2024屆杭州市重點中學數學高二第二學期期末聯考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－82．把一枚骰子連續擲兩次，已知在第一次拋出的是奇數點的情況下，第二次拋出的也是奇數點的概率為（）A． B． C． D．3．設fx=sinxcosA．12 B．32 C．-4．用數學歸納法證明不等式：，則從到時，左邊應添加的項為（）A． B．C． D．5．若函數的定義域為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若,則等于()A．9 B．8 C．7 D．67．的展開式的各項系數之和為3，則該展開式中項的系數為（）A．2 B．8 C． D．-178．定義：復數與的乘積為復數的“旋轉復數”．設復數對應的點在曲線上，則的“旋轉復數”對應的點的軌跡方程為（）．A． B．C． D．9．同時具有性質“①最小正周期是”②圖象關于對稱；③在上是增函數的一個函數可以是（）A． B．C． D．10．某公共汽車上有5名乘客，沿途有4個車站，乘客下車的可能方式（）A．種 B．種 C．種 D．種11．已知函數的導函數為，且滿足關系式，則的值等于（）A． B． C． D．12．已知函數存在零點,則實數的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正項等比數列中，則公比______________.14．如圖①，矩形的邊，直角三角形的邊，，沿把三角形折起，構成四棱錐，使得在平面內的射影落在線段上，如圖②，則這個四棱錐的體積的最大值為__________．15．為了宣傳校園文化，讓更多的學生感受到校園之美，某校學生會組織了6個小隊在校園最具有代表性的3個地點進行視頻拍攝，若每個地點至少有1支小隊拍攝，則不同的分配方法有_____種（用數字作答）16．滿足不等式組的點所圍成的平面圖形的面積為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面積的最大值．18．（12分）已知函數．（1）當a＝3時，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實數a的取值范圍．19．（12分）已知數列的前項和，通項公式，數列的通項公式為.（1）若，求數列的前項和及的值；（2）若，數列的前項和為，求、、的值，根據計算結果猜測關于的表達式，并用數學歸納法加以證明；（3）對任意正整數，若恒成立，求的取值范圍.20．（12分）某大型工廠有臺大型機器，在個月中，臺機器至多出現次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需名工人進行維修．每臺機器出現故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺機器的能力，每臺機器不出現故障或出現故障時有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．（1）若每臺機器在當月不出現故障或出現故障時有工人進行維修，則稱工廠能正常運行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；（2）已知該廠現有名維修工人．（ⅰ）記該廠每月獲利為萬元，求的分布列與數學期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數學期望為決策依據，試問該廠是否應再招聘名維修工人？21．（12分）某研究性學習小組為了調查研究學生玩手機對學習的影響，現抽取了30名學生，得到數據如表：玩手機不玩手機合計學習成績優秀8學習成績不優秀16合計30已知在全部的30人中隨機抽取1人，抽到不玩手機的概率為.（1）請將2×2列聯表補充完整；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學習有影響；（3）現從不玩手機，學習成績優秀的8名學生中任意選取兩人，對他們的學習情況進行全程跟蹤，記甲、乙兩名學生被抽到的人數為X，求X的分布列和數學期望．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．22．（10分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點為棱上一點，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設二面角的平面角為，且，試判斷點的位置．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，則P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.2、C【解題分析】分析：設表示“第一次拋出的是奇數點”，表示“第二次拋出的是奇數點”，利用古典概型概率公式求出的值，由條件概率公式可得結果.詳解：設表示“第一次拋出的是奇數點”，表示“第二次拋出的是奇數點”，，，在第一次拋出的是奇數點的情況下，第二次拋出的也是奇數點的概率為，故選C.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意條件概率計算公式的合理運用，同時注意區分獨立事件同時發生的概率與條件概率的區別與聯系.3、A【解題分析】

