高考數學必勝秘訣在哪?

一一概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

十四、高考數學選擇題的解題策略

數學選擇題在當今高考試卷中，不但題目多，而且占分比例高，即使今年江蘇試題的題

量發生了一些變化，選擇題山原來的12題改為10題，但其分值仍占到試卷總分的三分之一。

數學選擇題具有概括性強，知識覆蓋面廣，小巧靈活，且有一定的綜合性和深度等特點，考

生能否迅速、準確、全面、簡捷地解好選擇題，成為高考成功的關鍵。

解答選擇題的基本策略是準確、迅速。準確是解答選擇題的先決條件，選擇題不設中間

分，一步失誤，造成錯選，全題無分，所以應仔細審題、深入分析、正確推演、謹防疏漏，

確保準確；迅速是贏得時間獲取高分的必要條件，對于選擇題的答題時間，應該控制在不超

過40分鐘左右，速度越快越好，高考要求每道選擇題在1?3分鐘內解完，要避免“超時失

分”現象的發生。

高考中的數學選擇題?般是容易題或中檔題，個別題屬于較難題，當中的大多數題的解

答可用特殊的方法快速選擇。解選擇題的基本思想是既要看到各類常規題的解題思想，但更

應看到選擇題的特殊性，數學選擇題的四個選擇支中有且僅有一個是正確的，因而，在解答

時應該突出一個“選”字，盡量減少書寫解題過程，要充分利用題干和選擇支兩方面提供的

信息，依據題目的具體特點，靈活、巧妙、快速地選擇解法，以便快速智取，這是解選擇題

的基本策略。

(-)數學選擇題的解題方法

1、直接法：就是從題設條件出發，通過正確的運算、推理或判斷，直接得出結論再與

選擇支對照，從而作出選擇的一種方法。運用此種方法解題需要扎實的數學基礎。

例1、某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經過3次射擊，此人至少有2次擊中目標

的概率為()

嗜125唱

解析：某人每次射中的概率為0.6,3次射擊至少射中兩次屬獨立重復實驗。

故選A?

例2、有三個命題：①垂直于同一個平面的兩條直線平行；②過平面a的一條斜線/有

且僅有一個平面與a垂直；③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直。

其中正確命題的個數為()

A.0B.1C.2D.3

解析：利用立幾中有關垂直的判定與性質定理對上述三個命題作出判斷，易得都是正確

的，故選D。

22

例3、已知口、F2是橢圓器+三=1的兩焦點，經點F2的的直線交橢圓于點A、B,

若IABI=5,則lAFil+IBFil等于()

A.11B.10C.9D.16

解析：由橢圓的定義可得IAF1l+IAF2l=2a=8,IBF1l+IBF2l=2a=8,兩式相加后將

IABI=5=IAF2l+IBF引代入,得IAF|I+IBF|I=11,故選A。

例4、已知丁=108“(2-。》)在［0,1］上是》的減函數，則a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.［2,+°0)

解析：；a>0,：.yi=2-ax是減函數，；y=log”(2-ax)在［0,1］上是減函數。

.\a>l,且2-a>0,：.l<a<2,故選B。

2、特例法：就是運用滿足題設條件的某些特殊數值、特殊位置、特殊關系、特殊圖形、

特殊數列、特殊函數等對各選擇支進行檢驗或推理，利用問題在某一特殊情況下不真，則它

在一般情況下也不真的原理，由此判明選項真偽的方法。用特例法解選擇題時，特例取得愈

簡單、愈特殊愈好。

(1)特殊值

例5、若sina>tana>cota(-----<a<一),則ae()

42

解析：因-工<￡<巳，取a=一三代入sina>tana>cota,滿足條件式，則排除A、

426

C、D,故選B。

例6、一個等差數列的前n項和為48,前2n項和為60,則它的前3n項和為()

A.-24B.84C.72D.36

解析：結論中不含n,故本題結論的正確性與n取值無關，可對n取特殊值，如n=l,

此時a】=48,a2=S2-Si=12,a=a+2d=-24,所以前3n項和為36,故選D。

(2)特殊函數31

例7、如果奇函數f(x)是［3,7］上是增函數且最小值為5,那么f(x)在區間［-7,-3］

上是()

