數(shù)學(xué)建模的技術(shù)和方法郝志峰華南理工大學(xué)理學(xué)院2008年5月21日什么是建模？紙飛機(jī)共產(chǎn)主義-列寧數(shù)學(xué)建模

模型入門數(shù)學(xué)建模是可以學(xué)習(xí)的；初學(xué)者需要觀察，然后盡可能快地成為實(shí)際過程而受益；計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)。一、建模指標(biāo)的設(shè)定

二、基本概念的理解

三、建立模型的聯(lián)想

四、數(shù)學(xué)建模的過程圍棋是東亞人民喜愛的智力活動(dòng),長(zhǎng)久以來,人們一直認(rèn)為19×19＝361個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的網(wǎng)狀存在著許多奧妙和爭(zhēng)論。其中之一是關(guān)于貼目問題：中國(guó)貼子，日本貼5目半，應(yīng)氏規(guī)則貼7目，都共存于各項(xiàng)比賽中。當(dāng)然還有一個(gè)更令人瞠目的問題：為什么圍棋盤是十九行、十九列呢?你會(huì)說對(duì)稱，否則一長(zhǎng)一寬沒有趣味了。那么為什么是十九呢?有老人解釋說：十二星宿加上北斗七星。但這哄孩子可以，哄你大概不行，你可能會(huì)刨根向底問個(gè)不休。1、設(shè)計(jì)圍棋的指標(biāo)圍棋的兩個(gè)競(jìng)賽對(duì)策是成活、圍空。我們先來討論成活，若比較在各線上成活速度

(即用最少的子來得到必活的棋形)，我們有：1、設(shè)計(jì)圍棋的指標(biāo)這說明從成活的角度講，三線的價(jià)值很大，再比較圍空，我們定義圍空的效率(即所圍的目數(shù)/所用的棋子),則有，，，。因此從圍空的角度而言，四線是唯一可以和三線競(jìng)爭(zhēng)的下法。當(dāng)然圍棋界有“金角、銀邊”等說法。當(dāng)然，從體育競(jìng)爭(zhēng)和游戲的角度而言，要使雙方比賽精彩激烈，走三線和四線的價(jià)值要盡量接近

(細(xì)微的部分可采用貼目方式進(jìn)行)。1、設(shè)計(jì)圍棋的指標(biāo)假設(shè)圍棋有n行、n列。由于走四線、圍中空要有價(jià)值，所以n不能太??；另外由于圍棋子也不能太多，所以n不能太大，不妨設(shè)11≤n≤30(40?)。我們要使得走三線的價(jià)值和走四線的價(jià)值的值盡量接近，記：，這里注意是關(guān)于n的減函數(shù).1、設(shè)計(jì)圍棋的指標(biāo)得y=5.2(目),這又解釋了中國(guó)規(guī)則和日本規(guī)則

可導(dǎo)，且已知n≥11，故導(dǎo)數(shù)為正，這時(shí)為增函數(shù)，于是E(n)為增函數(shù)。由介值定理關(guān)于E(n)=0只有一個(gè)解，考慮

E(18)=－0.1888，E(19)=0.092，這樣在(18,19)之間必有一根，最接近這個(gè)根的是E(19),這樣問題1意外地解決了。問題1的解決極大地鼓舞我們繼續(xù)考慮貼幾目地問題，當(dāng)n＝19時(shí)，。這說明四線圍空效率稍高，需貼目。假設(shè)貼y目,則有1、設(shè)計(jì)圍棋的指標(biāo)那么應(yīng)氏規(guī)則又從何說起呢?

在我們所建立的模型里四個(gè)“三三”和四個(gè)“四四”的點(diǎn)對(duì)

圍空未起到本質(zhì)的作用，只能算作實(shí)子或防止對(duì)方切斷的一手，于是所用棋子可減四目，于是有：所貼目數(shù)為：得到：z≈7，這與應(yīng)氏規(guī)則是相近的。1、設(shè)計(jì)圍棋的指標(biāo)一個(gè)股份公司通常由若干個(gè)股東組成，如果某一個(gè)股東想占據(jù)該股份公司的領(lǐng)導(dǎo)地位，那么一個(gè)熟悉的想法是該股東控制超過50%的股權(quán)。但事實(shí)卻是有許多股份公司的領(lǐng)導(dǎo)者并沒有控制那么多。例如在2005年盛大互動(dòng)娛樂有限公司收購(gòu)新浪股份時(shí)，所收購(gòu)的股本數(shù)只占總股本數(shù)的19.5%,卻實(shí)現(xiàn)了成功收購(gòu)。

