作業08分式方程及應用

注意事項：

本試卷滿分120分，完成時間90分鐘，試題共25題.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置.

基礎過關（70分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2020?無錫市第一女子中學八年級期中）下列關于x的方程中，屬于分式方程的是（）

-1x+23+x1c-,

A.3x=—B.----='-----C.—=2D.3x—2y=l

254x

【答案】C

【分析】根據分式方程的定義即可求出答案.

1元+23+無

【詳解】A、3%=一是一元一次方程，故不符合題意；B、——=——是一元一次方程，故不符合題意；

254

C、,=2是分式方程，故符合題意；D、3x—2y=l是二元一次方程，故不符合題意；故選C.

X

【點睛】本題考查分式方程，解題的關鍵是熟練運用分式方程的定義，本題屬于基礎題型.

X2x-1

2.（2021?新興縣環城中學九年級期中）解分式方程——=1--5—時，去分母正確的是（）

元+1x—1

A.x(x-1)=l-2x-lB.x(x-1)=1-(2x-l)C.x(x-1)=x2-1-lx-1D.x(x-1)=x2-l-(2x-l)

【答案】D

【分析】分式方程去分母得到結果，即可做出判斷.

【詳解】解：分式方程去分母得：x（x-1）=/-1-（2x-l）.故選：D.

【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.解

分式方程一定注意要驗根.

3.（2020?舞鋼市教育局普通教育研究室期末）“十一”旅游黃金周期間，幾名同學包租一輛面包車前往“紅

螺寺”游玩，面包車的租價為180元，出發時，又增加了2名學生，結果每個同學比原來少分擔3元車費，

原參加游玩的同學為x人，則可得方程（）

180180,180180.180180180180、

A.----.....-3B.----------3C.D.----------3

xx+2x+2xxx-2x-2x

【答案】A

【分析】根據“每個同學比原來少分擔3元車費”列出分式方程即可.

ionion

【解析】解：由題意可得——-----=3故選A.

xx+2

【點睛】此題考查的是分式方程的應用，掌握實際問題中的等量關系是解決此題的關鍵.

4.（2021?廣東深圳市?九年級一模）對于實數4，b,定義一種新運算“③”為：。區6=二萬，這里等式

右邊是通常的實數運算.例如：1區3=看=-則方程》額-1）=一\-1的解是（）

A.x=4B.x=5C.x=6D.x—1

【答案】B

【分析】已知方程利用題中的新定義化簡，計算即可求出解.

【詳解】根據題中的新定義化簡得：工7=二-1，

去分母得：2=6-x+I,解得：x=5,

經檢驗x=5是分式方程的解.故選：B.

【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

5.（2021?全國九年級專題練習）下列分式方程無解的是（）

2312八12ccx2x1

A.---=-B.----=C.---------=0D.----=------+1

x-3xx-1x'_12xx+3x+l3x+3

【答案】B

【分析】解每個分式方程，通過驗根可得結論.

【詳解】解：?.?方程A去分母，得2x=3（x—3）,解得x=9,

當x=9時，x（x—3）#0,所以原方程的解為X=9；

方程B去分母，得f-i=2x-2,解得X=1，

當x=l時，（X-D（X2-I）=O,所以原方程無解；

方程C去分母，得x+3—4x=0,解得x=l,

當x=l時，2X（X+3）H（）,所以原方程的解為X=1；

3

方程D去分母，得3x=2x+3x+3,解得x=一-，

2

33

"Ix=—時，3x+3wO,所以原方理的解為x=—.故選：B.

22

【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練解分式方程，并能驗證方程的根是解題的關鍵.

1+r7

6.（2021?河北唐山市?九年級一模）以下是小明同學解方程——=------1的過程：

x-33-x

解：方程兩邊同時乘以（％-3）,得

1+x——2—（x—3）,第步

即x+x=-2+l+3,第二步

解得，x=l,第三步

檢驗：當x=l時，x-3=l-3x0,

所以原方程的解是x=l.第四步

針對以上解題過程，下列說法正確的是（）

A.從第一步開始有錯B.從第二步開始有錯C.從第三步開始有錯D.完全正確

【答案】B

【分析】根據解分式方程的步驟，去分母，移項，合并同類項，把未知數的系數化為1,再驗根.