A.增函數且最小值為一5B.減函數且最小值是一5

C.增函數且最大值為一5D.減函數且最大值是一5

解析：構造特殊函數f(x)=9x,雖然滿足題設條件，并易知f(x)在區間［―7,—3］上是

3

增函數，且最大值為f(-3)=-5,故選C。

例8、定義在R上的奇函數f(x)為減函數，設a+bWO,給出下列不等式：?f(a),f(—a)

W0；②f(b)?f(—b)》0；③f(a)+f(b)Wf(—a)+f(—b)；④f(a)+f(b)與f(—a)+f(—b)。其中正確的

不等式序號是()

A.①②④B.①④C.②④D.①③

解析：取f(x)=-X,逐項檢查可知①④正確。故選B。

(3)特殊數列

例9、已知等差數列｛4｝滿足4+%+…+a⑹=0,則有()

A、a]+am>0B、a2+aW2<0C、=0D、a5]=51

解析：取滿足題意的特殊數列％=0,則。3+29=0,故選C。

(4)特殊位置

例10、過？=。/(.〉0)的焦點/7作直線交拋物線與尸、Q兩點，若尸產與尸。的長

分別是p、q,則,+'=

()

pq

A、2QB、—C^4。D、一

2aa

解析：考慮特殊位置PQJ_OP時，12尸1=1/。1=」-,所以'+,=2。+2a=4。，

2apq

故選Co

例H、向高為”的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深〃的函數關系的圖象

如右圖所示，那么水瓶的形狀是()

o1H

2

H\

解析：取力=—,由圖象可知，此時注水量V大于容器容積的一，故選B。

22

(5)特殊點

解析：由函數/(x)=2+0),可令x=0,得y=2；令x=4,得y=4,則特殊點(2,0)

及(4,4)都應在反函數「(X)的圖像上,觀察得A、C。又因反函數小(X)的定義域為｛x\x>2],

故選C。

(6)特殊方程

ZV

例13、雙曲線b?x2-a2y2=a2b2(a>b>0)的漸近線夾角為a，離心率為e,則cos^贊()

211

A.eB.eC.—D.——

解析：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個關系式，故可用特殊方程來考察。

丫22/c9

取雙曲線方程為L——=1,易得離心率e=1？,cosnt=2,故選C。

4122V5

(7)特殊模型

例14、如果實數x,y滿足等式(x—2尸+y2=3,那么上的最大值是()

X

1RV3

A.-走D.V3

23c2

解析：題中2可寫成上二°。聯想數學模型：過兩點的直線的斜率公式k="二X

XX-0x2-%!

可將問題看成圓(x-2尸+y2=3上的點與坐標原點0連線的斜率的最大值，即得D。

3、圖解法：就是利用函數圖像或數學結果的幾何意義，將數的問題(如解方程、解不等

式、求最值，求取值范圍等)與某些圖形結合起來，利用直觀幾性,

再輔以簡單計算，確定正確答案的方法。這種解法貫穿數形結合思

想，每年高考均有很多選擇題(也有填空題、解答題)都可以用數形

結合思想解決，既簡捷又迅速。

例15、已知a、B都是第二象限角，且cosa>cosB,則()

A.a<pB.sina>sinB

C.tana>tan3D.cota<cotP

解析：在第二象限角內通過余弦函數線8$。>(：058找出&、

B的終邊位置關系，再作出判斷，得B。

例16、已知￡、B均為單位向量，它們的夾角為

60。，那么I1+331=()

A.V7B.V10C.V13D.4

解析：如圖，a+3b=OB,在AOAB中，

?.?I/1=1,1而1=3,NOAB=120；?.由余弦定理得Ia+3b\=IOBI=店，故選C。

例17、已知｛a“｝是等差數列，a產-9,S3=s,那么使其前n項和S“最小的門是()

