福建省長汀、連城一中等六校2024屆數學高二第二學期期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數列中，已知，則的值為（）A． B． C． D．2．若,則()A． B． C． D．3．1+x-x210A．10 B．30 C．45 D．2104．如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（）A．34 B．55 C．78 D．895．已知等差數列中，，，則（）A． B． C． D．6．某校為了解本校高三學生學習的心理狀態，采用系統抽樣方法從人中抽取人參加某種測試，為此將他們隨機編號為，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為，抽到的人中，編號落在區間的人做試卷，編號落在的人做試卷，其余的人做試卷，則做試卷的人數為()A． B． C． D．7．用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，應假設（）A．方程沒有實根B．方程至多有一個實根C．方程至多有兩個實根D．方程恰好有兩個實根8．（）A．9 B．12 C．15 D．39．某中學在高二下學期開設四門數學選修課，分別為《數學史選講》.《球面上的幾何》.《對稱與群》.《矩陣與變換》．現有甲.乙.丙.丁四位同學從這四門選修課程中選修一門，且這四位同學選修的課程互不相同，下面關于他們選課的一些信息：①甲同學和丙同學均不選《球面上的幾何》，也不選《對稱與群》：②乙同學不選《對稱與群》，也不選《數學史選講》：③如果甲同學不選《數學史選講》，那么丁同學就不選《對稱與群》．若這些信息都是正確的，則丙同學選修的課程是（）A．《數學史選講》 B．《球面上的幾何》 C．《對稱與群》 D．《矩陣與變換》10．已知函數f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個不同的正整數解，則實數m的取值范圍（）A． B．C． D．11．設，，，則下列正確的是A． B． C． D．12．已知面積為的等腰內接于拋物線，為坐標原點，，為拋物線的焦點，點.若是拋物線上的動點，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數列中,,通過計算的值,可猜想出這個數列的通項公式為14．先后擲骰子（骰子的六個面上分別標有、、、、、個點）兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點數分別為,,設事件為“為偶數”，事件為“,中有偶數且”，則概率等于_________.15．已知雙曲線的兩條漸近線分別與拋物線的準線交于A，B兩點．O為坐標原點．若△OAB的面積為2，則的值為_______.16．隨機變量的概率分布為，其中是常數，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢.（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢？18．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，直線的參數方程為：（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線與曲線交于，兩點.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點的極坐標為，求的面積.19．（12分）質檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產的12個零件質量進行檢測．甲、乙兩個車間的零件質量（單位：克）分布的莖葉圖如圖所示．零件質量不超過20克的為合格．（1）質檢部門從甲車間8個零件中隨機抽取4件進行檢測，若至少2件合格，檢測即可通過，若至少3件合格，檢測即為良好，求甲車間在這次檢測通過的條件下，獲得檢測良好的概率；（2）若從甲、乙兩車間12個零件中隨機抽取2個零件，用X表示乙車間的零件個數，求X的分布列與數學期望．20．（12分）在直角坐標系中，傾斜角為的直線經過坐標原點，曲線的參數方程為（為參數）.以點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求與的極坐標方程；（2）設與的交點為、，與的交點為、，且，求值.21．（12分）在棱長為的正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.22．（10分）如圖，是圓錐的頂點，是底面圓的一條直徑，是一條半徑.且，已知該圓錐的側面展開圖是一個面積為的半圓面.（1）求該圓錐的體積：（2）求異面直線與所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據數列是等比數列得到公比，再由數列的通項公式得到結果.【題目詳解】因為數列是等比數列，故得到進而得到，則故答案為：D.【題目點撥】這個題目考查了等比數列的通項的求法，是簡單題.2、D【解題分析】

由于兩個對數值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對數換底公式，將不等式等價變形為以10為底的對數不等式，利用對數函數的單調性比較m、n的大小即可【題目詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴lgn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．【題目點撥】本題考查了對數函數的圖象和性質，對數的運算法則及其換底公式的應用，利用圖象和性質比較大小的方法3、B【解題分析】1+x-x210=（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10

的展開式的通項公式為C10rC10-rkx210-r-k-1k4、B【解題分析】試題分析：由題意，①②③④⑤⑥⑦⑧，從而輸出，故選B.考點：1.程序框圖的應用.5、C【解題分析】分析：根據等差數列的通項公式，可求得首項和公差，然后可求出值。詳解：數列為等差數列，，，所以由等差數列通項公式得，解方程組得所以所以選C點睛：本題考查了等差數列的概念和通項公式的應用，屬于簡單題。6、B【解題分析】，由題意可得抽到的號碼構成以為首項，以為公差的等差數列，且此等差數列的通項公式為，落入區間的人做問卷，由，即，解得，再由為正整數可得，做問卷的人數為，故選B.7、A【解題分析】分析：直接利用命題的否定寫出假設即可,至少的反面是一個都沒有。詳解：用反證法證明命題“若，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是方程沒有實根．故選：A．點晴：本題主要考察反證法，注意反證法證明問題時，反設實際是命題的否定8、A【解題分析】分析：直接利用排列組合的公式計算.詳解：由題得.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查排列組合的計算，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平和基本的運算能力.(2)排列數公式：==(，∈，且)．組合數公式：===(∈，，且)9、D【解題分析】