本題在第二步移項出錯.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以（彳一3）,得1+%=-2-（％-3）,第一步正確；

即1+%=-2-1+3,第二步原題錯誤，1移項沒有變號；故選B.

【點睛】本題主要考查解分式方程的步驟，熟練掌握解分式方程的方法步驟，是解答本題的關鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

1?

7.（2021?河北石家莊市?九年級一模）龍=-1是方程——=——的解，a的值為.

x-2x-\-a

【答案】-5

【分析】將X=-1代入方程—1一=—2—求出a的值即可.

x—2

【詳解】解：將x=-l代入方程一1=二一得

解得a=-5.故答案為：-5.

【點睛】本題考查了分式方程的解的定義，正確理解分式方程的解得含義是解答本題的關鍵.

8.（2020?南通市東方中學八年級月考）對于兩個不相等的實數a,b,我們規定符號Min{a,。}表示小b

-］—3^\'=匚x5;-2的解為______.

（x-2x-2Jx-2

【答案】x=T

【分析】根據題中的新定義化簡，求出分式方程的解，檢驗即可.

131

【詳解】當二一v——時，%>2,方程變形得：—三一2,

x—2x—2x—2

去分母得：1=%-5-2（%-2）,解得：x=-2（不符合題意，舍去）；

當J3x-5

即犬＜2,方程變形得：——=——-2,

x—2x—2

去分母得：3=%-5-2（x—2）,解得：X=~4,

經檢驗x=T是分式方程的解，綜上，所求方程的解為％=7.故填：x=-4.

【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

9.（2020?浙江嘉興?中考真題）數學家斐波那契編寫的《算經》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人

分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數.設第一

次分錢的人數為x人，則可列方程

10_40

【答案】

xx+6

【分析】根據“第二次每人所得與第一次相同，”列分式方程即可得到結論.

10_4010_40

【解析】解：根據題意得,故答案為:

xx+6xx+6

【點睛】本題主要考查分式方程的實際應用，找出等量關系，列出分式方程，是解題的關鍵.

10.（2021?江蘇九年級專題練習）符號““bab

，”稱為二階行列式，規定它的運算法則為：,=ad-bc,

caca

21

請你根據上述規定求出下列等式中x的值.若」1=1,那么x=_.

1—XX—1

【答案】4

【分析】首先根據題意由二階行列式得到一個分式方程，解分式方程即得問題答案.

【詳解】解：；11=1,A—----—=1,

---------x-11-X

1-xX-1

方程兩邊都乘以x-1得：2+I=x-l,解得：X—4,

檢驗：當x=4時，x-1/0,1-x/0,即x=4是分式方程的解，故答案為：4.

【點睛】本題考查分式方程與新定義實數運算的綜合運用，通過觀察所給運算式子歸納出運算規律并得到

分式方程再求解是解題關鍵.

三、解答題(本大題共5小題，共40分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟)

5.(2020?江蘇南通市?八年級月考)解方程：

1-x2736

(1)—2；(2)X2+X+x2-x~x2-1

x—22-x

【答案】(1)尸1：(2)無解.

【分析】(1)兩邊同乘以最簡公分母％-2,即可把分式方程轉化為整式方程，即可求解，再驗根即可.

(1)兩邊同乘以最簡公分母x(x+l)(x-l),即可把分式方程轉化為整式方程，即可求解，再驗根即可.

1-x_2

【詳解】(1)

x—2.2-x

兩邊同乘以x—2得:

1-x=(=-2)(x-2)

x-2

l-x=-2—2x+4

x=l

經檢驗x=l是原方程的根.

,、736

⑵--+--=

X+Xx—Xx—1

兩邊同乘以X。一l)(x+1)得：

7x(x+l)(x-l)3x(x+l)(x-l)6x(x4-l)(x-1)

-----------------1----------------=----------------

x(x+l)x(x-l)(x+l)(x-l)

7(x-l)+3(x+l)=6x

7x-7+3x+3=6x

x=l

經檢驗，當x=l時原等式無意義，所以方程無解.