3

解析：等差數列的前n項和SF4nZ+g-d)!!可表示S“[

為過原點的拋物線，又本題中ai=-9<0,SFS>可表示如圖，???/>

由圖可知，"g2=5,是拋物線的對稱軸，所以n=5是拋n

物線的對稱軸，所以n=5時S.最小，故選B。|：

4、驗證法：就是將選擇支中給出的答案或其特殊值，代入題干逐一去驗證是否滿足題

設條件，然后選擇符合題設條件的選擇支的?種方法。在運用驗證法解題時，若能據題意確

定代入順序，則能較大提高解題速度。

例18、計算機常用的卜六進制是逢16進1的計數制，采用數字0—9和字母A-F共16

個1?數符號，這些符號與十進制的數的對應關系如下表：

十六進制0123456789ABCDEF

十進制0123456789101112131415

例如：用十六進制表示E+D=1B,則AXB=()

A.6EB.72C.5FD.BO

解析：采用代入檢驗法，AXB用十進制數表示為1X11=110,而

6E用十進制數表示為6X16+14=110；72用十進制數表示為7X16+2=114

5F用十進制數表示為5X16+15=105；B0用十進制數表示為11X16+0=176,故選A。

例19、方程x+lgx=3的解/w()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+°0)

解析：若xe(0,l),則lgx<0,則x+lgx<l；若xe(l,2),則0<lgx<l,則

1<x+lgx<3；若xw(2,3),則0<lgx<l,則2<x+lgx<4；若x>3,lgx〉0,則

x+lgx>3,故選C。

5、篩選法(也叫排除法、淘汰法)：就是充分運用選擇題中單選題的特征，即有且只有

一個正確選擇支這一信息，從選擇支入手，根據題設條件與各選擇支的關系，通過分析、推

理、計算、判斷，對選擇支進行篩選，將其中與題設相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正

確結論的方法。使用篩選法的前提是“答案唯一”，即四個選項中有且只有一個答案正確。

例20、若x為三角形中的最小內角，則函數y=sinx+cosx的值域是()

解析：因x為三角形中的最小內角，故X€(0,§]，由此可得y=sinx+cosx>l,排除B,C,D,

故應選A。

例21、原市話費費為每3分鐘0.18元，現調整為前3分鐘資費為0.22元，超過3分鐘

的，每分鐘按0.11元計算，與調整前相比，一次通話提價的百分率()

A.不會提局70%B.會高于70%,但不會高于90%

C.不會低于10%D.高于30%,但低于100%

解析：取x=4,y="言泮JOO%七一8.3%片除C、D；取x=30,y=頭號產JOO%

七77.2%,排除A,故選B。

例22、給定四條曲線：①/+>2=?,②工+”=1,③￡+21=1,④上+),2=1,

294-44-

其中與直線x+y-6=0僅有一個交點的曲線是()

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

解析：分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合

4

條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和

22

曲線上+匯=1是相交的，因為直線上的點（石,0）在橢圓內，對照選項故選D。

94

6、分析法：就是對有關概念進行全面、正確、深刻的理解或對有關信息提取、分析和

加工后而作出判斷和選擇的方法。

（1）特征分析法——根據題目所提供的信息，如數值特征、結構特征、位置特征等，

進行快速推理，迅速作出判斷的方法，稱為特征分析法。

例23、如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線

表示它們有網線相聯，連線標的數字表示該段網線單位時個W

間內可以通過的最大信息量，現從結點A向結點B傳送信幺=

息，信息可以分開沿不同的路線同時傳送，則單位時間內82r>4

傳遞的最大信息量為（）

A.26B.24C.20D.19

解析：題設中數字所標最大通信量是限制條件，每一支

要以最小值來計算，否則無法同忖傳送，則總數為3+4+6+6=19,故選D。

例24、設球的半徑為R,P、Q是球面上北緯60°圈上的兩點，這兩點在緯度圈上的劣

弧的長是變，則這兩點的球面距離是（）

2

叵兀R

A、柩R、

2

解析：因緯線弧長A球面距離》直線距離，排除A、B、D,故選C。

例25、已知sin6=U—-,cos^=-―—(―<^<^),則tan—等于()