列舉出所有選擇可能，然后根據三個信息，確定正確的選項.【題目詳解】個同學，選門課，各選一門且不重復的方法共種，如下：種類甲乙丙丁1《數學史選講》《球面上的幾何》《對稱與群》《矩陣與變換》2《數學史選講》《球面上的幾何》《矩陣與變換》《對稱與群》3《數學史選講》《對稱與群》《球面上的幾何》《矩陣與變換》4《數學史選講》《對稱與群》《矩陣與變換》《球面上的幾何》5《數學史選講》《矩陣與變換》《球面上的幾何》《對稱與群》6《數學史選講》《矩陣與變換》《對稱與群》《球面上的幾何》7《球面上的幾何》《數學史選講》《對稱與群》《矩陣與變換》8《球面上的幾何》《數學史選講》《矩陣與變換》《對稱與群》9《球面上的幾何》《對稱與群》《數學史選講》《矩陣與變換》10《球面上的幾何》《對稱與群》《矩陣與變換》《數學史選講》11《球面上的幾何》《矩陣與變換》《對稱與群》《數學史選講》12《球面上的幾何》《矩陣與變換》《數學史選講》《對稱與群》13《對稱與群》《數學史選講》《球面上的幾何》《矩陣與變換》14《對稱與群》《數學史選講》《矩陣與變換》《球面上的幾何》15《對稱與群》《球面上的幾何》《數學史選講》《矩陣與變換》16《對稱與群》《球面上的幾何》《矩陣與變換》《數學史選講》17《對稱與群》《球面上的幾何》《數學史選講》《矩陣與變換》18《對稱與群》《球面上的幾何》《矩陣與變換》《數學史選講》19《矩陣與變換》《數學史選講》《對稱與群》《球面上的幾何》20《矩陣與變換》《數學史選講》《球面上的幾何》《對稱與群》21《矩陣與變換》《球面上的幾何》《對稱與群》《矩陣與變換》22《矩陣與變換》《球面上的幾何》《矩陣與變換》《對稱與群》23《矩陣與變換》《對稱與群》《數學史選講》《球面上的幾何》24《矩陣與變換》《對稱與群》《球面上的幾何》《數學史選講》滿足三個信息都正確的，是第種.故本小題選D.【題目點撥】本小題主要考查分析與推理，考查列舉法，屬于基礎題.10、C【解題分析】

令，化簡得，構造函數，畫出兩個函數圖像，結合兩個函數圖像以及不等式解的情況列不等式組，解不等式組求得的的取值范圍.【題目詳解】有兩個正整數解即有兩個不同的正整數解，令，，故函數在區間和上遞減，在上遞增，畫出圖像如下圖所示，要使恰有兩個不同的正整數解等價于解得故，選C.【題目點撥】本小題主要考查不等式解集問題，考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.11、B【解題分析】

根據得單調性可得；構造函數，通過導數可確定函數的單調性，根據單調性可得，得到，進而得到結論.【題目詳解】由的單調遞增可知：，即令，則令，則當時，；當時，即：在上單調遞增，在上單調遞減，即，即：綜上所述：本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據函數單調性比較大小的問題，難點在于比較指數與對數大小時，需要構造函數，利用導數確定函數的單調性；需要注意的是，在得到導函數的零點后，需驗證零點與之間的大小關系，從而確定所屬的單調區間.12、B【解題分析】