曲線在點π6,fπ【題目詳解】∵f∴f【題目點撥】本題考查函數求導及導數的幾何意義，屬于基礎題.4、D【解題分析】

將和式子表示出來，相減得到答案.【題目詳解】時：時：觀察知：應添加的項為答案選D【題目點撥】本題考查了數學歸納法，寫出式子觀察對應項是解題的關鍵.5、C【解題分析】分析：由題得恒成立，再解這個恒成立問題即得解.詳解：由題得恒成立，a=0時，不等式恒成立.a≠0時，由題得綜合得故答案為C.點睛：（1）本題主要考查函數的定義域和二次不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉化能力數形結合思想方法.（2）解答本題恒成立時，一定要討論a=0的情況,因為不一定時一元二次不等式.6、B【解題分析】分析：根據組合數的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意且，，解得，故選B.點睛：本題主要考查了組合數的計算公式的應用，其中熟記組合數的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力.7、D【解題分析】

令得各項系數和，可求得，再由二項式定理求得的系數，注意多項式乘法法則的應用．【題目詳解】令，可得，，在的展開式中的系數為：．故選D．【題目點撥】本題考查二項式定理，在二項展開式中，通過對變量適當的賦值可以求出一些特定的系數，如令可得展開式中所有項的系數和，再令可得展開式中偶數次項系數和與奇數次項系數和的差，兩者結合可得奇數項系數和以及偶數項系數和．8、C【解題分析】

設可得:.因為復數與的乘積為復數的“旋轉復數,可得,的“旋轉復數”對應的點,由坐標變換,即可得的“旋轉復數”對應的點的軌跡方程.【題目詳解】復數對應的點在曲線上設可得:復數與的乘積為復數的“旋轉復數┄①設的“旋轉復數”對應的點可得:即┄②將②代入①得:即:故選:C.【題目點撥】本題考查復數的運算,考查復平面和考查坐標變換,掌握復數與復平面內的點一一對應是解本題的關鍵.9、B【解題分析】

利用所給條件逐條驗證，最小正周期是得出，把②③分別代入選項驗證可得.【題目詳解】把代入A選項可得，符合；把代入B選項可得，符合；把代入C選項可得，不符合，排除C；把代入D選項可得，不符合，排除D；當時，，此時為減函數；當時，，此時為增函數；故選B.【題目點撥】本題主要考查三角函數的圖象和性質，側重考查直觀想象的核心素養.10、D【解題分析】

5名乘客選4個車站，每個乘客都有4種選法．【題目詳解】每個乘客都有4種選法，共有種，選D【題目點撥】每個乘客獨立，且每個乘客都有4種選法11、D【解題分析】

求得函數的導數，然后令，求得的值.【題目詳解】依題意，令得，，故選D.【題目點撥】本小題在導數運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.12、D【解題分析】

函數的零點就是方程的根，根據存在零點與方程根的關系，轉化為兩個函數交點問題，數形結合得到不等式，解得即可．【題目詳解】函數存在零點，等價于方程有解，即有解，令，則，方程等價于與有交點，函數恒過定點（0,0），當時，與圖象恒有交點，排除A，B，C選項；又當時，恰好滿足時，，此時與圖象恒有交點，符合題意；故選：D.【題目點撥】本題考查函數的零點與方程根的關系，此類問題通常將零點問題轉化成函數交點問題，利用數形結合思想、分類討論思想，求參數的范圍，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用等比數列的通項公式，列方程組，即可求出公比.【題目詳解】由正項等比數列中，，得，解得，或（舍去）.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等比數列通項公式的應用，屬于基礎題.14、【解題分析】

設，可得，.，由余弦定理以及同角三角函數的關系得，則，利用配方法可得結果.【題目詳解】因為在矩形內的射影落在線段上，所以平面垂直于平面，因為，所以平面，，同理，設，則，.在中，，，所以，所以四棱錐的體積.因為，所以當，即時，體積取得最大值，最大值為，故答案為.【題目點撥】本題主要考查面面垂直的性質，余弦定理的應用以及錐體的體積公式，考查了配方法求最值，屬于難題.解決立體幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用空間點線面關系和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將立體幾何中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法求解.15、540【解題分析】

