2024屆上海市上海外國語大學附中數學高二第二學期期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“”的否定是（）A． B．C． D．2．若，滿足條件，則的最小值為（）A． B． C． D．3．隨著國家二孩政策的全面放開，為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構用簡單隨機抽樣方法從不同地區調查了100位育齡婦女，結果如下表.非一線城市一線城市總計愿生452065不愿生132235總計5842100附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828由算得，，參照附表，得到的正確結論是（）A．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“生育意愿與城市級別有關”B．在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“生育意愿與城市級別無關”C．有以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”D．有以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”4．若離散型隨機變量的分布列為則的數學期望（）A． B．或 C． D．5．二項式的展開式中的系數是（）A． B． C． D．6．某超市抽取13袋袋裝食用鹽，對其質量（單位：g）進行統計，得到如圖所示的莖葉圖，若從這13袋食用鹽中隨機選取1袋，則該袋食用鹽的質量在內的概率為（）A． B． C． D．7．已知命題p：函數的值域為R；命題q：函數是R上的減函數．若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．或8．下列命題中正確的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是9．設,若,則()A．-1 B．0 C．1 D．25610．的展開式中各項系數之和為（）A． B．16 C．1 D．011．下列值等于1的積分是（）A． B． C． D．12．設，，則A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在體積為9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一點，S—ABC的體積為2，則三棱錐S—A1B1C1的體積為___．14．已知，且，則____________．15．展開式中，二項式系數最大的項是_________．16．已知函數，則_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小；18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為．(Ⅰ)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；；(Ⅱ)已知點為直線上的兩個動點，且點為曲線上任意一點，求面積的最大值及此時點的直角坐標．19．（12分）某鮮花批發店每天早晨以每支2元的價格從鮮切花生產基地購入某種玫瑰，經過保鮮加工后全部裝箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鮮加工成本為1元），然后以每箱2000元的價格整箱出售．由于鮮花的保鮮特點，制定了如下促銷策略：若每天下午3點以前所購進的玫瑰沒有售完，則對未售出的玫瑰以每箱1200元的價格降價處理．根據經驗，降價后能夠把剩余玫瑰全部處理完畢，且當天不再購進該種玫瑰．因庫房限制每天最多加工6箱．（1）若某天此鮮花批發店購入并加工了6箱該種玫瑰，在下午3點以前售出4箱，且6箱該種玫瑰被6位不同的顧客購買．現從這6位顧客中隨機選取2人贈送優惠卡，求恰好一位是以2000元價格購買的顧客且另一位是以1200元價格購買的顧客的概率：（2）此鮮花批發店統計了100天該種玫瑰在每天下午3點以前的銷售量t（單位：箱），統計結果如下表所示（視頻率為概率）：t/箱456頻數30xs①估計接下來的一個月（30天）該種玫瑰每天下午3點前的銷售量不少于5箱的天數并說明理由；②記，，若此批發店每天購進的該種玫瑰箱數為5箱時所獲得的平均利潤最大，求實數b的最小值（不考慮其他成本，為的整數部分，例如：，）．20．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知直線的參數方程為（為參數），曲線C的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）設直線與曲線交于兩點，點，求的值.21．（12分）設的內角的對邊分別為且.(1)求角(2)若求角及的面積.22．（10分）已知曲線的參數方程（為參數），在同一直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線.（1）求曲線的普通方程；（2）若點在曲線上，已知點，求直線傾斜角的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”判斷.【題目詳解】“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，命題“”的否定是，故選：B.【題目點撥】本題主要考查命題的否定，還考查理解辨析的能力，屬于基礎題.2、A【解題分析】作出約束條件對應的平面區域（陰影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直線y=2x﹣z，由圖象可知當直線y=2x﹣z，經過點A時，直線y=2x﹣z的截距最大，此時z最小．由解得A（0，2）．此時z的最大值為z=2×0﹣2=﹣2，故選A．點睛：利用線性規劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內作出可行域．(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優解：根據目標函數的類型，并結合可行域確定最優解．(4)求最值：將最優解代入目標函數即可求出最大值或最小值．3、C【解題分析】K2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”，本題選擇C選項.點睛：獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質的，只能說結論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結論，因此才出現了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下確定性結論，否則就可能對統計計算的結果作出錯誤的解釋．4、C【解題分析】

由離散型隨機變量的分布列，列出方程組，能求出實數，由此能求出的數學期望.【題目詳解】解：由離散型隨機變量的分布列，知：

，解得，

∴的數學期望.

故選：C.【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的數學期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列等基礎知識，是基礎題.5、B【解題分析】

利用二項展開式的通項公式，令的冪指數等于，即可求出的系數.【題目詳解】由題意，二項式展開式的通項公式為，令，解得，所以的系數為.故選：B【題目點撥】本題主要考查二項展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.6、B【解題分析】

由題，分析莖葉圖，找出質量在[499,501]的個數，再求其概率即可.【題目詳解】這個數據中位于的個數為，故所求概率為故選B【題目點撥】本題考查了莖葉圖得考查，熟悉莖葉圖是解題的關鍵，屬于基礎題.7、C【解題分析】

