PAGEPAGE1上海市嘉定區2023-2024學年高一上學期期末考試數學試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，前6題每題得4分，后6題每題得5分．1.已知集合，，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以.故〖答案〗為：.2.將化為有理數指數冪的形式為__________．〖答案〗〖解析〗由題意可得：.故〖答案〗為：.3.若，則=__________.〖答案〗2〖解析〗由于，所以.故〖答案〗為：.4.已知，用表示____________.〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：.5.已知角的終邊經過點，則=__________.〖答案〗〖解析〗因為角的終邊經過點，所以，又.故〖答案〗為：.6.已知函數是偶函數，則實數為___________.〖答案〗1.〖解析〗，因為是偶函數，，所以，即.故〖答案〗為：.7.已知，則函數的最大值為_________.〖答案〗4〖解析〗因為，當且僅當，即時等號成立，所以函數最大值為4.故〖答案〗為：4.8.已知，關于的不等式的解集為，則=________.(用表示)〖答案〗〖解析〗因為，關于的不等式的解集為，所以且，3是一元二次方程的兩個根，由韋達定理得到，即，所以.故〖答案〗為：.9.若，則的最小值為___________.〖答案〗7〖解析〗因為，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.10.已知在上是關于x的減函數，則實數a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為在上是關于x的減函數，而是增函數，所以由復合函數單調性可知，為上的減函數，故，解得.故〖答案〗為：.11.已知函數的值域為，則實數的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗當時，在上單調遞增，所以時，；當時，，①若，則上單調遞增，在上單調遞減，則時，，即時，，又時，，此時，函數的值域為，不滿足題意，舍去；②當時，函數此時值域為，不滿足題意，舍去；③當時，在上單調遞減，則時，，即時，，因為函數的值域為，又時，；則時，且，不等式，解得：，不等式等價于時，，設（），因為在上單調遞增，在上是增函數，所以在上單調遞增，又，所以時，等價于，即，則不等式，解得：，所以時，解集為，綜上：實數的取值范圍是.故〖答案〗為：.12.已知函數若對任意的，都存在唯一的，滿足，則實數的取值范圍是______________．〖答案〗〖解析〗法1：當時，．因為，而，當且僅當，即時，等號成立，所以的取值范圍是，由題意及函數的圖像與性質可得，或，如上圖所示，解得或，所以所求實數的取值范圍是．法2：當時，，即，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以的取值范圍是；當時，（1）若，則（），它是增函數，此時的取值范圍是，由題意可得，解得，又，所以；（2）若，則，函數在上是增函數，此時的取值范圍是；而函數在上是減函數，此時的取值范圍是，由題意可得，解得，又，所以，綜上，所求實數的取值范圍是．故〖答案〗為：[-1,5).二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，每題選對得5分.13.下列四組函數中，同組的兩個函數是相同函數的是（）A.與 B.與C.與 D.與〖答案〗C〖解析〗A選項，的定義域是，的定義域是，不是相同函數；B選項，的定義域是，的定義域是，不是相同函數；C選項，，定義域、值域、和對應關系完全相同，是相同函數，C選項正確；D選項，的定義域是，的定義域是，不是相同函數.故選：C.14.已知，則的值()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.15.設集合，，，其中，給出下列兩個命題：命題：對任意的，是的子集；命題：對任意的，不是的子集．下列說法正確的是（）A.命題是真命題，命題是假命題B.命題是假命題，命題是真命題C.命題、都是真命題D.命題、都是假命題〖答案〗A〖解析〗由于，即時，一定成立，故是的子集，因此命題是真命題，令，；令，.從而可知，當時，，此時，是的子集，故命題是假命題.故選：A.16.已知函數，若關于的的方程有且僅有兩個不同的整數解，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若關于的的方程有且僅有兩個不同的整數解，則必有且同時成立，即圖象夾在和之間，易知，函數的圖象大致如圖，結合圖形可知的整數解只有兩個，則其中一個為，另一個為，所以，且，解得.故選：B.三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．17.設全集為，集合，集合.（1）若，求集合；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）因為，所以，所以，解得，所以，又因為，所以，所以，所以，所以.（2）因為，所以，所以，又因為，且即，所以，所以，所以實數的取值范圍是.18.已知，并且是第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為，且是第二象限角，則，所以.（2）由（1）知，，所以.19.某公司擬投資開發一種新能源產品，估計公司能獲取不低于100萬元且不高于1600萬元的投資收益。該公司對科研課題組的獎勵方案有如下3條要求:①獎金(單位:萬元)隨投資收益(單位:萬元)的增加而增加；②獎金不低于10萬元且不超過200萬元；③獎金不超過投資收益的20%.（1）設獎勵方案函數模型為，我們可以用數學語言表述公司對獎勵方案的函數模型，比如方案要求③“獎金不超過投資收益的20%”可以表述為:“f(x)恒成立”請你用數學語言表述另外兩條獎勵方案；（2）已知函數，其中符合公司獎勵方案函數模型要求.在該獎勵方案函數模型前提下，科研課題組最多可以獲取多少獎金?解：（1）“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加”可以表述為：當時，是的增函數；“獎金不低于10萬元且不超過200萬元”表述為：函數值.（2）因為函數符合公司獎勵方案函數模型要求，則函數在上增函數，有，，，解得，由，不等式恒成立，得，顯然，，當且僅當，即時取等號，于是，解得，從而，因此當，時，，當且僅當且時取等號，且，所以在該獎勵方案函數模型前提下，科研課題組最多可以獲取195萬元獎金.20.已知定義在上的奇函數的表達式為(且).（1）求實數的值；（2）判斷函數的單調性（只需寫出結論）；若存在，使得成立，求實數的取值范圍；（3）已知，若函數有且僅有兩個零點，求實數的取值范圍.解：（1）因為定義在上的奇函數的表達式為(且)，所以，得，此時，則符合題意，所以實數的值為3.（2）在單調遞增，證明如下：任取，且，則，因為，且，所以，所以，所以在單調遞增；由，即，因為是定義在上的奇函數，所以，因為在單調遞增，所以，所以存在，使得成立，因為對稱軸為，所以當時，取得最小值，所以，即實數的取值范圍為.（3）由題意得，令，即，令，則在有兩個不相等的實根，所以，解得，所以實數的取值范圍為.21.對于定義域為R的函數，定義，設區間，對于區間上的任意給定的兩個自變量的值，當時，總有，則稱是的“函數”.（1）判斷函數，是否存在“函數”，并說明理由；（2）若非常值函數，是奇函數，求證：存在“函數”的充要條件是存在常數，使得；（3）若函數與函數的定義域都是，且均存在“函數”，求實數的取值范圍.解：（1）因為，當；當，故，則該函數不存在“函數”.（2）充分性：若，則任取時，總有，所以存