首先將6個小隊分成三組，有三種組合，然后再分配，即可求出結果．【題目詳解】（1）若按照進行分配有種方案；（2）若按照進行分配有種方案；（3）若按照進行分配有種方案；由分類加法原理，所以共有種分配方案．【題目點撥】本題主要考查分類加法計數原理，以及排列組合的相關知識應用．易錯點是平均分配有重復，注意消除重復．16、.【解題分析】分析：畫出約束條件表示的可行域，利用微積分基本定理求出可行域的面積．詳解：畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分，由題意不等式組，表示的平面圖形的面積為：．故答案為．點睛：用定積分求平面圖形的面積的步驟：（1）根據已知條件，作出平面圖形的草圖；根據圖形特點，恰當選取計算公式；（2）解方程組求出每兩條曲線的交點，以確定積分的上、下限；（3）具體計算定積分，求出圖形的面積．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理將邊化角和誘導公式可化簡邊角關系式，求得，根據可求得結果；（2）利用余弦定理得到，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得面積的最大值.【題目詳解】（1）由正弦定理可得：即：，即（2）由余弦定理可知：又（當且僅當時取等號）即的最大值為：【題目點撥】本題考查解三角形的相關知識，涉及到利用正弦定理化簡邊角關系式、余弦定理的應用、三角形面積最值的求解等知識；化簡邊角關系式的關鍵是能夠根據邊齊次的特點，利用正弦定理將邊角關系式轉化為三角恒等變換的化簡問題.18、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由a＝3可得，去絕對值，分類討論解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由題意可得有解，運用絕對值不等式的性質可得此不等式左邊的最小值，解a的不等式可得所求范圍．【題目詳解】（1）當a＝3時，即為，等價于或或，解得或或，則原不等式的解集為；（2）不等式的解集非空等價于有解．由，（當且僅當時取得等號），所以，解得，故a的取值范圍是．【題目點撥】本題考查分類討論解絕對值不等式以及不等式能成立求參數的問題，考查學生分類討論的思想，是一道容易題.19、（1），；（2），，，；證明見解析（3）.【解題分析】

（1）根據等比數列的求和公式和極限的定義即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表達式，再根據數學歸納法的證題步驟進行證明。（3）問題轉化為，對于任意正整數恒成立，設，利用導數求出函數的最值即可求出的范圍。【題目詳解】，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：當時，成立；：假設時成立，則，那么當時，即時，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，則，即，對于任意正整數恒成立，設，，令，解得，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，，，，，，，【題目點撥】本題考查了等比數列的求和公式、取極限、數學歸納法、導數求函數的最值，綜合性比較強；在求參數的取值范圍時可采用“分離參數法”，構造新函數，研究函數的最值。20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不應該.【解題分析】

（1）根據相互獨立事件的概率公式計算出事故機器不超過臺的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其對應的概率，得出的分布列和數學期望；（ⅱ）求出有名維修工人時的工廠利潤，得出結論．【題目詳解】解：（1）因為該工廠只有名維修工人，故要使工廠正常運行，最多只有臺大型機器出現故障．∴該工廠正常運行的概率為：．（2）（i）的可能取值有，，，．∴的分布列為：X3144P∴．（ⅱ）若工廠再招聘一名維修工人，則工廠一定能正常運行，工廠所獲利潤為萬元，因為，∴該廠不應該再招聘名維修工人．【題目點撥】本題考查了相互獨立事件的概率計算，離散型隨機變量的分布列與數學期望計算，屬于中檔題．21、（1）填表見解析（2）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學習有影響（3）見解析【解題分析】

（1）由題意30人中，不玩手機的人數為10，由題意能將2×2列聯表補充完整．（2）求出K210＞7.879，從而能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為玩手機對學習有影響．（3）由題意得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【題目詳解】（1）由題意30人中，不玩手機