5.3 (1)xy'y y2x2yyy，則y u ，于 x01。令 x uxduudx，積分得uxu21u21Cxyy2x2u2yyy則y5.3 (1)xy'y y2x2yyy，則y u ，于 x01。令 x uxduudx，積分得uxu21u21Cxyy2x2u2yyy則y u ，于 x01。令 x， uxduuxu21Cyxu21y2x2u2 y2x2yx yyyy解 . y u，于是u ulnu xdx，積分得lnu1Cx，即lny1 x（3）x2y2dxxydyy1x 1y .令 ，則y u ，于是u 解：。yx ududx，積分得u2lnx2Cy2x2lnx2Cx2.（4）x3y3dx3xy2dyy1x 1 y.令 yxu, u 解：。 y3x 3u2du3Cx2yCx 2x1 3（5）2xy3ycosydx3xydyxxx2siny3ycosyuyxu,dyux y1x 1 y.令 yxu, u 解：。 y3x 3u2du3Cx2yCx 2x1 3（5）2xy3ycosydx3xydyxxx2siny3ycosyuyxu,dyux x解：令，則，于是yx2sinu3ucos2，積分得sinuCx3，即2Cx3uxyx。3costan xxx（6）12eydx2eydyyx 2ey12euuxuxyu,dxuydu，于是uy。 1xy12ex1du ，積分得yu2euCx2yeyuy（7）y' 4x2y1解：令4x2y1u，則42dy 4 u22uu2lnu2xC（8）2x3y'y2x2y24x2y12ln4x2y12xyy 2u y解 . u，則y u ，于是u 。2x21xC， xy（9）xy'yx xyyy解 . u，則y u ，于是u utanu yCx.dx，積分得sinuCx，即 （10）xy'x2y2y,xy y解 1 . u則y 1xC， xy（9）xy'yx xyyy解 . u，則y u ，于是u utanu yCx.dx，積分得sinuCx，即 （10）xy'x2y2y,xy y解 1 . u則y u 于是u u1u2xxx，積分得arcsinulnxC，即arcsinylnxx1（11）xy1yx2y' yxu解 ，令yx2u， 1 ,于是 oududx yx 積分得u22xC，即yx222xy（12）y'2xy1YXy2xxY2XY2得Yy 得做，xy1 yY XYu2 1 1u2duu1u2，則YuX uou是，Y ，積分得Xln2arctanuC，即ln2arctan Xy22arctany2xy'1lnxyxx xxyxXxXXx3Yy得得，yXX1YXX，則YuX 于u令。lnY Xln1u1u1ln1uuXy'1lnxyxx xxyxXxXXx3Yy得得，yXX1YXX，則YuX 于u令。lnY Xln1u1u1ln1uuXdu1 1，， 得ln1uXC，即lnxylnlnxy1ln1ulnln1u1xXxxx2yxy2 .vdy2xx xvvy2v v.令u則v u x xxx1u 1xu2u1于是u 。，積分得即 112u 2y42xy2x2y(15)y'. yv 4xyv. u，x. yv，解：4vx 4u22uvxu, ，于是u x。 4ux32y2x3u33u2C （1）y23x2dy2xydx0,2ydy.令yuyxudyuxduuxdu解：。y 3x3x32y2x3u33u2C （1）y23x2dy2xydx0,2ydy.令yuyxudyuxduuxdu解：。y 3x3x 3u2uxyCyx代入初始條件得C1 C，u23 y3y2（2）y'xy, y1解 . u，則y u ，于是u u 。udu y xu2lnx2y2x2lnx2Cy2x2lnx2（3）x22xyy2dxy22xyx2dy0,yy1 12uy 解 . u則y u 于是u 。y 12uxy1 x12uu21u x1u2C，即xyCy2x2代入初始條件 x1uu2C1xyx2 設有連接點O0,0和A1,1的一段向上凸的曲線弧上任一點P曲線弧與直線段OP所圍圖形的面積為x2，求曲線弧解 ，求導得xy'y4x,dyyy x，則2 x0yxu,dyuxduuxduu4du4dxu4曲線弧與直線段OP所圍圖形的面積為x2，求曲線弧解 ，求導得xy'y4x,dyyy x，則2 x0yxu,dyuxduuxduu4du4dxu4lnxCxy4xlnxCx代入初始條件得C1yx4xln (1)2x5y3dx2x4y6dy2x5y3xXx解：求2x4y6得yo做變Yy得25YX 2x5y32XX24u，則YuX,于 u 2x4y 2XX24ududu2X34u1u22Cu，， 227u 4yx32xy32（2）xy1dx4yx1dyxy1xx4yx1yY解：解得變換得1 xyX,令Yu，則YuX,于 u X14 4yx XXX14u，du1X，積lnX214u2arctan2uC，u 11lnx124y2arctan2x（3）3y7x7dx7y3x3dy3y7x7xXx7y3x3yY解：求得o做變換得73YXdY7x3y77XX3y7x7xXx7y3x3yY解：求得o做變換得73YXdY7x3y77XX u。 7y3x 3X37