接交延長線于點G：取格點F，連接交延長線于點，則點即為所求．【考點評析】本題主要考查了直角三角形的證明、圖形的旋轉、三角形相似和最短距離的證明，找到線段旋轉后所在成為解答本題的關鍵．9．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）如圖，在中，，是邊上的高，E、F分別為邊，上的動點，且，射線與相交于點M，若連接，則線段的最小值為________．【答案】##【思路點撥】連接，并延長交邊于點G，證得點M在線段AB為直徑的上，作以線段為直徑的，取圓心O，連接交于點N，則當點O、M、C三點共線時，線段的最小值，利用勾股定理即可求解．【規范解答】解：如圖1，連接，并延長交邊于點G，∵在中，，

∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵是邊上的高，∴，∴，

∴，∴，∴是的高，∵是的邊上的高，∴是的邊上的高，∴，∴，∴點M在線段AB為直徑的上，如圖2，作以線段為直徑的，取圓心O，連接交于點N，則當點O、M、C三點共線時，線段的最小值，如圖3，∵，點O是圓心，∴，∵，

∴，∴線段的最小值即，故答案為：．【考點評析】本題考查了相似三角形的判定及性質、直角三角形的判定及性質、90度圓周角所對的弦是直徑、勾股定理以及最短路徑等知識，證得點M在線段AB為直徑的上是解題的關鍵．三、解答題10．（2022秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，已知是坐標原點，、兩點的坐標分別為、．(1)以點為位似中心在軸的左側將放大到兩倍即新圖與原圖的相似比為，畫出圖形；(2)分別寫出、兩點的對應點、的坐標；(3)如果內部一點的坐標為，寫出的對應點的坐標．【答案】(1)見解析(2)，(3)【思路點撥】（1）延長，到，使，的長度是，的倍．順次連接三點即可；（2）從直角坐標系中，寫出、的坐標；（3）從這兩個相似三角形坐標位置關系來看，對應點的坐標正好是原坐標乘以的坐標，所以的坐標為，寫出的對應點的坐標為．【規范解答】（1）解：如圖，即為所求；

（2）解：對應點、的坐標為，；（3）解：從這兩個相似三角形坐標位置關系來看，對應點的坐標正好是原坐標乘以的坐標，所以的坐標為，寫出的對應點的坐標為．【考點評析】本題綜合考查了直角坐標系和相似三角形的有關知識，注意做這類題時，性質是關鍵，看圖也是關鍵．很多信息是需要從圖上看出來的．11．（2023·江蘇·九年級專題練習）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網格，圖中的點A、B、C、D均在格點上．(1)在圖①中，．(2)利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在上找一點P，使．②如圖③，在上找一點P，使．【答案】(1)(2)圖見解析【思路點撥】（1）根據兩條直線平行，對應線段成比例即可得結論；（2）①根據勾股定理得的長為5，利用格點，再根據相似三角形的判定及性質即可找到點P；②作點A的對稱點，連接與的交點即為要找的點P，使．

【規范解答】（1）解：圖1中，∵，∴，故答案為：．（2）解：①在網格圖②中，，如圖2所示，連接，交于點P，∵，∴，解得：，∴點P即為所要找的點；②如圖3所示，作點A的對稱點，連接，交于點P，∵，∴，∴點P即為所要找的點．【考點評析】本題考查了作圖—相似變換，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質，利用格點構造相似三角形．12．（2022秋·江蘇無錫·九年級校聯考階段練習）已知如圖：在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為、、(正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度)．

(1)畫出向下平移個單位長度得到的；(2)以點為位似中心，在網格內畫出，使與位似，且位似比為：；(3)的面積是平方單位．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)10【思路點撥】（1）根據平移的性質，將向下平移個單位長度得到的；（2）根據位似的性質，延長，至，使得，連接，則即為所求；（3）根據矩形面積減