2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)

另一個(gè)例子是美國(guó)通用汽車公司的第一大股本福特家族也只占有該公司15%的股本。但也控制了整個(gè)公司。這樣，一個(gè)自然而然的問題是：如何估計(jì)某種勢(shì)力在股東大會(huì)中所在的“權(quán)重”？

2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)在原來我們所認(rèn)為需50%的想法中。隱含著這樣一個(gè)前提，即其他的股東都是您的反對(duì)者，這是一個(gè)極端的情形，也是我們一種自我孤立的意識(shí)在作怪。這樣我們開始轉(zhuǎn)換思維，考慮聯(lián)盟的情形，這也符合實(shí)際，一部分股東因某種共同利益而實(shí)行聯(lián)合。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—問題的分析首先我們介紹加權(quán)多數(shù)對(duì)策：

設(shè)[g,w1,w2,…,wn]，這里有n個(gè)股東，用wi是表示股東i所持有股本，假定是非負(fù)的。設(shè)N={1,2,…,n}是所有股東集合，N的一個(gè)子集S稱為股東聯(lián)盟。一個(gè)股東聯(lián)盟贏得一次表決，是指

wi1+wi2+…+wik

≥g

這里S={i1,i2,…,ik}2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—數(shù)學(xué)的分析之一

這一部分我們將會(huì)認(rèn)同這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)：占有更多的股本并不一定增加其勢(shì)力（當(dāng)然不會(huì)減少），也不一定是以一種正比例方式增加其勢(shì)力。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—若干實(shí)例

“啞元”現(xiàn)象

在對(duì)策[50；51,14,13,12,10]中第一個(gè)股東無需他人合作即可取勝，因而股東2,3,4,5盡管持有股本，但勢(shì)力為0，這時(shí)稱股東2,3,4,5為“啞元”。這時(shí)觀察對(duì)策[51；26,26,26,22]，最后一個(gè)股東也是毫無勢(shì)力的，因?yàn)槿魏我粋€(gè)取勝聯(lián)盟若含有他，那么去掉他時(shí)聯(lián)盟依舊能取勝。因此最后一個(gè)股東也是“啞元”。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—實(shí)例一

同等勢(shì)力在對(duì)策[2；1,1,1]，

[50；49,48,3]

中的勢(shì)力是相同的，因?yàn)樗麄兘o出相同的取勝聯(lián)盟。其中第三個(gè)對(duì)策說明了位居第三的小股東也有潛在的價(jià)值。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—實(shí)例二之一

如果將這一想法應(yīng)用于政治，也可以解釋為什么大富翁佩羅會(huì)兩次參加美國(guó)總統(tǒng)的選舉。尤其是他第一次參加的布什、克林頓、佩羅的三人選舉中（假設(shè)為[50；49,48,3]）。通過此獲取的勢(shì)力，嬴得了數(shù)倍投資于競(jìng)選的資本。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—實(shí)例二之二建模分析在對(duì)策[g,w1,w2,…,wn]中定義gi為第i個(gè)股東的勢(shì)力指標(biāo)，它需滿足以下五點(diǎn)：①gi

≥0；②gi=0當(dāng)且僅當(dāng)i是啞元；③若i與j在取勝聯(lián)盟中地位相同，則gi=gj

；④若wi>

wj

，則gi

≥gj

；⑤g1+g2+…+gn=1。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—數(shù)學(xué)的分析之二Shapley_Shubik指標(biāo)：

2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—數(shù)學(xué)的分析之三對(duì)策[51;40,30,20,10]的四個(gè)股東1,2,3,4共有下面24種排列“*”表示該股東在取勝聯(lián)盟中是關(guān)鍵人。

