2024屆江蘇省泰州市數(shù)學高二第二學期期末檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．用數(shù)學歸納法證明：“”，由到時，等式左邊需要添加的項是（）A． B．C． D．2．若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形必為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能3．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率（）A． B． C． D．4．在高校自主招生中，某學校獲得5個推薦名額，其中清華大學2名，北京大學2名，浙江大學1名，并且清華大學和北京大學都要求必須有男生參加，學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有（）A．36種 B．24種 C．22種 D．20種5．已知，則（）A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.2166．已知復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．7．“中國夢”的英文翻譯為“”，其中又可以簡寫為，從“”中取6個不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種8．“”是“方程表示焦點在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．10．已知一種元件的使用壽命超過年的概率為，超過年的概率為，若一個這種元件使用到年時還未失效，則這個元件使用壽命超過年的概率為（）A． B． C． D．11．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．12．為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機抽取60名高中生做問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：作文成績優(yōu)秀作文成績一般總計課外閱讀量較大221032課外閱讀量一般82028總計303060由以上數(shù)據(jù)，計算得到的觀測值，根據(jù)臨界值表，以下說法正確的是()P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A．在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)C．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中,為的中點,,的面積為6,且交于點,將沿翻折,翻折過程中，與所成角的余弦值取值范圍是__．14．曲線在P（1，1）處的切線方程為_____．15．已知命題，命題.若命題是的必要不充分條件，則的取值范圍是____；16．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，是的中點.（1）求異面直線與所成角的大小；（2）若直三棱柱的體積為，求四棱錐的體積.18．（12分）已知橢圓M的方程是，直線與橢圓M交于A、B兩點，且橢圓M上存在點滿足，求的值.19．（12分）為了增強環(huán)保意識，某社團從男生中隨機抽取了31人，從女生中隨機抽取了51人參加環(huán)保知識測試，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計男生412131女生213151總計3151111（1）試判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）為參加市舉辦的環(huán)保知識競賽，學校舉辦預選賽，現(xiàn)在環(huán)保測試優(yōu)秀的同學中選3人參加預選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學通過預選賽的概率為23，若隨機變量X表示這3人中通過預選賽的人數(shù)，求X附:K2＝1．5111．4111．1111．1111．1111．4551．7182．7133．33511．82820．（12分）如圖，在中，，點在線段上.過點作交于點，將沿折起到的位置（點與重合），使得.（Ⅰ）求證：.（Ⅱ）試問：當點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由.21．（12分）已知直線l的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，曲線C的參數(shù)方程為（是參數(shù)）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；（2）求曲線C上的點到直線l的距離的最小值.22．（10分）已知函數(shù)有極值.（1）求的取值范圍；（2）若在處取得極值，且當時，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

寫出時，左邊最后一項，時，左邊最后一項，由此即可得到結(jié)論【題目詳解】解：∵時，左邊最后一項為，時，左邊最后一項為，∴從到，等式左邊需要添加的項為一項為故選：D．【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法的概念，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

由于為三角形內(nèi)角，故，所以，即為鈍角，三角形為鈍角三角形，故選B.3、C【解題分析】

記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結(jié)合條件概率公式求得結(jié)果.【題目詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【題目點撥】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.4、B【解題分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、第一類三個男生每個大學各推薦一人，兩名女生分別推薦北京大學和清華大學，共有=12種推薦方法；②、將三個男生分成兩組分別推薦北京大學和清華大學，其余2個女生從剩下的2個大學中選，共有=12種推薦方法；故共有12+12=24種推薦方法，故選B．5、B【解題分析】

根據(jù)二項分布的期望的計算公式求解即可得到結(jié)果．【題目詳解】∵，∴．故選B．【題目點撥】本題考查二項分布的期望，解題的關(guān)鍵是熟記此類分布期望的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】分析：由復數(shù)的乘除法法則計算出復數(shù)，再由定義可得．詳解：，虛部為．故選C．點睛：本題考查的運算復數(shù)的概念，解題時根據(jù)復數(shù)運算法則化復數(shù)為簡單形式，可得虛部與實部．7、C【解題分析】從其他5個字母中任取4個,然后與“”進行全排列,共有,故選B.8、B【解題分析】

解得方程表示焦點在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.【題目詳解】表示焦點在軸上的雙曲線?,解得1<m<5,故選B.【題目點撥】本題考查雙曲線的方程，是基礎(chǔ)題，易錯點是不注意9、B【解題分析】分析：根據(jù)復數(shù)的運算法則和復數(shù)的模計算即可.詳解：，則.故選：B.點睛：復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數(shù)化的過程．10、A【解題分析】

