第29講平面向量基本定理及坐標表示（講）思維導圖知識梳理1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標運算(1)向量的加法、減法、數乘向量及向量的模：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法：①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.題型歸納題型1平面向量基本定理及其應用【例11】（2020春?荊州期末）中，，點在上，且滿足，則實數的值為A． B． C． D．【例12】（2020春?密云區期末）如圖，在中，．若，則的值為，是上的一點，若，則的值為．【跟蹤訓練11】（2020?黃州區校級三模）在中是直線上一點，且，若，則A． B． C． D．【跟蹤訓練12】（2020春?金安區校級期末）如圖，已知，，，，則A． B． C． D．【跟蹤訓練13】（2020春?運城期末）如圖，在中，，，若，則的值為A． B． C． D．【名師指導】平面向量基本定理的實質及應用思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．題型2平面向量的坐標表示【例21】（2020?黔東南州模擬）若向量，，則A． B． C． D．【跟蹤訓練21】（2020春?南崗區校級期末）設，則A． B． C． D．【跟蹤訓練22】（2020春?紹興期末）平面向量，，則A． B． C． D．【名師指導】求解向量坐標運算問題的一般思路(1)向量問題坐標化向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，通過建立平面直角坐標系，使幾何問題轉化為數量運算．(2)巧借方程思想求坐標向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，求解過程中要注意方程思想的運用．(3)妙用待定系數法求系數利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標，再用待定系數法求出系數．題型3平面向量共線的坐標表示【例31】（2020?全國Ⅰ卷模擬），為原點，，，則點坐標為A． B． C． D．【例32】（2020?九江三模）已知向量，，若，則實數的值為．【跟蹤訓練31】（2020?廣州二模）已知向量，，若與共線，則實數的值為．【跟蹤訓練32】（2020?河南模擬）已知向量，，，若，則．【跟蹤訓練33】（2020春?山西月考）已知向量，，，若，，三點共線，則．【跟蹤訓練34】（2020春?樂山期中）已知平行四邊形的頂點，，，則頂點的坐標為．【名師指導】平面向量共線的坐標表示問題的常見