12*3421*3431*24412*312*4321*4331*42413*213*24231*4321*4421*313*42234*1324*1423*1142*3241*3341*2431*2143*2243*1342*1432*12、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—數(shù)學(xué)的分析之四于是我們得到

g1=g2=g3=g4=2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—數(shù)學(xué)的分析之四股份公司中的大股東設(shè)一公司有一大股東A，他控制著40%的股票，假設(shè)其余的股票平均分配在另外60個(gè)股東手中，每人占1%。通過一項(xiàng)決議需50%的贊成票。這時(shí)通過計(jì)算這個(gè)對(duì)策中的Shapley-Shubik勢(shì)力指標(biāo)，該大股東的勢(shì)力為40/61?，F(xiàn)仍假設(shè)A控制著40%的股票，但其余的股票平均分配在另外600個(gè)股東手中，每人占0.1%，此時(shí)A的勢(shì)力為400/601。而且隨著小股東人數(shù)的不斷增大，A的勢(shì)力份額將趨于2/3。這個(gè)例子解釋了為什么收購(gòu)一個(gè)股份公司，并不一定占據(jù)50%的股票。以盛大互動(dòng)娛樂有限公司收購(gòu)新浪股份為例，盛大只控制了19.5%的股票，而其余股東，最大的不過占據(jù)了4.96%的股票。這就是一個(gè)有趣的例子。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之一

“團(tuán)結(jié)并不永遠(yuǎn)意味著力量”

在實(shí)際生活中，人們經(jīng)常以搓草繩為例來告誡人們，一根稻草微不足道，一拉就斷。但搓成草繩后卻力量大增，從而得出結(jié)論：團(tuán)結(jié)就是力量。這樣在二次大戰(zhàn)后，在歐洲大陸，形成了北大西洋公約組織和華沙條約組織這兩個(gè)集團(tuán)勢(shì)力。但1955年，周恩來總理在萬隆會(huì)議上提出的著名的“和平共處”五項(xiàng)原則中有一條“獨(dú)立自主”的口號(hào)，這從表面上看似乎與“聯(lián)盟”存在著差異。但在這里我們將通過一個(gè)實(shí)例，試圖給出“獨(dú)立自主”的詮釋。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之二

假設(shè)一個(gè)對(duì)策為[5;3,3,1,1,1]，另一個(gè)對(duì)策將3個(gè)1形成聯(lián)盟成為對(duì)策[5;3,3,3]。注意到前一個(gè)對(duì)策的Shapley_Shubik勢(shì)力指標(biāo)為{3/10,3/10,4/30,4/30,4/30}。而后一個(gè)對(duì)策的Shapley_Shubik勢(shì)力指標(biāo)為{1/3,1/3,1/9,1/9,1/9}。后一個(gè)對(duì)策分配到每個(gè)1所占的勢(shì)力為1/9。哦！“獨(dú)立自主”使您的勢(shì)力增大。請(qǐng)您記住，“獨(dú)立自主”也是一種很好的外交手段，尤其是沒有占據(jù)主導(dǎo)地位的時(shí)候。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之二聯(lián)合國(guó)安理會(huì)的例子現(xiàn)在的聯(lián)合國(guó)安理事會(huì)由五個(gè)常任理事國(guó)（中國(guó)、美國(guó)、英國(guó)、法國(guó)、俄羅斯）和十個(gè)非常任理事國(guó)組成。每個(gè)理事國(guó)成員都具有否決權(quán)，而十個(gè)非常任理事國(guó)每?jī)赡贻喠髯儎?dòng)一次。在安理會(huì)中通過一項(xiàng)決議需有九票以上，其中五個(gè)常任理事國(guó)需全部投贊成票，再加上至少四個(gè)非常任理事國(guó)投贊成票。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之三

對(duì)于這一對(duì)策系統(tǒng)，記為：

[g;a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b]

根據(jù)已知條件：

5a+4b=g,4a+10b<5a+4b.

由第二個(gè)不等式可得

a>6b.

于是可令

b=1,a=7.

這樣求得

g=39.