m+57?2+522

C、-----D、I-----I5-U、J

9—fTl9-7773

解析：由于受條件sin?。+cos?。=1的制約，故m為一確定的值，于是sin。,cos。的值

應與m的值無關，進而推知tang的值與m無關，又工,故

224222

選D。

（2）邏輯分析法——通過對四個選擇支之間的邏輯關系的分析，達到否定謬誤支，選

出正確支的方法，稱為邏輯分析法。

例26、設a,b是滿足ab<0的實數，那么（）

A.Ia+bl>la-blB.Ia+bl<la_blC.Ia-bl<lal—IblD.la—bl<lal+lbl

解析：YA,B是一對矛盾命題，故必有一真，從而排除錯誤支C,Do又由ab<0,可

令a=l,b=-1,代入知B為真，故選B。

例27、A45C的三邊滿足等式acosA+bcos8=ccosC,則此三角形必是（）

A、以。為斜邊的直角三角形B、以方為斜邊的直角三角形

C、等邊三角形D、其它三角形

解析：在題設條件中的等式是關于a,A與b,8的對稱式，因此選項在A、B為等價命題

都被淘汰，若選項C正確，則有=即1=',從而C被淘汰，故選D。

2222

7、估算法：就是把復雜問題轉化為較簡單的問題，求出答案的近似值，或把有關數值

擴大或縮小，從而對運算結果確定出一個范圍或作出一個估計，進而作出判斷的方法。

例28、農民收入由工資性收入和其它收入兩部分構成。03年某地區農民人均收入為

3150元（其中工資源共享性收入為1800元，其它收入為1350元），預計該地區自04年起

的5年內，農民的工資源共享性收入將以每年的年增長率增長，其它性收入每年增加160

元。根據以上數據，08年該地區人均收入介于（）

（A）4200元~4400元（B）4400元~4460元

5

(C)4460元~4800元(D)4800元~5000元

解析：08年農民工次性人均收入為：1800(1+0.06)5a1800(1+C；x0.06+*0.062

=1800(1+0.3+0.036)=1800x1.336?2405

又08年農民其它人均收入為1350+160x5=2150

故08年農民人均總收入約為2405+2150=4555(元)。故選B。

說明：1、解選擇題的方法很多，上面僅列舉了幾種常用的方法，這里由于限于篇幅，

其它方法不再一一舉例。需要指出的是對于有些題在解的過程中可以把上面的多種方法結合

起來進行解題，會使題目求解過程簡單化。

2、對于選擇題一定要小題小做，小題巧做，切忌小題大做。“不擇手段，多快好省”是

解選擇題的基本宗旨。

(-)選擇題的幾種特色運算

1、借助結論——速算

例29、棱長都為行的四面體的四個頂點在同球面匕則此球的表面積為()

A、2)7lB、4%C、3VD、6萬

解析：借助立體幾何的兩個熟知的結論：(1)一個正方體可以內接一個正四面體；(2)

若正方體的頂點都在一個球面上，則正方體的對角線就是球的直徑。可以快速算出球的半徑

R=,從而求出球的表面積為3萬，故選A。

2

2、借用選項——驗算

3x+y>12,

2x+9y>36,

例30、若x,y滿足《，則吏得2=3了+2)，的值最小的(乂)，)是)

2x+3y>24,

x>0,y>0,

A、(4.5,3)B、(3,6)C、(9,2)D、(6,4)

解析：把各選項分別代入條件驗算，易知B項滿足條件，且z=3x+2y的值最小，故

選Bo

3、極限思想——不算

例31、正四棱錐相鄰側面所成的二面角的平面角為a,側面與底面所成的二面角的平

面角為￡，貝112(：0$。+￡!0$26的值是()

3

A、1B、2C、-1D、-

2

解析：當正四棱錐的高無限增大時，a-90°,4-90°,則

2cosa+cos2夕->2cos900+cos180°=-1.故選Co

4、平幾輔助——巧算

例32、在坐標平面內，與點A(1,2)距離為1,且與點B(3,1)距離為2的直線

共有()

