導(dǎo)數(shù)與微分3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.2函數(shù)的求導(dǎo)法則3.3高階導(dǎo)數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.4函數(shù)的微分

3.1導(dǎo)數(shù)的概念

3.1.1問(wèn)題的提出

1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)M從點(diǎn)O開(kāi)始做變速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)T秒到達(dá)點(diǎn)P，求該質(zhì)點(diǎn)在t0∈［0,T］時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

我們建立如圖3.1.1所示的坐標(biāo)系，用s表示質(zhì)點(diǎn)的位移，那么很明顯，s是與時(shí)間t相關(guān)的，也就是說(shuō)位移s是時(shí)間t的函數(shù)，記做s=s(t).

圖3.1.1

(1)假設(shè)在t0時(shí)刻后又產(chǎn)生了一個(gè)微小的時(shí)間增加Δt，即時(shí)間從t0變化到t0+Δt，相應(yīng)地，質(zhì)點(diǎn)的位置也從M0變化到了M1，于是就產(chǎn)生了位移增量

Δs=M1－M0=s(t0+Δt)－s(t0)

這一步稱為求增量；

(2)為了求得［t0,t0+Δt］這一時(shí)間段內(nèi)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的平均速度，我們用Δs除以Δt，即

這一步稱為求增量比；

(3)為了求得t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，我們可以讓時(shí)間的間隔Δt越來(lái)越小，這樣M1就和M0越靠越近，而這一段上的平均速度v也就和t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v0越靠越近.于是，當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度的極限就是瞬時(shí)速度，即

2.曲線切線的斜率問(wèn)題

假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像如圖3.1.2所示，當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)值y=y0，即圖中M0點(diǎn)的位置.當(dāng)自變量發(fā)生了一個(gè)小的增量，即從x0變化到x0+Δx時(shí)，點(diǎn)的位置變化到了M，這樣M0M就成為了該函數(shù)的一條割線，同時(shí)也產(chǎn)生了函數(shù)值的增Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，于是這條割線的斜率圖3.1.2為了求得f(x)的圖像在x0處的切線，我們讓M點(diǎn)沿著曲線向M0移動(dòng).隨著點(diǎn)的移動(dòng)，M0M這條割線也越來(lái)越趨近于M0這點(diǎn)的切線.而點(diǎn)M的移動(dòng)反映在自變量的變化上則是使Δx越來(lái)越趨近于0.于是當(dāng)Δx→0時(shí)，割線的極限就是切線.同時(shí)，割線的斜率就變成了切線的斜率.于是若M0點(diǎn)切線的斜率為K，則3.1.2導(dǎo)數(shù)的定義

定義3.1.1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx（點(diǎn)x0+Δx仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地,函數(shù)y也取得增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)；如果當(dāng)Δx→0時(shí),Δy與Δx之比的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記做即如果上式的極限存在，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)；反之，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).除了以上的定義形式外，函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)還有其他的表示方法，比如用h代替自變量增量Δx，即得

而如果令x=x0+Δx，那么Δx→0就意味著x→x0，于是可得例3.1.1求函數(shù)f(x)=C的導(dǎo)數(shù)，其中C為常數(shù).即(C)′=0例3.1.2設(shè)函數(shù)f(x)=sinx，求(sinx)′及解即(sinx)′=cosx所以例3.1.4求函數(shù)y=x3的導(dǎo)數(shù).

解即(x3)′=3x23.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義

1.幾何意義

例3.1.5

求等邊雙曲線處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程.

解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線斜率為

即4x+y－4=0

所求法線方程為即2x－8y+15=03.1.4單側(cè)導(dǎo)數(shù)

下面給出左、右導(dǎo)數(shù)具體的定義.

左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù):定理3.1.1（導(dǎo)數(shù)存在的充要條件）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)f′－

(x0)和右導(dǎo)數(shù)f′+(x0)都存在且相等.