對(duì)于

[39;7,7,7,7,7,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之三

這一對(duì)策可求得對(duì)每個(gè)常任理事國(guó)其勢(shì)力指標(biāo)為

0.1963；而每個(gè)非常任理事國(guó)的勢(shì)力指標(biāo)為

0.001863。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之三現(xiàn)在的聯(lián)合國(guó)安理會(huì)的組成模式形成于1963年。在1963年之前，安理會(huì)是由五個(gè)常任理事國(guó)和六個(gè)非常任理事國(guó)組成，通過一項(xiàng)決議需七票以上，其中五個(gè)常任理事國(guó)全部投贊成票。再加上至少兩個(gè)非常任理事國(guó)投贊成票。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之三提示：對(duì)于這一對(duì)策，用上面類似的方法可以求得對(duì)策系統(tǒng)是

[27;5,5,5,5,5,1,1,1,1,1,1]，同樣可求得1963年之前每個(gè)常任理事國(guó)的勢(shì)力指標(biāo)為0.1974。每個(gè)非常任理事國(guó)的勢(shì)力指標(biāo)為0.002165。這表明對(duì)于1963年的改革。使得安理會(huì)理事國(guó)成員的勢(shì)力指標(biāo)下降了。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之三現(xiàn)在有一個(gè)設(shè)想，即將來的安理會(huì)組成中，增加德國(guó)、日本、印度和巴西這四個(gè)國(guó)家作為常任理事國(guó)，具有否決權(quán)，這些國(guó)家有的現(xiàn)在對(duì)聯(lián)合國(guó)的經(jīng)濟(jì)資助已超過法國(guó)和英國(guó)，有的人口眾多。請(qǐng)您設(shè)計(jì)將來的安理會(huì)所組成的這一對(duì)策，并求得常任理事國(guó)和非常任理事國(guó)的勢(shì)力指標(biāo)。2、設(shè)計(jì)“實(shí)力”的指標(biāo)—案例的分析之三一、建模指標(biāo)的設(shè)定

二、基本概念的理解

三、建立模型的聯(lián)想

四、數(shù)學(xué)建模的過程二、基本概念的理解

2.1、二階導(dǎo)數(shù)1998年４月底，印度的《人民報(bào)》頭版頭條報(bào)道了印度國(guó)防部長(zhǎng)提出的：中國(guó)威脅論，并抱怨議會(huì)削減了國(guó)防預(yù)算。但是，正如印度在野黨的議員在1998年5月27日所反駁的：議會(huì)僅僅只是削減了國(guó)防預(yù)算增長(zhǎng)的變化率。用數(shù)學(xué)的話來說，預(yù)算的一階導(dǎo)數(shù)仍然是正的（即預(yù)算仍舊是增長(zhǎng)的），只是二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)了（即預(yù)算的增長(zhǎng)率變緩了）。同樣，在2003年非典時(shí)期，4月20日前用的詞語是“控制”，4月20日后用的詞語是“遏制”，請(qǐng)問您理解這兩個(gè)詞語的差別嗎？2.1、二階導(dǎo)數(shù)另外，薩繆爾遜在《經(jīng)濟(jì)學(xué)》中的一段話（設(shè)“總效用”指的是對(duì)消費(fèi)某些商品的總的滿意程度）：當(dāng)消費(fèi)同類商品時(shí)，總效用（心理上）就會(huì)增加，但是，……，隨著新的商品的不斷涌現(xiàn)，你的總效用會(huì)按照越來越慢的速度增長(zhǎng)，這是一個(gè)根本傾向促成的，即你鑒賞更多的商品的心理能力變的更遲鈍。2.1、二階導(dǎo)數(shù)2.1、二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步的例子：已知可微函數(shù)的圖像如右圖，問：(1)的圖像；(2)

