江蘇省宿遷市沭陽縣2024屆數學高二第二學期期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，則等于（）A． B． C． D．2．甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有（）A．36種 B．48種 C．96種 D．192種3．已知集合P={x|x2-2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，則（?RP）∩Q=（）A． B． C． D．4．在（x－）10的展開式中，的系數是（）A．－27 B．27 C．－9 D．95．某家具廠的原材料費支出與銷售量（單位：萬元）之間有如下數據，根據表中提供的全部數據，用最小二乘法得出與的線性回歸方程為，則為x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．206．設集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，則A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}7．已知變量x,y之間的線性回歸方程為,且變量x,y之間的一組相關數據如表所示,則下列說法錯誤的是()x681012y6m32A．變量x,y之間呈現負相關關系B．可以預測,當x=20時,y=﹣3.7C．m=4D．該回歸直線必過點(9,4)8．已知兩條不同直線a、b，兩個不同平面、，有如下命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則以上命題正確的個數為（）A．3 B．2 C．1 D．09．數列，滿足，，，則數列的前項和為（）．A． B． C． D．10．《九章算術》是人類科學史上應用數學的最早巔峰，書中有這樣一道題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”其譯文是“現有從高到低依次為大夫、不更、簪裹、上造、公士的五個不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次高低分配（即根據爵次高低分配得到的獵物數依次成等差數列），問各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，則大夫所得鹿數為（）A．1只 B．只 C．只 D．2只11．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為A．1 B．2C．3 D．412．設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若（其中i是虛數單位），則實數_____.14．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______種．15．曲線在P（1，1）處的切線方程為_____．16．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區間上的最大值是，則ω＝________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12分）已知函數，．若不等式有解，求實數a的取值范圍；2當時，函數的最小值為3，求實數a的值．19．（12分）已知函數在處取得極大值為9.（1）求，的值；（2）求函數在區間上的最值.20．（12分）為調查某小區居民的“幸福度”．現從所有居民中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數（以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉），若幸福度分數不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“幸福”．（1）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸福”的概率；（2）以這16人的樣本數據來估計整個小區的總體數據,若從該小區（人數很多）任選3人，記表示抽到“幸福”的人數，求的分布列及數學期望和方差．21．（12分）如圖，在中，，點在線段上.過點作交于點，將沿折起到的位置（點與重合），使得.（Ⅰ）求證：.（Ⅱ）試問：當點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程是．（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）設直線與曲線交于，兩點，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】試題分析：集合，,，，故選B.考點：指數函數、對數函數的性質及集合的運算.2、C【解題分析】試題分析：設4門課程分別為1，2，3，4，甲選修2門，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，∴不同的選修方案共有6×4×4=96種，故選C．考點：分步計數原理點評：本題需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一種方案，用列舉法找到相應的組合即可．3、C【解題分析】

先化簡集合A，再求，進而求.【題目詳解】x（x-2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（-∞，0]∪[2，+∞）由題意得，=（0,2），∴，故選C.【題目點撥】本題考查的是有關集合的運算的問題，在解題的過程中，要先化簡集合，明確集合的運算法則，進而求得結果．4、D【解題分析】試題分析：通項Tr＋1＝x10－r（－）r＝（－）rx10－r.令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系數為9考點：二項式定理5、B【解題分析】分析：先求樣本中心，代入方程求解即可。詳解：，，代入方程，解得，故選B點睛：回歸直線方程必過樣本中心。6、D【解題分析】

根據交集定義求解．【題目詳解】由題意A∩B={1,5}．故選D．【題目點撥】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題．7、C【解題分析】

根據回歸直線方程的性質，以及應用，對選項進行逐一分析，即可進行選擇.【題目詳解】對于A：根據b的正負即可判斷正負相關關系.線性回歸方程為，b=﹣0.7<0，故負相關.對于B：當x=20時，代入可得y=﹣3.7對于C：根據表中數據：9.可得4.即，解得：m=5.對于D：由線性回歸方程一定過()，即(9，4).故選：C.【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程的性質，以及回歸直線方程的應用，屬綜合基礎題.8、C【解題分析】

直接利用空間中線線、線面、面面間的位置關系逐一判定即可得答案．【題目詳解】①若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯誤；②若a∥α，b∥α，則a∥b，則a與b平行，相交或異面，故②錯誤；③若，a?α，則a與β沒有公共點，即a∥β，故③正確；④若α∥β，a?α，b?β，則a與b無公共點，∴平行或異面，故④錯誤．∴正確的個數為1．故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查直線與平面之間的位置關系，涉及到線面、面面平行的判定與性質定理，是基礎題．9、D【解題分析】