【點睛】本題考查求解分式方程.把分式方程轉化為整式方程是解題關鍵，且需要注意驗根.

Y-19Y

12.(2021?浙江九年級專題練習)(1)解方程：1——-=-r—;(2)將(1)中的方程等號右邊的

x+3x-9

分子系數改為多少(其他不變)，方程無解？(寫出計算過程，系數不為零)

【答案】(1)x=6：(2)將(1)中的方程等號右邊的分子系數改為8時，方程無解，見解析

【分析】(1)方程兩邊都乘以最簡公分母(x+3)(工-3)化分式方程為整式方程，解整式方程并檢驗可

得；(2)系數改為，”，去分母可得(x+3)(x-3)-(x-1)(A--3)=mx,方程無解即x=3或-3,代

入可得〃?的值，由系數不為零可得，〃的值.

r—12x

【詳解】解：(1)1_=

x+3X2-9

方程兩邊都乘以最簡公分母(x+3)(x-3),得：

(x+3)(x-3)-(x-1)(x-3)—2x,解得：x—6,

經檢驗x=6是原分式方程的解；

(2)將(1)中的方程等號右邊的分子系數改為8時，方程無解，

x-12x

將等號右邊的分子系數改為〃7,得：1-----=--

x+3X2-9

方程兩邊都乘以最簡公分母(x+3)(x-3),得：

(x+3)(x-3)-(x-1)(x-3)=mx,

x2-9-(A2-4A+3)=mx,

x2-9-x2+4x-3=mx,

4x-mr=9+3,

12

x=-----,

4-m

、1212

.??方程無解，,工二？或-3,即-----=3或------=-3,

4-m4-m

解得：m=8或m=()(舍)，故加=8,

所以將(1)中的方程等號右邊的分子系數改為8時，方程無解.

【點睛】本題主要考查解分式方程及分式方程的解，熟練掌握解分式方程是解題的基礎和關鍵，注意不要

忘記檢驗.

13.(2020?湖北嘉魚?期末)我縣正準備實施的某項工程接到甲、乙兩個工程隊的投標書，甲、乙工程隊施

工一天的工程費用分別為2萬元和1.5萬元，縣招投標中心根據甲、乙兩工程隊的投標書測算，應有三種施

工方案：

方案一：甲隊單獨做這項工程剛好如期完成；

方案二：乙隊單獨做這項工程，要比規定日期多5天；

方案三：若甲、乙兩隊合做4天后，余下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完成.

根據以上方案提供的信息，在確保工期不耽誤的情況下，你認為哪種方案最節省工程費用，通過計算說明

理由.

【答案】方案三最節省工程費用，理由見解析.

【分析】設工程如期完成需X天，則甲工程隊單獨完成需X天，乙工程隊單獨完成需（X+5）大，依題意可

列方程，可求x的值，然后分別算出三種方案的價格進行比較即可.

【解析】設工程如期完成需X天，則甲工程隊單獨完成需X天，乙工程隊單獨完成需（X+5）天，依題意可

4x1Ix—4

列方程一+——=1或4（一+——）+——=1解得：x=20

xx+5xx+5x+5

經檢驗x=2（）是方程的根

...工程如期完成需20天，甲工程隊單獨完成需20天，乙工程隊單獨完成需25天，

在工期不耽誤的情況下，可選擇方案一或方案三

若選擇方案一，需工程款2x20=40萬元

若選擇方案三，需工程款2x4+1.5x20=38萬元故選擇方案（3）.

【點睛】本題主要考查分式方程的應用，熟練掌握分式方程的應用是解題的關鍵.

14.（2020?山西忻州?初二期末）閱讀理解，并解決問題.

分式方程的增根:解分式方程時可能會產生增根，原因是什么呢？事實上，解分式方程時產生增根，主要是

在去分母這一步造成的.根據等式的基本性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍

相等.但是，當等式兩邊同乘0時，就會出現0=0的特殊情況.因此，解方程時，方程左右兩邊不能同乘0.