(

)的圖像。2.2、基礎(chǔ)解系在城市中，不時(shí)聽到人們抱怨塞車，這也成為不少城市的“一景”。下面的例子一方面給出了交通堵塞的部分?jǐn)?shù)學(xué)解釋，另一方面也給基礎(chǔ)解系一個(gè)生動(dòng)的刻劃。例：設(shè)一個(gè)“井”字形環(huán)路，均為單向行駛，在八個(gè)出入口有一個(gè)記錄口（或收費(fèi)站），可記錄單位時(shí)間進(jìn)出該路段的車輛數(shù)目，已知八個(gè)出入口在某一個(gè)時(shí)間段的數(shù)目如右圖。500400550650500600450350問路段上的車輛數(shù)目？解:根據(jù)“入出”的準(zhǔn)測(cè)，四個(gè)“十字”路口節(jié)點(diǎn)的方程為:(1)(4)(3)(2)節(jié)點(diǎn)2.2、基礎(chǔ)解系上述線性方程組的解為2.2、基礎(chǔ)解系問題:(1)基礎(chǔ)解系在該問題中代表了什么？問題:(2)請(qǐng)您利用該結(jié)果對(duì)交通管理部門提出若干有用的建議.2.2、基礎(chǔ)解系2.2、基礎(chǔ)解系思考題：圖中是某一地區(qū)的公路交通網(wǎng)絡(luò)圖，所有的道路都是單行道，且道上不能停車，通行方向用箭頭表示，標(biāo)示的數(shù)字為高峰期每小時(shí)進(jìn)出網(wǎng)絡(luò)的車輛數(shù)。200300200100200300300ABCDE試從交通流量平衡條件建立起線性代數(shù)方程組，并對(duì)解作出符合實(shí)際意義的解釋。2.3、參考教材國(guó)家“十一五”規(guī)劃教材國(guó)家“十五”規(guī)劃教材教育部新世紀(jì)網(wǎng)絡(luò)課程建設(shè)工程面向21世紀(jì)課程教材“九五”國(guó)家教委重點(diǎn)教材高等教育百門精品教材大學(xué)數(shù)學(xué)資源庫(kù)國(guó)家“十五”規(guī)劃教材

高等教育百門精品教材線性代數(shù)面向21世紀(jì)課程教材

“九五”國(guó)家教委重點(diǎn)教材概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高等教育百門精品教材高等數(shù)學(xué)教育部新世紀(jì)網(wǎng)絡(luò)課程建設(shè)工程線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)模型一、建模指標(biāo)的設(shè)定

二、基本概念的理解

三、建立模型的聯(lián)想

四、數(shù)學(xué)建模的過程循環(huán)比賽的成績(jī)例：已知比賽無平局，只有勝負(fù)(如:排球、乒乓球、羽毛球、網(wǎng)球等)，共有六支隊(duì)伍，兩兩之間均比賽過，結(jié)果如右圖:

123456問：如何排定名次?三、建立模型的聯(lián)想--排序的例子思考1：“獲勝”是關(guān)鍵。于是，尋找一條從起點(diǎn)不斷獲勝的路徑；如：①1→4→6→3→2→5②4→5→6→3→1→2明顯有不合理且不可行的地方。第一，解明顯不唯一。第二，強(qiáng)隊(duì)一失手，真成千古之恨。（比如巴西負(fù)阿根廷，阿根廷再負(fù)…，此種傳遞會(huì)得出極荒謬的結(jié)論。但注重“獲勝”是體育競(jìng)賽精神之所在，也是建模的基本依據(jù)。思考2:國(guó)際足聯(lián)積分制

1隊(duì):4勝1負(fù)8分2隊(duì):3勝2負(fù)6分

3隊(duì):3勝2負(fù)6分4隊(duì):2勝3負(fù)4分

5隊(duì):2勝3負(fù)4分6隊(duì):1勝4負(fù)2分這時(shí)1，6兩隊(duì)名次立即分出。但2、3兩隊(duì)，4、5兩隊(duì)呢？以體育界常用的做法，3勝2，故3在2之前。4勝5，故4在5之前。于是名次為：

1，3，2，4，5，6。但問題或困惑隨之而來，就4、5而言，5勝的是3和6，而4勝的是5和6。看一看對(duì)手的實(shí)力，

我們又有理由說5會(huì)強(qiáng)一點(diǎn)，因?yàn)?→3→4。綜合思路1、2，我們有以下的分析：

取勝的價(jià)值有所不同。由于積分制只關(guān)心取勝，不關(guān)心失敗，所以取勝?gòu)?qiáng)隊(duì)的價(jià)值(即分?jǐn)?shù))應(yīng)高一些。依照此思想，在區(qū)分2、3和4、5時(shí)，要給出更精細(xì)的分?jǐn)?shù)。