記事件該元件使用壽命超過年，記事件該元件使用壽命超過年，計算出和，利用條件概率公式可求出所求事件的概率為.【題目詳解】記事件該元件使用壽命超過年，記事件該元件使用壽命超過年，則，，因此，若一個這種元件使用到年時還未失效，則這個元件使用壽命超過年的概率為，故選A.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，解題時要弄清楚兩個事件的關(guān)系，并結(jié)合條件概率公式進行計算，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.11、B【解題分析】∵y2=2px的焦點坐標為,∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.12、D【解題分析】分析：根據(jù)臨界值表，確定犯錯誤的概率詳解：因為根據(jù)臨界值表，9.643>7.879，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)．選D.點睛：本題考查卡方含義，考查基本求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：根據(jù)題意，過作的垂線，垂足為過作的垂線，垂足為由題可求得，設的夾角為，，由此可求與所成角的余弦值取值范圍詳解：如圖所示，根據(jù)題意，過作的垂線，垂足為過作的垂線，垂足為由題,的面積為6，，設的夾角為，故與所成角的余弦值取值范圍是.即答案為.點睛：本題考查平面圖形的翻折問題，考查異面直線的夾角文，屬難題.14、【解題分析】因為曲線y=x3，則，故在點（1，1）切線方程的斜率為3，利用點斜式方程可知切線方程為15、【解題分析】

求得命題，又由命題是的必要不充分條件，所以是的真子集，得出不等式組，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，命題，命題.又由命題是的必要不充分條件，所以是的真子集，設，則滿足，解得，經(jīng)驗證當適合題意，所以的取值范圍是．【題目點撥】本題主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要條件求解參數(shù)問題，其中解答中正確求解集合A，再根集合的包含關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、-2【解題分析】

將有且只有一個零點問題轉(zhuǎn)化成a＝﹣lnx，兩函數(shù)有一個交點，然后令g（x）＝﹣lnx，對g（x）進行單調(diào)性分析，即可得到g（x）的大致圖象，即可得到a的值．【題目詳解】由題意，可知：令2，即：a＝﹣lnx，x＞2．可設g（x）＝﹣lnx，x＞2．則g′（x），x＞2．①當2＜x＜2時，g′（x）＞2，g（x）單調(diào)遞增；②當x＞2時，g′（x）＜2，g（x）單調(diào)遞減；③當x＝2時，g′（x）＝2，g（x）取極大值g（2）＝﹣2．∵函數(shù)有且只有一個零點，∴a只能取g（x）的最大值﹣2．故答案為：﹣2．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)零點問題，構(gòu)造函數(shù)的應用，用導數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性．屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；【解題分析】

（1）以為坐標原點，以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，分別求出異面直線與的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線與所成角的大小；（2）連接．由，由已知中，是的中點，面，我們根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，即可得到，，進而根據(jù)線面垂直的判定定理，得到面，故即為四棱錐的高，求出棱錐的底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．【題目詳解】（1）以為坐標原點，以，，為軸正方向建立空間直角坐標系．不妨設．依題意，可得點的坐標，于是，由，則異面直線與所成角的大小為．（2）連接．由，是的中點，得；由面，面，得．又，因此面，由直三棱柱的體積為．可得．所以，四棱錐的體積為．【題目點撥】本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，棱錐的體積，其中（1）的關(guān)鍵是建立空間坐標系，將異面直線夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，而（2）的關(guān)鍵是根據(jù)線面垂直的判定定理，得到為棱錐的高．18、【解題分析】

設出點A,B的坐標，聯(lián)立準線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理和平面向量的坐標運算法則可得關(guān)于實數(shù)m的方程，解方程即可確定m的值.【題目詳解】設，聯(lián)立，得，，解得，，，在橢圓上，，解得.【題目點撥】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19、（5）有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）分布列見解析，2．【解題分析】試題分析：（5）利用公式計算得K2=110(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.82，故有99%把握；（2）X試題解析：（5）K因為K所以有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．（2）X的可能取值為5，5，2，3，所以X的分布列為：X

5

5

2

3

P

因為X~B(3,2所以E(X)=np=3×考點：5．獨立性檢驗；2．二項分布．20、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（1）由已知條件，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可得到.（2）過點作，則，，兩兩垂直，以B為坐標原點，以，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.設，應用空間向量，分別求得兩平面的法向量，計算兩平面法向量夾角，證明點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.詳解：證明：（Ⅰ）在中，因為，所以，所以，，又因為，平面，所以平面.又因為平面，所以.（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點作于點，由（Ⅰ）知平面，所以，又因為，平面，所以平面.在平面內(nèi)過點作直線，則平面.如圖所示，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.設，又因為，所以，.在中，，所以，，所以，所以，，.從而，.設是平面的一個法向量，所以，即，所以，取，得是平面的一個法向量.又平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，則.因此當點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.點睛：點睛：用空間向量求二面角問題的解題步驟：右手定則建立空間直角坐標系，寫出關(guān)鍵點坐標設兩平面的法向量，兩法向量夾角為，求法向量及兩向量夾角的余弦；當兩法向量的方向都向里或向外時，則二面角；當兩法向量的方向一個向里一個向外時，二面角為.21、(1