而去分母時會在方程左右兩邊同乘公分母，此時無法知道所乘的公分母的值是否為0,于是，未知數的取值

范圍可能就擴大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值為0,此根即為增根，增根是整式

方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必須驗根.請根據閱讀材料解決問題：

1-r1

（1）若解分式方程——+2=——時產生了增根，這個增根是_____；

x-22-x

7x3

（2）小明認為解分式方程--------z—=0時，不會產生增根，請你直接寫出原因；

x2+l2x2+2

（3）解方程二7+—^=，^

【答案】（1）x=2；（2）見解析；（3）無解

【分析】（1）由題意直接看出即可.（2）找到最簡公分母，判斷最簡公分母的范圍即可.（3）利用分式方程的運算方

法解出即可.

【解析】（1）x=2

（2）?.?原分式方程的最簡公分母為2（/+1）,而2（爐+1）>（）.?.解這個分式方程不會產生增根.

(3)方程兩邊同乘(x-l)(x+l),得2(x+l)+(x-l)=4

解得：x=l經檢驗：當x=l時，（x-l）（x+l）=O所以，原分式方程無解.

【點睛】本題考查分式方程的增根,關鍵在于理解增根的意義.

15.（2021?全國七年級）我們把形如L（n是正整數，n>2）的分數叫做單位分數，如!、

n234

（1）任何一個單位分數都可以拆成兩個不同的單位分數之和，如」=1+4、i=l+—.-=-+—

23634124520

觀察上述式子的規律，回答下面的問題:

①把,寫成兩個單位分數之和：-:②把,（n是正整數，n>2）寫成兩個單位分數之和：-

77nn

③計算當----1---------1--------1—?+x=—n寸，最后一項x=

1x33x55x713

（2）某些單位分數也可以拆成兩個分母是相鄰自然數的單位分數的差，如！=

6231234

1_1則在單位分數4、-、一L中，能按上述要求拆分的有個.

20-45234wo—

11

【答案】(I)①—I；②------4-:(2)9

85671+1143

【分析】（1）①等式右邊第一個分數的分母是等式左邊分母加1,第二個分數的分母是前兩個分母的積,

1

據此可得；②根據（1）①規律求解，即可得到答案；③設x=（2〃_]）（2“+l）’原方程變形為:

2

（1--+---+---+--+—1----------）,然后解分式方程即可求出n的值，從而求出x的值;

335572〃-12〃+113

（2）一個分數，如果分子是1,分母是相鄰的自然數的積，就可以拆成分子是I,分母是相鄰的自然數差

的單位分數的差的分數，據此即可判斷.

【詳解】（1）①根據題意知，,=!+!，故答案為：!+工；

7856856

11111

②根據題意知，一=七+（,八,故答案為：—+/

n71+177+1+

]1111_6

③設x=（2?-l）（2n+l）M+375+5^7+…+（2?-l）（2n+l）-B

111111116

（1---1—----1--,.,+-----）

2335572〃一12〃+113

g（1-二一）=色解得:n=6經檢驗:n=6是原方程的解并符合題意

22〃+113

__________1__________111

-11x13-143假合'案為:

X=（2x6-l）x（2x6+l）143

（2）在單位分數!、-....—匚中，可以拆成兩個分母是相鄰自然數的單位分數的差的分數，其

234100

分母有1x2,2x3,3x4,4x5,5x6,6x7,7x8,8x9,9x10共9個,故答案為：9.

【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是根據已知等式得出等式右邊第一個分數的分母是等

式左邊分母加1,第二個分數的分母是前兩個分母的積的規律.

能力培優（50分）

一、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1—2x+3k.

1.（2020?湖北荊門?中考真題）已知關于x的分式方程-―式+2的解滿足-4<%<一1,

x-2（x-2）（x+3）

且左為整數，則符合條件的所有攵值的乘積為（）

A.正數B.負數C.零D.無法確定

【答案】A

6—k

【分析】先解出關于X的分式方程得到*=——,代入求出k的取值，即可得到k的值，故可

求解.