以2、3為例,它們的精細(xì)分?jǐn)?shù)為：

2勝4、5、6，得4+4+2＝10分

3勝1、2、4，得8+6+4＝18分

以4、5為例,它們的精細(xì)分?jǐn)?shù)為:4勝5、6，得4+2＝6分

5勝3、6，得6+2＝8分需要說明的是這只是精細(xì)分?jǐn)?shù)，不是說由于10>8，則2在1之前。這只是為了區(qū)分同一名次的。

從解決問題的角度來看，做到這里似乎目的達(dá)到了。但作為數(shù)學(xué)建模，這只是開始。我們只是有了些正確的思路，或解決問題的技巧，還沒有建立模型?，F(xiàn)在，我們朝著模型的方向前進(jìn)著。于是,我們轉(zhuǎn)換為矩陣的做法試試看：

令設(shè)勝一場(chǎng)得2分,負(fù)一場(chǎng)得0分，記初始向量為(為什么?)這就是區(qū)分2、3和4、5的過程這就是國(guó)際足協(xié)注意到這給出了“矩陣相乘”的一個(gè)解釋——看對(duì)手。一般的定理:Perron－Frobenius

定理注意:約束條件不可分矩陣對(duì)應(yīng)的圖是連通圖一般的定理:

Perron－Frobenius

定理若P是非負(fù)、不可約矩陣，則排序模型的聯(lián)想

Perron－Frobenius

定理的應(yīng)用請(qǐng)關(guān)注約有191,000項(xiàng)符合北京師范大學(xué)珠海分校的查詢結(jié)果，以下是第1-10項(xiàng)（搜索用時(shí)0.09秒）那么google是如何在0.09秒的瞬間完成了對(duì)191,000個(gè)網(wǎng)頁的排序呢?網(wǎng)絡(luò)通訊一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是由若干個(gè)節(jié)點(diǎn)和連線組成-計(jì)算機(jī)-電視機(jī)-衛(wèi)星-電話線-有線電視-無線網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)通訊：不同的點(diǎn)有不同的線互聯(lián)（圖論思想）。

HITS

PageRank1998JonKleinbergCornellUniversity

SergeyBrinandLarryPage

StanfordUniversityPage

Rank,

Google的搜索引擎所用的排序系統(tǒng)。

搜索者是獨(dú)立的；搜索的內(nèi)容是獨(dú)立的；搜索僅用到互聯(lián)網(wǎng)的圖結(jié)構(gòu)。Page

Rank,

Google的搜索引擎所用的排序系統(tǒng)。

例：六個(gè)頁面的有向圖排序模型的聯(lián)想

Perron－Frobenius

定理的應(yīng)用排序模型的聯(lián)想

Perron－Frobenius

定理的應(yīng)用一般的定理:

Perron－Frobenius

定理若是非負(fù)、不可約矩陣，則排序模型的聯(lián)想

Perron－Frobenius

定理的應(yīng)用Google公司的秘訣:在網(wǎng)球比賽中，觀眾最興奮、比賽最精彩之處莫過于Deuce情形。乒乓球比賽也一樣，9平、10平、11平、12平、13平、…，觀眾的心都被提到了嗓子眼了，吶喊的、跺腳的，沒有一個(gè)觀眾愿意此時(shí)離去(心臟病除外)。這時(shí)有一個(gè)問題，

如果比賽一直平下去，那豈不是把觀眾緊張死了，這可能出現(xiàn)嗎?當(dāng)然你會(huì)說，這決不可能。為什么?排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈

