第07講第一章集合與常用邏輯用語、不等式、復數（綜合測試）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2023·全國·深圳中學校聯考模擬預測）設復數（其中i為虛數單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】方法一：，所以方法二：由復數的性質可知故選：A2．（2023秋·福建漳州·高一統考期末）已知集合則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為,所以，故選:A.3．（2023秋·重慶·高一校聯考期末）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解:由題知,則有成立,解得.故選:B4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）已知集合，集合，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為，易知圖中陰影部分對應的集合為且，選項D正確，故選：D5．（2022秋·新疆·高一烏魯木齊市第70中校考期中）已知，且，若有解，則實數的取值范圍時（

）A．，， B．，，C． D．，【答案】A【詳解】因為、，且，，當且僅當且，即時取等號，此時取得最小值9，若有解，則，解得或，即實數的取值范圍為，，．故選：．6．（2022秋·山西陽泉·高三統考期末）已知復數，則復數z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，故虛部為，故選：A7．（2022·全國·高一期末）不等式的解集為，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】關于的不等式的解集為.當時，即當時，則有恒成立，符合題意；②當時，則有，解得，綜上所述，實數的取值范圍是.故選：B.8．（2023·全國·高三專題練習）對于集合A，B，我們把集合記作．例如，，，，則，．現已知，集合A，B是M的子集，若，，則內元素最多有（

）個A．20個 B．25個 C．50個 D．75個【答案】B【詳解】設集合A中元素個數為m，集合B中元素個數為n，A，B是M的子集，若，，即，則．所以．當且僅當時取等號即內元素最多有25個，故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023秋·青海西寧·高一統考期末）若“”為真命題，“”為假命題，則集合M可以是（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】由題意為真命題，為真命題，則應滿足選項為集合的子集，且滿足，AD選項均滿足，B選項當時不符合，故錯誤，C選項不存在，故錯誤.故選：AD10．（2023·福建漳州·統考二模）已知復數z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】，，，，，故選：BD11．（2023春·廣東東莞·高一校考階段練習）已知正數x，y滿足，則下列結論正確的是（

）A．的最大值是1 B．的最小值是4C．的最大值是 D．的最小值是1【答案】AC【詳解】正數x，y滿足.對于A：，所以.（當且僅當時“=”成立）.所以的最大值是1.故A正確；對于B：因為，所以，所以，所以（當且僅當時“=”成立）.故B錯誤；對于C：因為正數x，y滿足，所以，其中，所以，所以當時，的最大值是.故C正確；對于D：因為正數x，y滿足，所以，所以（當且僅當，即時“=”成立）.故D錯誤.故選：AC12．（2022秋·浙江溫州·高一甌海中學校考階段練習）設表示不超過的最大整數，如：，，又稱為取整函數，在現實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數”進行計費，以下關于“取整函數”的描述，正確的是（

）A．，B．，若，則C．，D．不等式的解集為或【答案】BCD【詳解】對于A，，則，故，故A不成立.對于B，，則，故，所以，故B成立.對于C，設，其中，則，，若，則，，故；若，則，，故，故C成立.對于D，由不等式可得或，故或，故D正確.故選：BCD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·云南大理·高一統考期末）若“不等式成立”的充要條件為“”，則實數的值為______.【答案】【詳解】解不等式得，因為“不等式成立”的充要條件為“”，所以，解得，所以，.故答案為：.14．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龍游中學校聯考期末）德國數學家阿甘得在1806年公布了虛數的圖像表示法，形成由各點都對應復數的“復平面”，后來又稱“阿甘得平面”.高斯在1831年，用實數組代表復數，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也像實數一樣的“代數化”.若復數滿足，則復數的模是______________.【答案】【詳解】，，則其模為，故答案為：.15．（2023秋·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期末）定義：實數a，b，c，若滿足，則稱a，b，c是等差的，若滿足，則稱a，b，c是調和的．已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是調和的，稱集合P為“好集”，則集合P為“好集”的個數是__________．【答案】1010【詳解】由好集的定義得且，則有，化簡得，故或，由得，故，，∴，且.∵，∴且，得，故集合P為“好集”的個數為.故答案為：101016．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）若，且，則的最小值為___________，的最大值為___________．【答案】

25

##0.0625【詳解】①由，可知，，所以，所以，當且僅當時，等號成立，故的最小值為25．②又，當且僅當時，等號成立，所以，故的最大值為．故答案為：25；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023·高一單元測試）已知復數，i為虛數單位．(1)當z是純虛數時，求m的值；(2)當時，求z的模．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）由z是純虛數，有，解得；（2）當時，，所以.18．（2023秋·四川成都·高一統考期末）設集合，．(1)若，求；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）集合，集合，則或，故或.（2）因為，所以，解得.19．（2023秋·山東臨沂·高一統考期末）已知二次函數（為常數），若不等式的解集為且.(1)求；(2)對于任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由的解集為且，知為方程的兩實數根，故，解得，所以.（2）由（1）知，則由，恒成立，得恒成立，由題意得解得，所以k的取值范圍為.20．（2023秋·福建南平·高一統考期末）已知集合.(1)求集合；(2)若集合，且，求實數a的取值范圍.【答案】(1)，，(2)【詳解】（1）等價于，解得，故集合.等價于，解得，故集合.所以.（2）由（1）可得集合，集合，所以.于是，由，且得，解得，即實數a的取值范圍是.21．（2023秋·河北唐山·高一統考期末）某企業投資生產一批新型機器，其中年固定成本為2000萬元，每生產百臺，需另投入生產成本萬元．當年產量不足46百臺時，；當年產量不小于46百臺時，．若每臺設備售價5萬元，通過市場分析，該企業生產的這批機器能全部銷售完．(1)求該企業投資生產這批新型機器的年利潤所（萬元）關于年產量x（百臺）的函數關系式（利潤＝銷售額－成本）；(2)這批新型機器年產量為多少百臺時，該企業所獲利潤最大？并求出最大利潤．【答案】(1)(2)年產量為40百臺時，該企業所獲利潤最大,最大利潤是2800萬元.【詳解】（1）由題意可得∶當時，，當時,所以年利潤y（萬元）關于年產量x（百臺）的函數關系式為：.（2）由（1）得時，，此時（百臺）時，（萬元），當時，，當且僅當，即時等號成立，（萬元），而，故（百臺）時，利潤最大，綜上所述：年產量為40百臺時，該企業所獲利潤最大,最大利潤是2800萬元.22．（2023·高一課時練習）已知二次函數的圖象與軸交于，兩點，頂點為，在中，邊