2x+3k°k—21

【解析】關于x的分式方程-——~~^+2得*=-----，

x-2（x-2）（x+3）7

k-2l

V-4<x<-l/.-4<-----<-1解得-7Vk<14

7

整數k為-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,

乂分式方程中x/2且xr-3*35且k/0

???所有符合條件的k中，含負整數6個，正整數13個，...k值的乘積為正數，故選A.

【點睛】此題主要考查分式方程與不等式綜合，解題的關鍵是熟知分式方程的求解方法.

Xm

2.（2021?浙江八年級期中）若關于x的方程一二-2=—；有增根，則，〃的值為（）

X—1X—1

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】先通過去分母把分式方程化為整式方程，再把增根代入整式方程，求出參數”即可.

【詳解】解：把原方程去分母得：x-2（x-l）=m,

?原分式方程有增根：x=l,.\l-2（l-l）=m,即：m=\,故選B.

【點睛】本題主要考查分式方程增根的意義，理解使分式方程的分母為零的根，是分式方程的增根，是解

題的關鍵.

//7一2

3.（2021?江西宜春市?八年級期末）己知關于》的分式方程——=1的解是正數，則加的取值范圍是（）

x-1

A.m>\B.機2/且機C.m>\D.〃z>l且/WH2

【答案】D

【分析】根據題意，先解方程求出x=m-l,方程的解是一個正數，則m-GO,且當x-l=O時即m-2=0方程無

解，因此得解.

【詳解】解：去分母得：m-2=x-l,移項得:x=m-L

由方程的解是正數得，m-lK）且解得：mNl且n#2,故選擇：D.

【點睛】本題考查的是利用分式方程的解來解決其中的字母的取值范圍問題，一定要考慮到分式方程必須

有意義.

11122

4.（2021?河北石家莊市?八年級期末）關于*的方程］+—=。+一的兩個解為玉=。，尤）=一，元+—=。+—

xaaxa

2333、

的兩個解為尤］x2=—；x-\—=a-\—的兩個解為玉=。，x2=—,則關于x的方程

axaa

犬+」上=。+」上的兩個解為（）

x-\a-\

2a+810a+9

A.X]=Q,X2=—B.X]=Q,X?=----C.玉二Q,X2—----D.X]=Q,/=----

a-a-\a-\a-1

【答案】D

【分析】由于x+26=a+」匕可化為（x—l）+—2=（。-1）+曲，由題中可得規律：方程

x—1a—1x—1a—1

/7HH

元+—=〃+—（其中〃為正整數）的解為芭=Q,9=一，根據這個規律即中得方程的解.

XClCL

…H….1010/八10/八10

【詳解】?XH------U-\------..（X—1）H-----=（6Z-1）H------

x—1。-1x—1。-1

???上述方程有解無一l=a—1及X—1=-即x=a及x="2

a-1a-\

a+9

所以原方程的解為西=a,x2=--故選：D

a-\

【點睛】本題主要考查了一類特殊方程的解，這是一個規律性的問題，要從所給的前面幾個方程的解，歸

納出般性的結論，再所得的?般性結論，求出所給方程的解，體現了由特殊到?般再到特殊的思維過程,

這是數學中常用的方法；這里也用到了整體思想，即要分別把x-1、看成一個整體，才能符合題中所

給方程的結構，否則無法完成.

二、填空題（本大題共3小題，每小題4分，共12分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

5.（2021?江蘇揚州市?八年級期末）若關于X的分式方程也與=!的解大于1,則山的取值范圍是____.

x-23

【答案】加〉（且加。4

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范圍即可.

【詳解】解：去分母得：3（〃?-2x）=x-2,去括號得：3m-6x=x-2,解得：》=加產，

根據題意得：也*>1且絲*X2,解得：加>2且加工4.

773

故答案為：且，〃H4.

3

【點睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

6.(2020?重慶南岸?一模)某快遞公司快遞員甲勻速騎車去距公司6000米的某小區取物件，出發幾分鐘后,

該公司快遞員乙發現甲的手機落在公司，于是立馬勻速騎車去追趕甲，乙出發幾分鐘后，甲也發現自己的

手機落在了公司，立即調頭以原速的2倍原路返回，1分鐘后遇到了乙，乙把手機給甲后，乙以原速的一半

原路返回公司，甲以返回時的速度繼續去小區取物件，剛好在事先預計的時間到達該小區.甲、乙兩人相

距的路程y(米)與甲出發的時間x(分鐘)之間的關系如圖所示(給手機及中途其它耽誤時間忽略不計)，

則甲到小區時，乙距公司的路程是米.