假設(shè)你贏一分的可能性為P，你的對(duì)手贏一分的可能性為1-P，那么比賽一直進(jìn)行下去的可能性為。這里,且故上面的極限是0，即比賽不會(huì)持續(xù)下去。⑴:比賽會(huì)不會(huì)持續(xù)下去?⑵:若甲,乙的獲勝概率為P,(1-P).若此時(shí)甲領(lǐng)先,問甲最終獲勝的概率有多大?若甲,乙打平呢?若甲落后呢?排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈好了，你將會(huì)看到比賽的結(jié)果的。但結(jié)局的各種可能性是多少呢?這又是一個(gè)有趣的問題?讓我們來分析一下，就你現(xiàn)在的狀態(tài)而言，你有5種情況:1.贏了這一局，2.只贏一分，3.打平，4.只輸一分，5.輸了這一局。（樣本空間）出現(xiàn)情況：1、5則比賽結(jié)束，2、3、4則仍繼續(xù)，出現(xiàn)2后，出現(xiàn)1的可能性為P、出現(xiàn)3的可能性為1-P。4、5不可能出現(xiàn)，如此類推到3、4，則有如下的概率轉(zhuǎn)移矩陣：排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈出現(xiàn)2后的一次發(fā)球的比賽結(jié)果的可能性是由此繼續(xù)下去的第K次發(fā)球可能性則是排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈A這個(gè)矩陣很有特點(diǎn)，每一行的和為1，且每個(gè)元素的值在0、1之間，這個(gè)矩陣稱為Markov矩陣。我們的問題是問的值是多少?這又是一個(gè)是否收斂的問題。要證明它，可采用相似標(biāo)準(zhǔn)形等方法解決，注意A的一個(gè)自然的特征值1和對(duì)應(yīng)的特征向量?，F(xiàn)假設(shè)存在，那么它是多少呢?讓我們先分析一下，既然存在，那么它一定是穩(wěn)態(tài)的，即只可能處于1或5狀態(tài)，否則又不同了。排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈于是由于，所以AB=B，解之，得：

排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈以為例，若你現(xiàn)在贏一分,則你取勝的可能性是；若你現(xiàn)在與對(duì)手打平,則你取勝的可能性是；若你現(xiàn)在輸一分則你取勝的可能性是1/4。在這個(gè)模型中，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A贏一分之后再贏一份的概率保持不變，這與現(xiàn)實(shí)情況并不完全相同.因?yàn)槟阋环衷谑?，在比賽中的心情和?zhàn)術(shù)變化也不同，應(yīng)該取勝的可能性也大一些。這種模型可能會(huì)有變換，請(qǐng)你自己動(dòng)手一下。排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈思考題：（醉漢問題）一個(gè)醉漢在床與三步之遠(yuǎn)的樓梯之間徘徊。每走一步，朝著床走的機(jī)會(huì)與朝著樓梯走的機(jī)會(huì)是3:1，如果到了位置1，就會(huì)摔下樓梯，如果到了位置4，就會(huì)睡個(gè)好覺到天亮。假設(shè)該醉漢不會(huì)清醒，也不會(huì)伏下，且現(xiàn)在離天亮還有很長(zhǎng)的一段時(shí)間。請(qǐng)問：①試證明：該醉漢最終一定到床和樓梯這兩個(gè)位置中的一個(gè)；②假設(shè)醉漢現(xiàn)在(Ⅰ)：離床兩步遠(yuǎn)(位置2)，(Ⅱ)：離床一步遠(yuǎn)

(位置3)，分別計(jì)算他到床上去的概率。位置1位置4位置2位置3排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈2000年考研題：某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其他部門，其缺額由招收的新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工。設(shè)第n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占比例分別為和，記成向量

(1)求與的關(guān)系式并寫成矩陣形式排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈

(2)求，是A的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并球出相應(yīng)的特征值；

(3)當(dāng)時(shí)，求。排序模型的旁例—離散的馬爾科夫鏈一、建模指標(biāo)的設(shè)定

二、基本概念的理解

三、建立模型的聯(lián)想

四、數(shù)學(xué)建模的過程數(shù)學(xué)建模是可以學(xué)習(xí)的；初學(xué)者需要觀察，然后盡可能快地成為實(shí)際過程而受益；計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)。四、數(shù)學(xué)建模的過程①數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的每一步中都蘊(yùn)含著能力上的鍛煉，在調(diào)查研究階段，需要用到觀察能力、分析能力和數(shù)據(jù)處理能力等。在提出假設(shè)時(shí)，又需要用到想象力和歸納簡(jiǎn)化能力。

②在真正開始自己的研究之前，還應(yīng)當(dāng)盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復(fù)，你可以把某些已知的研究結(jié)果用作你的假設(shè)，去探索新的奧秘。因此我們還應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)在盡可能短的時(shí)間內(nèi)查到并學(xué)會(huì)我想應(yīng)用的知識(shí)的本領(lǐng)。③還需要你多少要有點(diǎn)

創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實(shí)踐就為你提供了一個(gè)培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機(jī)會(huì)。

數(shù)學(xué)建模與能力的培養(yǎng)

開展數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的主要目的為了提高學(xué)生的