A、1條B、2條C、3條D、4條

解析：選項暗示我們，只要判斷出直線的條數就行，無須具體求出直線方程。以A(l,

2)為圓心，1為半徑作圓A,以B(3,1)為圓心，2為半徑作圓B。由平面幾何知識易知,

滿足題意的直線是兩圓的公切線，而兩圓的位置關系是相交，只有兩條公切線。故選B。

5、活用定義——活算

例33、若橢圓經過原點，且焦點日(1,0),F2(3,0),則其離心率為()

6

解析：利用橢圓的定義可得2a=4,2c=2,故離心率e=￡=L故選C。

a2

6、整體思想——設而不算

23

例34、若(2x+Ji)’=&-i-a1x+a2x+a3x+%/,貝+a2+%)2-(q+?)2

的值為()

A、1B、-1C、0D、2

解析：二項式中含有似乎增加了計算量和難度，但如果設

44

。0+q+〃2+。3+。4=a=(2+y/3),a0-al+a2-a3+a4=h=(2-V3),則待求式

子=ab=[(2+J5)(2—Ji)]'=1。故選A。

7、大膽取舍一估算

例35、如圖，在多面體ABCDFE中，已知面ABCD是邊長

3_

為3的正方形，EF〃AB,EF=一，EF與面ABCD的距離為2,

2

則該多面體的體積為()

9=八,15

A、—B、5C6D、—

22

=；S"CD-〃=；X3X3X2=6,而%BCDEF

解析：依題意可計算匕-"6>%-ABCD

6,故選D。

8、發現隱含——少算

例36、y=H+2與》2+2_=1交于A、B兩點，且火成+左以二？，則直線AB的方

程為()

A、2x-3y-4=0B、2x+3y-4=0

C、3x+2_y—4-0D、3x—2y—4—0

解析：解此題具有很大的迷惑性，注意題目隱含直線AB的方程就是y=H+2,它過

定點(0,2),用C項滿足。故選C。

9、利用常識----免計算

例37、我向儲蓄存款采取實名制并征收利息稅，利息稅由各銀行儲蓄點代扣代收。某

人在2001年9月存入人民幣1萬元，存期一年，年利率為2.25%,到期時凈得本金和利息

共計10180元，則利息稅的稅率是()

A、8%B、20%C、32%D、80%

解析：生活常識告訴我們利息稅的稅率是20%。故選B。

(三)選擇題中的隱含信息之挖掘

1、挖掘“詞眼”

例38、過曲線5:》=3%-尤3上一點42,一2)的切線方程為()

A>y=-2B、y=2

C^9x+y-16=0D、9/+y-16=0或y=-2

錯解：y/(x)=-3x2+3,//(2)=-9,從而以A點為切點的切線的斜率為-9,即所

求切線方程為9x+y—16=0.故選C。

剖析：上述錯誤在于把“過點A的切線”當成了“在點A處的切線”，事實上當點A

為切點時，所求的切線方程為9x+y-16=0,而當A點不是切點時，所求的切線方程為

y=—2.故選D。

2、挖掘背景

7

例39、已知a為常數，且/(x+a)=匕△。，則函數/(x)必有一周

1-/W

期為()

A、2aB、3。C、4。D^5a

分析：由于tan(x+2)="tan?,從而函數/(%)的一個背景為正切函數tanx,取

41-tanx

TT

a=-,可得必有一周期為4a。故選C。

4

3、挖掘范圍

例40、設tana、tan夕是方程V+3gx+4=0的兩根，且

/7T71.八/TC兀、ft+、1/、

￡€(—',]),夕則a+月的值為()

A、----B、—C、一或----D、——或——

333333

錯解：易得tan(a+/3)=V3,又aG(一?—,—),f)G(—―,-),a+/w(—匹萬)，從而

a+/?=工或—2二故選C。

33

剖析：事實上，上述解法是錯誤的，它沒有發現題中的隱含范圍。山韋達定理知

tana+tan"<0,tanatan/?>0,故tana<0,月.tan￡<0從而

TTTT2乃

a￡(一萬，0),￡￡(一耳，0),故a+，=—^-?故選A。

4、挖掘偽裝

例41、若函數/(x)=logK/—〃x+3)(a>0且qw1),滿足對任意的王、x2,當

為<々<￡時，/(占)—/(々)>0，則實數。的取值范圍為()

