第二章條件概率與獨立性§2.1條件概率例2.1.1擲一枚骰子，觀察其出現的點數，設事件A為“出現點數2”，事件B為“出現的點數為偶數”.現在求已知事件B發生的條件下事件A發生的概率.定義2.1.1

設A，B是兩個事件，且，稱

（2.1.1）為事件B發生的條件下事件A發生的條件概率.不難驗證，條件概率符合概率定義中的三個條件，即（1）對于每一事件A，有；（2）（3）設A1，A2，…是兩兩不相容的事件，則有例2.1.2

現有形狀為圓形和方形產品共150件，正品135件.已知方形產品90件，其中正品80件.圓形產品60件，其中正品55件.現從中任取一件，發現是圓形的，問這件產品是正品的概率是多少.例2.1.3

某種動物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率0.56，求現年為20歲的這種動物活到25歲的概率.§2.2乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式定理2.2.1（乘法公式）設A，B為兩個隨機事件，則

(2.2.1)例2.2.1

一批零件共100件，其中有10件次品，每次從中任取一件，取出的零件不放回，求第3次才取到合格品的概率.*例2.2.2(口袋問題——一種傳染病模型)設口袋中有只黑球及只紅球，隨機取出一只，把原球放回并加入與取出球同色的球只，再取第二次，這樣下去共取次.問前面的次出現黑球，后面次出現紅球的概率是多少？定義2.2.1

設為隨機試驗E的樣本空間，B1，B2，…Bn為E的一組事件，若（1），；（2），則稱B1，B2，…Bn為樣本空間的一個劃分（或完備事件組）.定理2.2.2

（全概率公式）設B1，B2，…，Bn是隨機試驗E的樣本空間的一個劃分，且P(Bi)>0，i=1，2，…n，A是E的任一事件，則

（2.2.3）例2.2.3

一工廠有甲、乙、丙三個車間，生產同一種電子元件，每個車間的產量分別占總產量的20%，30%，50%.如果每個車間成品的次品率分別為6%，3%，2%.現任意從全廠生產的元件中抽取一件，求它恰為次品的概率.例2.2.4

設有甲、乙兩袋，甲袋中裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有N只白球，M只紅球.今從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球.問取到白球的概率是多少.例2.2.5某工廠生產的產品以100件為一批，假定每一批產品中的次品數最多不超過4件，且有如下的概率：現進行抽樣檢驗，從每批中隨機取出10件來檢驗，如果發現其中有次品，則認為該批產品不合格.求一批產品通過檢驗的概率.一批產品中的次品數

01234概率

0.10.20.40.20.1定理2.2.3

（貝葉斯公式）設B1,B2，…Bn是隨機試驗E的樣本空間的一個劃分，且，A是E的任一事件，則

（2.2.4）（2.2.4）式稱為貝葉斯公式，貝葉斯公式也稱為逆概率公式.例2.2.6

發報機分別以概率0.7和0.3發出信號0和1.由于通信系統受到干擾，當發出信號0時，接收機不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信號0和1；同樣地，當發報機發出信號1時，接收機以概率0.9和0.1收到信號1和0.當接收機收到信號0時，求發報機確實發出信號0的概率？例2.2.7

設某一工廠有A，B，C三個車間生產同一型號的螺釘，每個車間的產量分別為占該廠螺釘總產量的25%，35%，40%，每個車間成品中的次品分別為各車間產量的5%，4%，2%，如果從全廠總產品中抽取一件產品螺釘為次品，問它最可能是哪個車間生產的？§2.3獨立性2.3.1事件的獨立性定義2.3.1

設A、B為兩事件，若滿足等式，則稱事件A與事件B相互獨立.定理2.3.1設A、B是兩事件，且，若A、B相互獨立，則，反之亦然.定理2.3.2若A與B獨立，則下列各對事件：，，也相互獨立.定義2.3.2

設A、B、C為三個事件，若滿足等式

（2.3.1）

（2.3.2）則稱A、B、C為相互獨立的事件，若滿足（6）式則稱A、B、C是兩兩獨立的.一般地，設A1，A2，…，An是n個事件，如果對于任意k(1<k≤，任意1≤i1≤i2≤…≤ik≤，成立，則稱A1，A2，…，An為相互獨立的事件.多個事件相互獨立時，具有以下性質：（1）若事件A1，A2，…，An相互獨立，則其中任意k(1<k≤個事件也相互獨立.（2）若n個事件A1，A2，…，An相互獨立，則將A1，A2，…，An中任意個事件換成它們的逆事件，所得的n個事件仍相互獨立.例2.3.1

加工某一零件共需四道工序，設第一，二，三，四道工序的次品率分別是2%，3%，5%，3%，假設各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率？例2.3.2

甲、乙、丙三門炮向一艘敵射擊，設擊中的概率分別是0.4，0.5，0.7.如果只有一門炮擊中，則敵船被擊沉的概率為0.2；如果有兩門炮擊中，則敵船被擊沉的概率為0.6；如果三門炮都擊中，則敵船一定被擊沉.求敵船被擊沉的概率.2.3.2試驗的獨立性定義2.3.2

設{Ei}（i=1，2，…）是一系列隨機試驗，Ei的樣本空間為i

，設Ak是Ek中任一事件，，如果Ak發生的概率不依賴于其它各次試驗的試驗結果，則稱{Ei}是一個獨立試驗序列.例2.3.3

從1,2,…,10共10個數字中任取一個，取后還原，連取k次，獨立進行，于是得到k個隨機數字，試求事件：“此k個數字中最大者是m”的概率.

下面我們來介紹伯努利(Bernoulli)概型.設隨機試驗只有兩種可能的結果：事件A發生或事件A不發生(即發生)，則稱這樣的試驗為伯努利試驗.

將伯努利試驗在相同條件下獨立地重復進行n次，稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗，或簡稱為伯努利概型.定理2.3.3（伯努利定理）設在一次試驗中，事件A發生的概率為,則在n重伯努利試驗中，事件A恰好發生k次的概率為（2.3.3）其中q=1-p例2.3.3

假設人在每個月出生是等可能的，求8個學生中恰有2人出生于元月的概率.例2.3.4

設在家畜中感染某種疾病的概率為0.3，新發現一種血清可能對預防此病有效，為此對20只健康動物注射了這種血清，若注射后只有一只動物受感染，應對此種血清的作用做何評價？補充例題例2.3.5

五個鬮,其中兩個鬮內寫著“有”字,三個鬮內不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?例2.3.6

設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，