根據題意求得兩點關于對稱，得到直線的方程為，由的面積為，求得，再把過點N的直線方程為，代入，求得判別式求得，最后利用拋物線的定義，即可求解.【題目詳解】設等腰直角三角形的頂點，且，由，得，所以，即，因為，所以，即兩點關于對稱，所以直線的方程為，由，解得或，故，所以，因為的面積為，所以，過點N的直線方程為，代入可得，所以由，可得，此時直線的傾斜角為，過M作準線的垂線，垂足為A，則，所以，所以直線的傾斜角為或時，此時的最大值為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，其中解答中求得兩點關于對稱，合理利用拋物線的定義是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：根據已知的遞推關系，可以構造出我們熟悉的等差數列．再用等差數列的性質進行求解．由于在數列中,，則可知，故可知為,故答案為考點：數列的通項公式點評：構造數列是對已知數列的遞推關系式變形后發現規律，創造一個等差或等比數列，借此求原數列的通項公式，是考查的重要內容．14、【解題分析】試題分析：根據題意，若事件A為“x+y為偶數”發生，則x、y兩個數均為奇數或均為偶數．共有2×3×3=18個基本事件，∴事件A的概率為=．而A、B同時發生，基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”，一共有6個基本事件，因此事件A、B同時發生的概率為=因此，在事件A發生的情況下，B發生的概率為P（B|A）=考點：條件概率與獨立事件15、【解題分析】

分析：求出雙曲線的兩條漸近線方程與拋物線的準線方程，進而求出兩點坐標，再由的面積為，列出方程列方程求解即可.詳解：雙曲線的兩條漸近線方程，又拋物線的準線方程是，故兩點的橫坐標坐標分別是，又的面積為1，，得，故答案為.點睛：本題主要考查雙曲線的幾何性質以及拋物線的幾何性質，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系16、【解題分析】

根據隨機變量分布列概率和為1求出，求出，再由方差性質，即可求解.【題目詳解】由題意得，則，∴，，，則，，∴.故答案為:【題目點撥】本題考查離散型隨機變量分布列性質、期望、方差以及方差的性質，考查計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（3）3．35；（4）3．45；（4）3433.【解題分析】

（3）先列舉出所有的事件共有43種結果，摸出的4個球為白球只有一種結果，根據概率公式得到要求的概率，本題應用列舉來解，是一個好方法；（4）先列舉出所有的事件共有43種結果，摸出的4個球為3個黃球4個白球從前面可以看出共有9種結果種結果，根據概率公式得到要求的概率；（4）先列舉出所有的事件共有43種結果，根據摸得同一顏色的4個球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的4個球，摸球者付給攤主3元錢，算一下摸出的球是同一色球的概率，估計出結果.【題目詳解】把4只黃色乒乓球標記為A、B、C，4只白色的乒乓球標記為3、4、4．從6個球中隨機摸出4個的基本事件為：ABC、AB3、AB4、AB4、AC3、AC4、AC4、A34、A34、A44、BC3、BC4、BC4、B34、B34、B44、C34、C34、C44、344，共43個.(3)事件E={摸出的4個球為白球}，事件E包含的基本事件有3個，即摸出344號4個球，P（E）==3．35.(4)事件F={摸出的4個球為4個黃球3個白球}，事件F包含的基本事件有9個，P（F）==3．45.（4）事件G={摸出的4個球為同一顏色}={摸出的4個球為白球或摸出的4個球為黃球}，P（G）==3．3，假定一天中有333人次摸獎，由摸出的4個球為同一顏色的概率可估計事件G發生有33次，不發生93次．則一天可賺，每月可賺3433元．考點：3．互斥事件的概率加法公式；4．概率的意義18、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）．【解題分析】分析：（1）直線的參數方程為：（為參數），消去t即可；曲線的極坐標方程為，利用直角坐標與極坐標之間的互化公式即可；（2）轉換成直角坐標去進行求解.詳解：（1）因為直線的參數方程為，得，故直線的普通方程為，又曲線的極坐標方程為，即，因為，，∴，即，故曲線的直角坐標方程為.（2）因為點的極坐標為，∴點的直角坐標為，∴點到直線的距離.將，代入中得，，，，∴的面積.點睛：求解與極坐標有關的問題的主要方法(1)直接利用極坐標系求解，可與數形結合思想配合使用；(2)轉化為直角坐標系，用直角坐標求解．使用后一種方法時，應注意若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標．19、（1）（2）見解析【解題分析】分析：（1）設事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測通過”；事件表示“檢測良好”.通過，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．

（2）由題意知，的所有可能取值為0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．詳解：（1）設事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“檢測通過”；事件表示“檢測良好”.∴∴.故所求概率為.（2）可能取值為分布列為所以，.點睛：本題考查條件概率的應用，離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力．20、（1）的極坐標方程為.的極坐標方程為.（2）【解題分析】

（1）傾斜角為的直線經過坐標原點，可以直接寫出；利用，把曲線的參數方程化為普通方程，然后再利用，把普通方程化成極坐標方程；（2）設，，則，，已知，所以有，運用二角差的正弦公式，可以得到，根據傾斜角的范圍，可以求出值.【題目詳解】解：（1）因為經過坐標原點，傾斜角為，故的極坐標方程為.的普通方程為，可得的極坐標方程為.（2）設，，則，.所以.由題設，因為，所以