【答案】1500

【分析】甲開始的速度為a(m/min),則甲后來的速度為2a(m/min),根據“剛好在事先預計的時間到達

該小區”，結合函數圖象列出方程，可以分別求得甲乙的速度和甲到達公司的時間，進而求得甲到小區時，

乙距公司的路程.

【解析】設甲開始的速度為a,則甲后來的速度為2“(.mimin'),

中即意可得，9+60Q(8a2a)=您解得,fl=5()Oj

2aa

設乙的速度為6(瘋疝〃)，由甲乙相遇知，

(3000V4,小八

I9-----b+2a*l=(9-l)a.?力=1000,

二甲乙相遇時乙距公司的路程為：(9-)x10()0=300(),

甲到達小區的時間為：如四=12(min),

50

二甲到小區時，乙距公司的路程為：3000-lOOOx—x(12-9)=150()("?),故答案為：1500.

2

【點睛】本題考查了函數圖像的識別，分式方程，根據題目中的等量關系列出正確的方程是本題的關鍵.

°X

7.(2021?江蘇九年級專題練習)已知：①方程x+—=3的兩根為x=l或1=2；②工+―=5的兩根為x=2

XX

12

或x=3；③方程1+一=7兩根為尤=3或%=4….請你根據它們所蘊含的規律，求方程

x

X+七±2=2〃+4,（〃為正整數）的兩根為（用含〃的代數式表示）.

x—3

【答案】x=〃+3或x=〃+4

【分析】根據已知三個方程的解，歸納總結得到規律，將所求方程變形后，利用此規律即可得到方程的解.

【詳解】解：???①x+2=3的解是x=l或x=2；②x+9=5的解是尤=2或x=3；③%+上=7的解

XXX

22

是X=3或X=4,”=2〃+4變形為（x-3）+"+"="+（"+1）Rn（n+1）=n2+n,

x-3x-3

解為*="+3和x=〃+4.故答案為：x=〃+3或x=〃+4.

【點睛】此題考查了分式方程的解，屬于規律型試題，弄清題中的規律是解本題的關鍵.

三、解答題（本大題共3小題，共26分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟）

8.（2021?廣東廣州市?綠翠現代實驗學校八年級期末）在現今“互聯網+”的時代，密碼與我們的生活已經

緊密相連，但諸如“123456”.生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產生一組容易記憶的密碼就

很有必要了.有一種用“因式分解''法產生的密碼，其原理是：將一個多項式分解因式，例如多項式：x3+2x2

-x-2因式分解的結果為（x-1）（x+1）（x+2）,當x=18時，x-1=17,x+l=19,x+2=20,此

時可以得到數字密碼：171920,191720,201719等.

（1）根據上述方法，當x=21,y=7時，對于多項式x3-xy2分解因式后可以形成哪些數字密碼？（只需

寫出其中2個）（2）若多項式x3+（m+n）x?-nx-21因式分解后，利用本題的方法，當x=27時可以

1k

得到其中一個密碼為242834,求m、n的值；（3）若關于x的方程;——-

（X-3）（x+l）(x+l)(x+7)

x+1

無解，求k的值.

X3+5X2-17X-21

33

【答案】(1)212814、281421；(2)m=42,n=l7；(3)——或--或0.