由題意是數列是等差數列，數列的等比數列，分別求出它們的通項，再利用等比數列前項和公式即可求得.【題目詳解】因為，，所以數列是等差數列，數列的等比數列，因此，，數列的前項和為：.故選：.【題目點撥】本題主要考查的是數列的基本知識，等差數列、等比數列的通項公式以及等比數列的求和公式的應用，是中檔題.10、C【解題分析】

設爵次高低分配得到的獵物數依次成等差數列{an}，則，由前5項和為5求得，進一步求得d，則答案可求．【題目詳解】設爵次高低分配得到的獵物數依次成等差數列{an}，則，則，∴1，則，∴．∴大夫所得鹿數為只．故選：C．【題目點撥】本題考查等差數列的通項公式，考查等差數列的性質，屬于基礎題．11、C【解題分析】分析：根據三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個數.詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，，由勾股定理可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個，故選C.點睛：此題考查三視圖相關知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還原，分析線面、線線垂直關系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、體積等相關問題的求解.12、D【解題分析】D試題分析：根據導數的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案選D．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由可知，根據復數的乘法運算，及復數相等的概念即可求解.【題目詳解】因為所以所以【題目點撥】本題主要考查了復數的乘法運算，復數相等的概念，屬于中檔題.14、【解題分析】

每名旅客都有種選擇，根據分步乘法計數原理可得出五名旅客投宿的方法種數.【題目詳解】由于每名旅客都有種選擇，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有種.故答案為：.【題目點撥】本題考查分步乘法計數原理的應用，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解題分析】因為曲線y=x3，則，故在點（1，1）切線方程的斜率為3，利用點斜式方程可知切線方程為16、【解題分析】

函數f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函數，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函數，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）推導出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，從而BC⊥平面PCD，進而DE⊥BC，由此能證明DE⊥平面PCB.

（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E?DB?P的余弦值.【題目詳解】解：（1）證明：∵在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，

底面ABCD是正方形，PD＝AB，E為PC的中點，

∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，

∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，

∵DE?平面PCD，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB；

（2）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

設PD＝AB＝2，則E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），

，

設平面BDE的法向量，

則，取，得，

設平面BDP的法向量，

則，取，得，

設二面角E?BD?P的平面角為θ.

則.

∴二面角E?BD?P的余弦值為.【題目點撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）．【解題分析】分析：（1）由絕對值的幾何意義知，由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，可得，即可求實數a的取值范圍；（2）當a＜2時，畫出函數的圖像，利用函數f（x）的最小值為3，求實數a的值．詳解：（1）由題，即為．而由絕對值的幾何意義知，由不等式有解，∴，即．實數的取值范圍．（2）函數的零點為和，當時知.

如圖可知在單調遞減，在單調遞增，，得（合題意），即．點睛：這個題目考查了含有絕對值的不等式的解法，絕對值三角不等式的應用，以及函數的最值問題；一般對于解含有多個絕對值的不等式，根據零點分區間，將絕對值去掉，分段解不等式即可.19、(1).(2)函數在區間上的最大值為9，最小值為.【解題分析】分析：（I）首先求解導函數，然后結合，可得.（II）由（I）得，結合導函數研究函數的單調性和最值可知函數在區間上的最大值為9，最小值為.詳解：（I）依題意得，即，解得.經檢驗，上述結果滿足題意.（II）由（I）得，令，得；令，得，的單調遞增區間為和，的單調遞增區間是，，，所以函數在區間上的最大值為9，最小值為.點睛：(1)可導函數y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值．20、（1）；（2）的分布列見解析；數學期望為；方差為【解題分析】

首先由莖葉圖統計出“幸福”的人數和其他人數，再計算概率．由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為，知道在該小區中任選一人該人幸福度為“幸福”的概率為，再計算即可．【題目詳解】(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸福”的人數有12人，其他的有4人；記“從這16人中隨機選取3人，至少有2人是“幸福”，”為事件.由題意得(2)由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為，的可能取值為0,1,2,3,顯然則；；；；所以的分布列為0123【題目點撥】本題考查莖葉圖、樣本估計總體、分布列、數學期望，屬于基礎題．21、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（1）由已知條件，結合線面垂直的判定定理和性質定理，即可得到.（2）過點作，則，，兩兩垂直，以B為坐標原點，以，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.設，應用空間向量，分別求得兩平面的法向量，計算兩平面法向量夾角，證明點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.詳解：證明：（Ⅰ）在中，因為，所以，所以，，又因為，平面，所以平面.又因為平面，所以.（Ⅱ）在平面內，過點作于點，由（Ⅰ）知平面，所以，又因為，平面，所以平面.在平面