考點過關檢測（十五）1．(2019·邯鄲模擬)口袋里裝有紅球、白球、黑球各1個，這3個球除顏色外完全相同，有放回地連續抽取2次，每次從中任意取出1個球，則2次取出的球顏色不同的概率是()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(8,9)解析：選C法一：由題意，知基本事件有(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，紅)，(白，白)，(白，黑)，(黑，紅)，(黑，白)，(黑，黑)，共9個，2次取出的球顏色不同包含的基本事件個數為6，所以2次取出的球顏色不同的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選C.法二：由題意，知基本事件有(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，紅)，(白，白)，(白，黑)，(黑，紅)，(黑，白)，(黑，黑)，共9種，其中2次取出的球顏色相同有3種，所以2次取出的球顏色不同的概率為1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).2．(2019·武漢調研)我國歷法中將一年分春、夏、秋、冬四個季節，每個季節六個節氣，如春季包含立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨．某書畫院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節氣的彩繪任務，現四位同學抽簽確定各自完成哪個季節中的6幅彩繪，在制簽抽簽公平的前提下，甲抽到繪制夏季6幅彩繪的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選B甲從春、夏、秋、冬四個季節的各6幅彩繪繪制的任務中抽一個季節的6幅彩繪繪制，故甲抽到繪制夏季6幅彩繪的概率為eq\f(1,4)，選B.3．(2019·福建五校第二次聯考)在區間[0,2]上隨機取一個數x，使sineq\f(π,2)x≥eq\f(\r(3),2)的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選A當x∈[0,2]時，0≤eq\f(π,2)x≤π，所以sineq\f(π,2)x≥eq\f(\r(3),2)?eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)x≤eq\f(2π,3)?eq\f(2,3)≤x≤eq\f(4,3).故由幾何概型的概率公式得所求概率P＝eq\f(\f(4,3)－\f(2,3),2)＝eq\f(1,3).故選A.4．甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加“《論語》知識大賽”，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好，但是你倆都沒得到第一名”；對乙說“你當然不會是最差的”，從上述回答分析，丙是第一名的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：選B由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因為所有的限制條件對丙、丁或戊都沒有影響，所以這三個人獲得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是eq\f(1,3).5．《九章算術》是我國古代的數學名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位．現有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內有一塊廣為八步，正從為五步的圭田．若在邪田內隨機種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內的概率為()A.eq\f(2,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(4,15) D.eq\f(1,5)解析：選A由題意可得邪田的面積S＝eq\f(1,2)×(10＋20)×10＝150，圭田的面積S1＝eq\f(1,2)×8×5＝20，則所求的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(20,150)＝eq\f(2,15).6.中華人民共和國國旗是五星紅旗，旗面左上方綴著的五顆黃色五角星，四顆小五角星環拱于大星之后，象征中國共產黨領導下的革命人民大團結和人民對黨的衷心擁護．五角星可通過正五邊形連接對角線得到，且它具有一些優美的特征，如eq\f(A2E2,B1A2)＝eq\f(B1A2,A1B1)＝eq\f(A1B1,B1E1)＝eq\f(\r(5)－1,2)，現在正五邊形A1B1C1D1E1內隨機取一點，則此點取自正五邊形A2B2C2D2E2內部的概率為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))4 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2C.eq\f(\r(5)－1,2) D.eq\f(\r(5)＋1,4)解析：選A由eq\f(A2E2,B1A2)＝eq\f(B1A2,A1B1)＝eq\f(A1B1,B1E1)＝eq\f(\r(5)－1,2)，可得A2E2＝eq\f(\r(5)－1,2)B1A2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2A1B1，顯然兩個正五邊形相似，相似比為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2，則面積比為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))4，故所求概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))4.7．某商店隨機將三幅分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫并排貼在同一面墻上，則角梳與油紙傘的宣傳畫相鄰的概率是________．解析：記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫分別為a，b，c，則并排貼的情況有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6種，其中b，c相鄰的情況有abc，acb，bca，cba，共4種，故由古典概型的概率計算公式，得所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．(2019·長春模擬)從集合A＝{－2，－1,2}中隨機選取一個數記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機選取一個數記為b，則直線ax－y＋b＝0不經過第四象限的概率為________．解析：從集合A，B中隨機選取后，組合成的數對有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9種，要使直線ax－y＋b＝0不經過第四象限，則需a>0，b>0，共有2種滿足，所以所求概率P＝eq\f(2,9).答案：eq\f(2,9)9.(2019·濰坊模擬)如圖，六邊形ABCDEF是一個正六邊形，若在正六邊形內任取一點，則該點恰好在圖中陰影部分的概率是________．解析：設正六邊形的中心為點O，BD與AC交于點G，BC＝1，則BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos120°，得BG＝eq\f(\r(3),3)，所以S△BCG＝eq\f(1,2)×BG×BG×sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)，因為S六邊形ABCDEF＝S△BOC×6＝eq\f(1,2)×1×1×sin60°×6＝eq\f(3\r(3),2)，所以該點恰好在圖中陰影部分的概率是1－eq\f(6S△BCG,S六邊形ABCDEF)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)10．(2019·威海模擬)設甲、乙、丙三個乒乓球協會的運動員人數分別為27,9,18.現采用分層抽樣的方法從這三個協會中抽取6名運動員組隊參加比賽．(1)求應從這三個協會中分別抽取的運動員的人數；(2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽．①用所給編號列出所有可能的結果；②設A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發生的概率．解：(1)應從甲、乙、丙三個協會中抽取的運動員人數分別為3,1,2.(2)①從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．②編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9種．因此，事件A發生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).11.某超市周年慶典，設置了一項互動游戲如圖，一個圓形游戲轉盤被分成6個均勻的扇形區域．用力旋轉轉盤，轉盤停止轉動時，箭頭P所指區域的數字就是每次游戲所得的分數(箭頭指向兩個區域的邊界時重新轉動)，且箭頭P指向每個區域的可能性都是相等的．要求每個家庭派一名兒童和一位成人先后各轉動一次游戲轉盤，記為(a，b)，一個家庭總得分X＝a＋b，假設兒童和成人的得分互不影響，且每個家庭只能參加一次活動，游戲規定：①若X>8，則該家庭可以獲得一等獎一份；②若X＝8，則該家庭可以獲得二等獎一份；③若0<X<8(ab≠0)，則該家庭可以獲得紀念獎一份．(1)求一個家庭獲得紀念獎的概率；(2)試比較同一個家庭獲得一等獎和二等獎的概率的大?。猓?1)由題意可知，一個家庭的得分情況共有36種，獲得紀念獎的情況為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，共有19種．記事件A＝“一個家庭獲得紀念獎”，則P(A)＝eq\f(19,36).