A、(0,1)U(l,3)B、(1,3)

C、(0,1)U(1,273)D、(1,2V3)

分析：“對任意的X|、X2,當王<X2?]時，/(^)-/(%2)>0"實質上就是“函數

單調遞減”的“偽裝”，同時還隱含了“/(x)有意義”。事實上由于g(x)=/-ax+3在x4卷

a>1,

時遞減，從而Ja由此得a的取值范圍為(1,26)。故選D。

g(5)>0.

5、挖掘特殊化

例42、不等式Cf<CT'的解集是()

A、。B、｛大于3的正整數｝C、｛4,5,6｝D、｛4,4.5,5,5.5,6｝

分析：四個選項中只有答案D含有分數，這是何故？宜引起高度警覺，事實上，將x

值取4.5代入驗證，不等式成立，這說明正確選項正是D,而無需繁瑣地解不等式。

6、挖掘修飾語

例43、在紀念中國人民抗日戰爭勝利六十周年的集會上，兩校各派3名代表，校際間

輪流發言，對II本侵略者所犯下的滔天罪行進行控訴，對中國人民抗“斗爭中的英勇事跡進

行贊頌，那么不同的發言順序共有()

A、72種B、36種C、144種D、108種

8

分析：去掉題中的修飾語，本題的實質就是學生所熟悉的這樣一個題目：三男三女站

成一排，男女相間而站，問有多少種站法？因而易得本題答案為2A；A：=72種。故選A。

7、挖掘思想

例44、方程2x—/=*的正根個數為（）

X

A、0B、1C、2D、3

分析：本題學生很容易去分母得2/一/=2,然后解方程，不易實現目標。

事實上，只要利用數形結合的思想，分別畫出y=2x-x2,y=W的圖象，容易發現在

X

第一象限沒有交點。故選A。

8、挖掘數據

例45、定義函數y=/（x）,xe。，若存在常數C,對任意的王€。，存在唯一的

x2eZ）,使得:（*）；/（%）=C,則稱函數/（x）在D上的均值為C?已知

/（x）=lgx,xe[10,100],則函數/（x）=lgx在xe[10,100]上的均值為（）

分析：/（"/⑵:嗎切工,從而對任意的西w[10,100],存在唯一的

x2e[10,100],使得為常數。充分利用題中給出的常數10,100。令

X1X2=10x100=1000,當x,e[10,100]時，x2=^^e[l0,100],由此得

。=里狂&2=3.故選A。

22

（四）選擇題解題的常見失誤

1、審題不慎

例46、設集合M=｛直線｝,P=｛圓｝,則集合MAP中的元素的個數為（）

A、0B、1C、2D、0或1或2

誤解：因為直線與圓的位置關系有三種，即交點的個數為0或1或2個，所以MAP

中的元素的個數為。或1或2。故選D。

剖析：本題的失誤是由于審題不慎引起的，誤認為集合M,P就是直線與圓，從而錯

用直線與圓的位置關系解題。實際上，M,P表示元素分別為直線和圓的兩個集合，它們沒

有公共元素。故選A。

2、忽視隱含條件

例47、若sin2x、sinx分別是sin夕與cos。的等差中項和等比中項，則cos2x的值為

1+V331-V331±V331-V2

A、-----------B、-------C、-------D、------

8884

誤解：依題意有2sin2x=sin。+cos。，①sin2x=sin^cos^②

由①2-②x2得，4cos22x-cos2x-2=0,解得cos2x=士。故選C。

8

剖析：本題失誤的主要原因是忽視了三角函數的有界性這?隱含條件。事實上，由

sin?x=sin6cos6,#cos2x=1-sin20>0,所以^一立^不合題意。故選A。

8

3、概念不清

9

例48、已知乙：2工+加），-2=0,/2：機x+2y-l=0,且乙，/2，則m的值為（）

A、2B、1C、0D、不存在

2—1TI

誤解：由得勺七=一1.，——（——）=一1，方程無解，m不存在。故選D。

m2

剖析：本題的失誤是由概念不清引起的，即乙，。，則占電=-1，是以兩直線的斜率

都存在為前提的。若一直線的斜率不存在，另一直線的斜率為0,則兩直線也垂直。當m=0

時，顯然有LU2；若加#0時，由前面的解法知m不存在。故選C。

4、忽略特殊性

例49、已知定點A（1,1）和直線/:x+y—2=0,則到定點A的距離與到定直線/的

距離相等的點的軌跡是（）

A、橢圓B、雙曲線C、拋物線D、直線

誤解：山拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線。故選C。