分別求命題為真命題時的范圍，命題為真命題時的范圍；根據或為真命題，且為假命題，得到命題，中有一個真命題，一個假命題，分命題為真命題且命題為假命題和命題為真命題且命題為假命題兩類求出的范圍．【題目詳解】解：命題為真時，即真數部分能夠取到大于零的所有實數，故二次函數的判別式，從而；命題為真時，解得．若或為真命題，且為假命題，故和中只有一個是真命題，一個是假命題．若為真，為假時，，無解；若為假，為真時，，解得；綜上可得，故選：．【題目點撥】本題考查根據復合命題的真假得到構成其簡單命題的真假情況，屬于中檔題．8、C【解題分析】因為A.的最小值是2，只有x>0成立。B.的最小值是2，取不到最小值。C.的最大值是，成立D.的最小值是，不成立。故選C9、B【解題分析】分析：先求定積分，再求詳解：，故設1-2x，所以，，故選B點睛：求復合函數的定積分要注意系數能夠還原，二項式定理求系數和的問題，采用賦值法。10、C【解題分析】

令，由此求得二項式的展開式中各項系數之和.【題目詳解】令，得各項系數之和為．故選：C【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式各項系數之和的求法，屬于基礎題.11、C【解題分析】

分別求出被積函數的原函數，然后根據定積分的定義分別計算看其值是否為1即可．【題目詳解】解：選項A，xdxx2，不滿足題意；選項B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不滿足題意；選項C，1dx＝x1﹣0＝1，滿足題意；選項D，dxx0，不滿足題意；故選C．考點：定積分及運算．12、B【解題分析】

分析：求出，得到的范圍，進而可得結果．詳解：.,即又即故選B.點睛：本題主要考查對數的運算和不等式，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由已知棱柱體積與棱錐體積可得S到下底面距離與棱柱高的關系，進一步得到S到上底面距離與棱錐高的關系，則答案可求．【題目詳解】設三棱柱的底面積為，高為，則，再設到底面的距離為，則，得，所以，則到上底面的距離為，所以三棱錐的體積為．故答案為1．【題目點撥】本題考查棱柱、棱錐體積的求法，考查空間想象能力、思維能力與計算能力，考查數形結合思想，三棱錐體積為，本題是中檔題．14、-1【解題分析】

通過，的齊次式，求得的值；再利用兩角和差的正切公式求解.【題目詳解】又解得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查同角三角函數關系以及兩角和差公式的應用，屬于基礎題.15、【解題分析】

根據題意，由二項式系數的性質，得到第4項的二項式系數最大，求出第4項即可.【題目詳解】在的展開式中，由二次項系數的性質可得：展開式中第4項的二項式系數最大，因此，該項為：.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查求二項式系數的最大項，熟記二項式定理即可，屬于基礎題型.16、3【解題分析】

判斷，再代入，利用對數恒等式，計算求得式子的值為.【題目詳解】因為，所以，故填.【題目點撥】在計算的值時，先進行冪運算，再進行對數運算，能使運算過程更清晰.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】分析：⑴設與相交于點，連接，根據題意可得，利用線面平行的判定定理得到平面；⑵建立空間直角坐標系，求出法向量，然后運用公式計算二面角的大小詳解：（1）設與相交于點P，連接PD，則P為中點，D為AC中點，PD//,又PD平面D，//平面D.（2）如圖建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（-1，，-），=（-1，0，-）設平面的法向量為n=（x，y，z）則nn則有，得n=（，0，1）由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個法向量。設n與所成角為，則，二面角的大小是.點睛：本題主要考查了線面平行的判定定理，要求二面角平面角的大小，可以采用建立空間直角坐標系的方法，給出點坐標，求出各面上的法向量，利用公式即可求出角的大小。18、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.【解題分析】

(Ⅰ)由參數方程利用消去，得到普通方程，由把極坐標化為普通方程。(Ⅱ)設點，由點到直線的距離和面積公式結合三角函數求得面積最值。【題目詳解】（Ⅰ）曲線化為普通方程為，直線的直角坐標方程為．（Ⅱ）設點，則點到直線的距離．，∴當時，當點P的直角坐標為時，有最大值1．【題目點撥】由直角坐標與極坐標互換公式，利用這個公式可以實現直角坐標與極坐標的相互轉化。19、（1）；（2）①；②【解題分析】

（1）根據古典概型概率公式計算可得；（2）①用100?30可得；②用購進5箱的平均利潤＞購進6箱的平均利潤，解不等式可得.【題目詳解】解：（1）設這6位顧客是A，B，C，D，E，F.其中3點以前購買的顧客是A，B，C，D.3點以后購買的顧客是E，F.從這6為顧客中任選2位有15種選法：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），其中恰好一位是以2000元價格購買的顧客，另一位是以1200元價格購買的顧客的有8種：（A，E），（A，F），（B，E），（B，F），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F）.根據古典概型的概率公式得；（2）①依題意，∴，所以估計接下來的一個月（30天）內該種玫瑰每天下午3點以前的銷售量不少于5箱的天數是天；②批發店毎天在購進4箱數量的玫瑰時所獲得的平均利潤為：4×2000?4×500×3＝2000元；批發店毎天在購進5箱數量的玫瑰時所獲得的平均利潤為：元；批發店毎天在購進6箱數量的玫瑰時所獲得的平均利潤為：由，解得：，則所以，要求b的最小值，則求的最大值，令，則，明顯，則在上單調遞增，則在上單調遞增，，則b的最小值為.【題目點撥】本題考查了古典概型及其概率計算公式，屬中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由代入曲線C的極坐標方程，即可求出普通方