25

【分析】（1）根據因式分解的方法可以將題目中的式子因式分解，從而可以解答本題，注意本題答案不唯一

（2）設/+（機+〃）爐—內—2i=（x+p）（x+q）（x+，），求出p、q、r,根據等號左右兩邊對應相等，可以

求m、n的值；（3）去分母求出方程的解x=9理，據方程無解得到x=-l或3或-7,代入求出k的值即可.

k

【詳解】⑴V-盯2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）,

當x=21,y=7時,x+y=28,x-y=14,.?.可以形成的數字密碼是212814、281421；

(2)設％3+(加+〃)尤2-nx-21=(x+p)(x+q)(x+r)，

?.?當x=27時可以得到其中一個密碼為242834,

27+p=24,27+q=28>27+r=34,解得p=-3,q=1,r=7,

3

x+(m+〃)f一加一21二(X-3)(X+1)(X+7)

?'?A3+(加+n)x2-T?X-21=X34-5X2-17X-21,

ni+n=5fm=-12

…，解得<…；

H=17[n=17

]k_x+1

⑶(尤-3)(x+l)(x+l)(x+7)%3+5x2-17x-21'

去分母得(x+7)-k(x-3)=x+l,解得x=6+皂,

k

]kxl1

二■方程-------------------------=-----------------無解，/?x=-l或3或-7.

(x-3)(x+l)(x+l)(x+7)x3+5x-17x-21

當x=-i時，9±%=—i,解得k=-3,經檢驗是方程的解；

k2

,,6+3k、n-e

當x=3時，-----=3,方程無解；

k

當x=-7時，d逖=-7,解得k=-經檢驗是方程的解；

k5

當k=0時，方程(x+7)-k(x-3)=x+l,無解，則原方程無解；

33

???k的值為一一或?二或0?

25

【點睛】此題考查多項式的分解因式，分式方程的應用，方程組的應用，(2)是難點，讀懂例題中多項式

分解因式的個數仿照解決問題是解題的關鍵.

9.(2021?江西贛州市?八年級期末)解方程：

12

①——=--------1的解為；

元+1尤+1

24

②——=--------1的解為％=；

X+1X+1

③-3-=一g-—1的解為了=；

元+1X+1

48

④——=---------1的解為.

x+1x+1

(1)請填空;

（2）請根據發現的規律直接寫出第⑤個方程及該方程的解；

（3）請你用一個含正整數”的式子表示上述規律，并寫出它的解.

【答案】（1）①0;②1;③2；④3；（2）第⑤個方程是一9一=里一1,解為x=4：（3）/一=用--1,

x+lx+lX+1X+1

解為x=〃-l.

【分析】（1）①方程兩邊同時乘以（X+1）,把分式方程轉化為整式方程，再去括號、移項、合并同類項解

題即可：②解法同①；③解法同①；④解法同①；（2）根據規律，找到分式分子及分母的規律解題即可；

（3）根據前兩小題的規律解題即可.

【詳解】解：（I）①方程兩邊都乘以（尤+1）得，1=2-（x+1）,

解這個整式方程得：l=2-x-l:.x=O

經檢驗，x=0是原分式方程的解，故答案為：x=0；

②方程兩邊都乘以（x+1）得，2=4-（x+1）,

解這個整式方程得：2=4—x—l.?.元=1

經檢驗，x=l是原分式方程的解，故答案為：x=l；

③方程兩邊都乘以（x+1）得，3=6-（x+1）,

解這個整式方程得：3=6-x-l/.x=2

經檢驗，x=2是原分式方程的解，故答案為：x=2；

④方程兩邊都乘以（x+1）得，4=8-（x+1）,

解這個整式方程得：4=8-x-l.'.x=3

經檢驗，x=3是原分式方程的解，故答案為：x=3；

（2）根據題意得，第⑤個方程為々=￡-1

x+1X+1

方程兩邊都乘以（X+1）得，5=10-（x+l）,

解這個整式方程得：5=10-x-l.'.x=4

經檢驗，x=4是原分式方程的解，...該方程的解x=4；

in2〃

（3）含正整數〃的式子為：——=------1,

X+1X+1

方程兩邊都乘以（X+1）得，〃=2〃一（％+1）,

解這個整式方程得：n=2n-x—\.\x=n-l

經檢驗，了=〃-1是原分式方程的解，

n9/7

.?.第〃個式子為：-=--1,解為％=〃一1.

%+1%+1

【點睛】本題考查分式方程的解、解分式方程、規律探索等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識

是解題關鍵.

10.（2021?武岡市第二中學八年級月考）閱讀下列材料，關