由于有了左、右導(dǎo)數(shù)的概念，我們就可以將函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)

間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)推廣到函數(shù)在閉區(qū)間可導(dǎo)，即如果f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f′+(a)及f′－(b)都存在，就說(shuō)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上可導(dǎo).對(duì)于左、右導(dǎo)數(shù)而言，經(jīng)常用其討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，即設(shè)函數(shù)討論其在點(diǎn)x0處的可導(dǎo)性，步驟如下：如果存在存在且則f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f′(x0)=a.例3.1.6討論函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的可導(dǎo)性.

解因?yàn)槔?.1.7設(shè)函數(shù)問(wèn)a取何值時(shí)，f(x)為可導(dǎo)函數(shù)?解只需討論在x=0處f(x)為可導(dǎo)時(shí)a的取值情況.

在x=0處，因?yàn)?.1.5可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理3.1.2

可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).

這就意味著，只要函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處是可導(dǎo)的，那么它在x0處一定是連續(xù)的.但是需要注意，這個(gè)定理的逆定理不成立，即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的，卻不一定在x0處是可導(dǎo)的.例3.1.8討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解因?yàn)槭怯薪绾瘮?shù)，所以

又因?yàn)椋詅(x)在x=0處連續(xù).但在x=0處有所以f(x)在x=0處不可導(dǎo).

3.2函數(shù)的求導(dǎo)法則

3.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

定理3.2.1

如果函數(shù)u(x)、v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且

(1)［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)；

(2)［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；

(3)（v(x)≠0）.例3.2.1求y=x3－2x2+sinx的導(dǎo)數(shù).

解

例3.2.2求的導(dǎo)數(shù).

解例3.2.3求y=sin2x·lnx的導(dǎo)數(shù).

解因?yàn)閥=2sinx·cosx·lnx，所以例3.2.4求y=tanx的導(dǎo)數(shù).

解即(tanx)′=sec2x

同理可得

(cotx)′=－csc2x例3.2.5求y=secx的導(dǎo)數(shù).

解同理可得(cscx)′=－cscxcotx例3.2.6求y=sinhx的導(dǎo)數(shù).

解同理可得

(coshx)′=sinhx例3.2.7設(shè)求f′(x).

解當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)=1.

當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，所以f′(0)=1,故例3.2.8求曲線y=2x－x3上與x軸平行的切線方程.

解

y′=2－3x2，令y′=0

2－3x2=0,解得,于是切點(diǎn)為,所以切線方程為和例3.2.9(經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù))某產(chǎn)品在生產(chǎn)8到20件的情況下，其生產(chǎn)x件的成本與銷售x件的收入分別為

C(x)=x3－2x2+12x(元)與R(x)=x3－3x2+10x(元)

某工廠目前每天生產(chǎn)10件，試問(wèn)每天多生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為多少？每天多銷售一件產(chǎn)品獲得的收入為多少？解在每天生產(chǎn)10件的基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)一件的成本大約

為C′(10)：C′(10)=272(元)即多生產(chǎn)一件的附加成本為272元.邊際收入為R′(10)=250(元)即多銷售一件產(chǎn)品而增加的收入為250元.3.2.2反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定理3.2.2如果函數(shù)x=φ(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)且φ′(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo)，且有.

這個(gè)定理告訴我們，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例3.2.10求函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).

解因?yàn)閤=siny在內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，且(siny)′=cosy>0，所以在Ix∈(－1,1)內(nèi)，有同理可得，，3.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理3.2.3如果函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，而y=f(u)在點(diǎn)u0=φ(x0)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為即因變量對(duì)自變量求導(dǎo)，等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)(鏈?zhǔn)椒▌t).推廣設(shè)y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，則復(fù)合函數(shù)

y=f{φ［ψ(x)］}的導(dǎo)數(shù)為例3.2.12求函數(shù)y=lnsinx的導(dǎo)數(shù).

解因?yàn)閥=lnu，u=sinx，所以例3.2.13求函數(shù)y=(x2+1)10的導(dǎo)數(shù).