剖析：本題的失誤在于忽略了A點的特殊性，即A點落在直線/上。故選D。

5、思維定勢

例50、如圖1,在正方體AG中盛

滿水，E、F、G分別為A|B|、BB|、BC,

的中點。若三個小孔分別位于E、F、G

三點處，則正方體中的水最多會剩下原體

積的（）

誤解：設平面EFG與平面CDDQi交于MN,則平面EFMN左邊的體積即為所求，由三

棱柱B|EF—QNM的體積為1匕：方體，故選Bo

剖析：在圖2中的三棱錐ABCD中，若三個小孔E、F、G分別位于所在校的中點處，

則在截面EFG下面的部分就是盛水最多的。本題的失誤在于受圖2的思維定勢，即過三個

小孔的平面為截面時分成的兩部分中，較大部分即為所求。事實上，在圖1中，取截面BEG

時，小孔F在此截面的上方，％,_曄=^丫正方體，故選A。

6、轉化不等價_______

例51、函數y=x+Jx：—=2（十>0）的值域為（）

A、（一8,0）U（0,+℃）B、[a,+oo）C,（-oo,0]D>[-a,0）U[?,+℃）

r2+〃2

誤解：要求原函數的值域可轉化為求反函數的定義域。因為反函數/T（X）=,

2x

所以XHO,故選A。

剖析：本題的失誤在于轉化不等價。事實上，在求反函數時，由正",兩

22

邊平方得（y-x）2=——。2,這樣的轉化不等價，應加上條件yNX,即）后）’+也,進

2y

而解得，y>a^-a<y<0,故選D0

io

易錯點分析

【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。

例1、設4={工日2—8x+15=0},B={xlax-l=O},若4口8=8，求實數a組成的集

合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件AnB=B易知8=A,由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易

忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產生漏解現象。

解析：集合A化簡得A={3,5},由4n3=B知8=A故（1）當8時，即方程ax-l=O無

解，此時a=o符合已知條件（H）當8/。時，即方程ax-l=O的解為3或5,代入得或工。

綜上滿足條件的a組成的集合為故其子集共有23=8個。

【知識點歸類點拔】（1）在應用條件AUB=BOAnB=A=A￡B時;要樹才.起分類討論的數學思想,

將集合A是空集中的情況優先進行討論.

（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元索的限制。

有時需要進行檢驗求解的結果是滿足集合中元素的這個性質，此外，解題過程中要注意集合語言（數學語

言）和自然語言之間的轉化如：A={（x,y）lf+y2=4卜

8={（x,）'）l（x—3）?+（y—4『=產},其中廠＞0,若AD8=0求r的取值范圍。將集合所表達

的數學語言向自然語言進行轉化就是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以（3,4）

為圓心，以r為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內含時，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利

用兩圓的位置關系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應用。

集合A={xIx?+4x=0}BIx2+2（a+l）x+a2-1=O|.若8=

則實學a的取值范圍是_=工'a￡-l

［【易錯點2】求解函數值域或單調區間易忽視定義域優先的原則。

例2、已知（x+2『+匕=1,求苫2+y2的取值范圍

4

【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關于X的函數最值求解，但極易忽略X、

/\2V2

y滿足（x+2）+亍=1這個條件中的兩個變量的約束關系而造成定義域范圍的擴大。

22

解析：由于（X+2）2+?=1得（X+2）2=1-\WI,???-3WXWT從而x2+y2=-3x2-16x-12二

11

28228282228

+—因此當x=T