解例3.2.14求函數(shù)解例3.2.15求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解例3.2.16求導(dǎo)數(shù).

解

3.3高階導(dǎo)數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3.3.1高階導(dǎo)數(shù)

我們把函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)稱做f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記做其中由此又可以推導(dǎo)出函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)定義3.3.1設(shè)函數(shù)f(x)存在n－1階導(dǎo)數(shù)，并且n－1階導(dǎo)數(shù)也是可導(dǎo)的，那么把f(n－1)(x)的導(dǎo)數(shù)稱做函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記做

f(n)(x)或y(n)

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)數(shù)記做f″(x)，三階導(dǎo)數(shù)記做f″(x)，三階以上的高階導(dǎo)數(shù)均記做f(n)(x).

例3.3.1設(shè)y=arctanx，求。

解因?yàn)樗岳?.3.2證明：函數(shù)滿足關(guān)系式y(tǒng)3y″+1=0.

證因?yàn)?/p>

例3.3.3

求由方程xy－ex+ey=0所確定的y的導(dǎo)數(shù)

對(duì)于這樣的問(wèn)題，我們可以使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接對(duì)方程兩邊的自變量求導(dǎo).

解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，即解得由原方程知，x=0時(shí)，y=0.

所以

3.4函數(shù)的微分

3.4.1問(wèn)題的提出

第一個(gè)問(wèn)題:假設(shè)一個(gè)正方形金屬薄片受熱后，邊長(zhǎng)由

x0變到x0+Δx(圖3.4.1)，那么它的面積改變了多少？

因?yàn)檎叫蔚拿娣e為

A=x02

所以

ΔA=(x0+Δx)2－x20=2x0·Δx+(Δx)2

圖3.4.13.4.2微分的定義

定義3.4.1

設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，

x0及

x0+Δx在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=A·Δx+o(Δx)

成立（其中A是與Δx無(wú)關(guān)的常數(shù)，而o(Δx)是比Δx高階的無(wú)窮小），則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微，并稱A·Δx為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記做定理3.4.1函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微的充分必要條件是函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且A=f′(x0).

上面討論的是函數(shù)f(x)在一點(diǎn)處的可微性.如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)都是可微的，我們就稱f(x)是這個(gè)區(qū)間上的可微函數(shù)，并且把f(x)在任意點(diǎn)x的微分，稱為函數(shù)的微分，記做

dy

或df(x)

即dy=f′(x)Δx.

例3.4.1求函數(shù)y=x3當(dāng)x=2，Δx=0.02時(shí)的微分.

解先求函數(shù)在任意點(diǎn)x處的微分，即

dy=(x3)′Δx=3x2Δx

再求當(dāng)x=2，Δx=0.02時(shí)函數(shù)的微分，即例3.4.3求函數(shù)的微分.

解因?yàn)?.4.3微分的幾何意義

函數(shù)y=f(x)的圖像如圖3.4.2所示，假定f(x)在點(diǎn)x0處可微，則f′(x0)存在.在x軸上取兩點(diǎn)(x0,0)和(x0+Δx,0)，在曲線上對(duì)應(yīng)的有兩點(diǎn)M(x0,f(x0))和N(x0+Δx,f(x0+Δx)).過(guò)M做平行于x軸的直線，交直線x=x0+Δx與Q；過(guò)M做曲線的切線MT(傾角為α)交NQ于P.圖3.4.23.4.4基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則

例3.4.4設(shè)y=ln(x+ex2)，求dy.

解因?yàn)槔?.4.5設(shè)y=e1－3xcosx，求dy.

解應(yīng)用積的微分法則，得

dy=cosx·d(e1－3x)+e1－3x·d(cosx)

又因?yàn)?/p>

(e1－3x)′=－3e1－3x，(cosx)′=－sinx

所以

dy=cosx·(－3e1－3x)dx+e1－3x·(－sinx)dx

=－e1－3x(3cosx+sinx)dx例3.4.8求由方程exy=2x